2024历年高考数学试题汇编：双曲线

历年高考数学真题精编

14双曲线

一、单选题

22

1.（2023•全国）已知双曲线C:、-2=1（。>0,6>0）的离心率为如，C的一条渐近线与圆

矿b'

（x-2）2+（y-3）2=l交于A,B两点,贝||AB|=（）

A/5R2百03非n4逐

AA・---D,------C.------U.------

5555

2

2.（2023・全国）设A,8为双曲线f-5=1上两点，下列四个点中，可为线段中点的是

（）

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.（-1,-4）

22

3.（2023•天津）已知双曲线斗-2力>0）的左、右焦点分别为耳、F2,过F2向一

ab

条渐近线作垂线，垂足为尸.若I尸局=2,直线9的斜率为亨，则双曲线的方程为（）

4.（2008・湖南）若双曲线£-1=l（a>0,b>0）上横坐标为坐的点到右焦点的距离大于它到

ab2

左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（）

A.(1,2)B.(2收)C.(1,5)D.(5,+oo)

5.（2007•福建）以双曲线％2―犬=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（）

A.x2+y2-4x-3=0B.x2+y2-4x+3=0

C.%2+y2+4x—5=0D.x2++4x+5=0

22

6.(2005・天津)设双曲线以椭圆乙+匕=i长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点,

259

则双曲线的渐近线的斜率为（）

y

A.±2B-4D.

7.（2021•全国）已知耳，工是双曲线C的两个焦点，尸为C上一点，且

/耳尸区=60。,归国=3户可，则C的离心率为（）

币R岳

AD.----------C.不D.

22

22

8.（2019•全国）设/为双曲线C：、-当=1Q>0,>>0）的右焦点,。为坐标原点，以

/b~

。尸为直径的圆与圆N+W交于尸、。两点.若|P2|=Qn，则C的离心率为

A.y/2B.V3

C.2D.6

22

9.（2022・天津）已知抛物线y2=4后，K，鸟分别是双曲线方=1（“>0/>0）的左、右焦

TT

点，抛物线的准线过双曲线的左焦点耳，与双曲线的渐近线交于点4若/耳月A==,则

双曲线的标准方程为（）

丫2

A.—-/=1B.尤2

10

丫2

D.——y2=l

4

10.（2021•天津）已知双曲线，-与=1（。>0,10）的右焦点与抛物线/2=2。双「>0）的焦点

ab

重合，抛物线的准线交双曲线于A,2两点，交双曲线的渐近线于C、。两点，若

\CD\=42\AB\.则双曲线的离心率为（）

A.y/2B.6C.2D.3

二、多选题

11.（2022.全国）双曲线C的两个焦点为用入，以C的实轴为直径的圆记为。，过百作。

3

的切线与。交于M,N两点，且cosNKNB=《，则。的离心率为（）

A,更Br岳D.叵

2-122

12.（2020・山东）已知曲线C:7n/+=i.（）

A.若%>w>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m=〃>0,则C是圆，其半径为薪

C.若机〃<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±X

Vn

D.若加=0,n>0,则C是两条直线

三、填空题

22

13.（2023•全国）已知双曲线C:r=-v2=l（a>0,10）的左、右焦点分别为片，8.点A在C上，

ab

2

点B在y轴上，FlAlFlB,F2A=--F2B,则C的离心率为.

14.（2022•全国）若双曲线y2-±=i（机>0）的渐近线与圆炉+,2-4丁+3=0相切，贝|

m

m=.

22

15.（2020•全国）已知尸为双曲线C：，-2=1（°>0,30）的右焦点，A为C的右顶点，B为

ab

C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.

22U

16.（2022.浙江）已知双曲线3-与=1（。>0,"0）的左焦点为死过尸且斜率为7的直线交

a2及4〃

双曲线于点A（4%）,交双曲线的渐近线于点3（%,力）且当<。<%.若|EB|=3|FA|,则双

曲线的离心率是.

17.（2019•全国）已知双曲线C：，-与=1（〃>0,6>0）的左、右焦点分别为Fi,过B

ab

的直线与C的两条渐近线分别交于A,8两点.^FtA=AB,RBF/W,则C的离心率

为.

18.（2020•北京）已知双曲线C:三-匕=1,则C的右焦点的坐标为；C的焦点到

63

其渐近线的距离是.

19.（2020・山东）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线下-七=1（。>0,8>0）的左

ab

焦点重合，若两曲线相交于N两点，且线段的中点是点尸，则该双曲线的离心率

等于.

四、解答题

20.（2023•全国）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜2遥,0）,离心率为右.

（1）求C的方程;

（2）记C的左、右顶点分别为a，4,过点（T,o）的直线与C的左支交于M,N两点，M在

第二象限，直线1小与私交于点证明:点P在定直线上.

21.（2022•全国）已知双曲线C：W-《=im>0乃>0）的右焦点为F（2,0）,渐近线方程为

ab

y=±A/3X.

⑴求C的方程；

（2）过尸的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，点「（工,％）,。伍，％）在C上，且

尤1>%>。,%>0.过尸且斜率为Y的直线与过。且斜率为6的直线交于点M从下面

①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①/在上；©PQ//AB-③|M4HMB].

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22.（2021•全国）在平面直角坐标系龙帆中，已知点川-而',（））、区（旧,0川M图一|M周=2,

点"的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线尤=g上，过T的两条直线分别交C于A、5两点和P,Q两点，且

附-\TB\=\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

22

23.（2008•湖北）己知双曲线。:=-2=1（。>01>0）的两个焦点为

ab

/：（-2,0）,歹：（2,0）,点尸（3,4）的曲线C上.

（1）求双曲线C的方程；

（2）记。为坐标原点，过点Q（0,2）的直线/与双曲线C相交于不同的两点E、F,若4OEF

的面积为2加,求直线/的方程

参考答案:

1.D

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

【详解】由e=6,贝。<=^^=1+耳=5,

aaa

解得2b=2,

a

所以双曲线的一条渐近线为，=2无,

则圆心(2,3)到渐近线的距离d=与公=旦,

V？TT5

所以弦长|AB|=2介一屋=27|=

故选：D

2.D

【分析】

根据点差法分析可得心酸左=9,对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判

断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.

【详解】设AG%),*%,%)，则A3的中点

M+必

可得勉=4,左=看=4，

玉-X2一+%2再+%2

2-

2

1

yl一-1

9

因为A3在双曲线上，则V2

%

1

一-1

9

所以鼬•左=X,2=9.

xx-x2

对于选项A：可得k=1,须5=9,贝lJA3:y=9x—8,

y=9x-S

联立方程I2V2，消去y得72炉—2X72X+73=0,

I9

止匕时A=(—2x72)2—4x72x73=—288<0,

所以直线A3与双曲线没有交点，故A错误；

-,995

对于选项B：可得左=-248=-于IJ1!!AB:y=--x~~,

95

y二——x——

22.

联立方程12,消去y得45炉+2x45x+61=0,

/一匕=1

19

止匕时A=（2x45）2—4x45x61=Tx45xl6<0,

所以直线A3与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得％=3,怎5=3,贝!JAB：y=3%

由双曲线方程可得，=11=3,则AB：y=3%为双曲线的渐近线，

所以直线与双曲线没有交点，故C错误；

997

对于选项D：k=4,kAB=—,则

（97

y=—x——

44

联立方程12，消去》得631+126%—193=0,

尤2.2L-1

19

此时△=1262+4x63x193>0,故直线AB与双曲线有交两个交点,故D正确;

故选：D.

3.D

bb

【分析】先由点到直线的距离公式求出匕，设/产。工=。，由tanO=西力导到旧=%

一=显，解出。，代

|O骂卜c.再由三角形的面积公式得到力，从而得到小，则可得到

2+24

入双曲线的方程即可得到答案.

【详解】如图，

A

因为玛(c,0),不妨设渐近线方程为y=即区-殴=0,

所以席:占二5"，

所以6=2.

PFbb

设NP。为=6,则tane=冒=丽==所以|OP|=a,所以|。耳卜c.

ab

因为净1,力,所以为=或2

—c,所以C2,所以4=幺

2tan8=

xpa

所以尸3

因为E(-c，。)，

ab

ab2aa交

所以kpR

a2a2+c2Q2+Q?+4a?+2-4,

+c

c

所以血(/+2)=4“，解得°=点,

所以双曲线的方程为片-亡=1

24

故选：D

4.B

【分析】根据题设条件可得基本量的关系，从而可求离心率.

&,&2

【详解】根据双曲线的第二定义，双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离为e-a-—

2(2c

而该点到左准线的距离为

2IcJ2c

,(3a2)3a2

故由条件知e——\>-a+—.

(2cj2c

331

整理得一”1>一+—.

22e

综合e>l,解得e>2.

故选：B

5.B

【分析】首先将双曲线化简成标准形式，然后求出右焦点坐标以及右准线方程，即可求解.

22

【详解】由题意可得，尤2一/=2=＞上一匕=1,根据"+尸=。2,求得c=2,则双曲线的

22

2

右焦点坐标为(2,0),右准线方程里=1,

C

由此可知，圆的圆心为(2,0),半径为1,则圆的方程为尤2+丫2-以+3=0.

故选：B

6.C

【分析】由己知可得椭圆的长轴端点和焦点坐标，设双曲线的方程为工-1=1,

a2b2

可得“b的方程组，求出a、6的值，可得双曲线的渐近线斜率.

【详解】解：由题意可得：椭圆的长轴端点为(5,。)，(-5,0),且后为=4,所以焦点坐标

(4,0),(-4,0),

=25

222

设双曲线的方程为——2=1,可得幺=4

abc

c=5

解得：〃=2^/5,b=,

b1

可得％=±—=±7，

a2

故选：C.

7.A

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出I尸耳尸石结合余弦定理可得答案.

【详解】因为I尸同=3|尸闾,由双曲线的定义可得|P周T尸闾=2|P闻=2a,

所以归闾=a,|「耳|=3a；

因为N耳尸玛=60。，由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2x3a-a-cos60°，

整理可得4c2=7/,所以e2=〈=Z,即6=立.

a242

故选：A

【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a，。间的等量关系是求解的

关键.

8.A

【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲

线的离心率.

【详解】设PQ与x轴交于点A,由对称性可知轴，

又|尸。|斗。尸|=c,.•.|P4|=/「.PA为以纱为直径的圆的半径,

A为圆心

2

二,《右5’又P点在圆/+•/="上，

「2*22

---1=a1,即—=a2,e2=­彳=2.

442a2

:.e=42,故选A.

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几

何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中

的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来.

9.C

【分析】由已知可得出c的值，求出点A的坐标，分析可得|/囚=|耳阊,由此可得出关于。、

6、。的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】抛物线V=4后的准线方程为x=则°=逐，则由-底0）、区（后。），

[x=-CZX

不妨设点A为第二象限内的点，联立y一一5二可得be,即点A-C,，，

U-ck=Ti尸

qr

因为4月，月亮且,则△月外A为等腰直角三角形，

且|伍上国闾,即如=2c,可得2=2,

aa

2=2

aa=\

2

所以，c=A/5，解得。=2,因此，双曲线的标准方程为——匕=1.

4

(72=〃2+/c=y/5

故选：C.

10.A

【分析】设公共焦点为(G。)，进而可得准线为尤=-c,代入双曲线及渐近线方程，结合线段

长度比值可得/,再由双曲线离心率公式即可得解.

22

【详解】设双曲线十方=1(。>0,"0)与抛物线y2=2px(p>0)的公共焦点为(c,o),

则抛物线/=2Pxs0)的准线为x=_c,

2

r*2b2D仔

令x=-c,则二一2=1，解得y=±2,所以|人同=工

abaa

又因为双曲线的渐近线方程为?=±2尤，所以|C£>|=*,

aa

所以竺£=&空，即°=扬，所以/=/-廿=(,2,

aa2

所以双曲线的离心率e=£=五.

a

故选：A.

11.AC

【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过月作圆。的切线切点为G,利用正弦定理

结合三角变换、双曲线的定义得到26=3。或。=26,即可得解，注意就在双支上还是

在单支上分类讨论.

【详解】［方法一］:几何法，双曲线定义的应用

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过片作圆。的切线切点为B,

3

所以OB,耳N,因为cosN大”=]>0,所以N在双曲线的左支，

34

|OB|=a,|O7^|=c,|FjB|=b,^ZF{NF2=a,由即cosi=g,贝Usino=1,

3S

|NA|=-a,|NF,|=-a

附-附=2。

5（3）

—a—\—a—2b=2a,

2【2）

2b—a,..e—----

2

选A

情况二

3

若M、N在双曲线的两支，因为cosN£N与=w>0,所以N在双曲线的右支,

所以|OB|=a,\OF\=c,|耳B|=b,设/片Ng=a,

由cosN片?/耳二^，即cosa=g,贝!Jsina=（，

35

|NA|=-a,|NF2|=-a

|丽-网=2a

3c,5c

—Q+2b----ci—2a,

22

b3

所以2b=3〃，即一=7，

a2

所以双曲线的离心率e=£=Ji!5=巫

a\a22

选C

［方法二］:答案回代法

A选项e*

2

特值双曲线

2

亍-丁=1,.耳卜石,0),月(上,0),

过耳且与圆相切的一条直线为y=2(x+石)，

两交点都在左支,，,

.•.|明|=5,|师|=1,|耳月|=26，

3

则cos/片叫=1,

C选项6=史

2

特值双曲线1一1=1,.・.耳(-A/13,0),F2(713,0),

过耳且与圆相切的一条直线为y=g(x+而)，

两交点在左右两支，N在右支，疝1,

.•.|用|=5,|忻|=9,|耳司=2万，

3

贝i］cos/KN&=g,

［方法三］:

依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过耳作圆。的切线切点为G,

若M,N分别在左右支，

因为。G，N1,且cosN月八巴=1>0,所以N在双曲线的右支，

X|OG|=a,\OF\=c,\GF\=b,

设NF\NF】=a,NF#\N=0,

在△隼四中，有风芈

sin/3sin(a+£)sina

|狗一质|二工_a=」

sin(cr+/)-sin£sincrsin(a+〃)-sin^sina'

sinacos/3+cosasin〃一sin/3sina

a

H3.ncb田.4

而cosa=—,smp=—,cosp=—,故sina=一,

See5

h3

代入整理得到2b=3。，即一=7，

a2

故即一工即____________«____________=,

sin尸一sin(a+/)sinasin/3-sinacos(3-cosasin/3siner

代入cos。=3,sin/?=—,sin,整理得到："

故选：AC.

12.ACD

【分析】结合选项进行逐项分析求解，相>〃>0时表示椭圆，根=〃>0时表示圆，根〃<0时

表示双曲线，机=0,〃>。时表示两条直线.

【详解】对于A,若m＞孔＞0,则枢/+町/=1可化为1+1一，

mn

因为加＞几＞0,所以

mn

即曲线。表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；

对于B,若机=〃＞0,贝！J+〃y2=1可化为％之+J=_,

n

此时曲线c表示圆心在原点，半径为YE的圆，故B不正确；

n

.片+匚1

对于C,mn＜0,贝!Jmx?+〃y2=1可化为11,

mn

此时曲线。表示双曲线，

由小犬十儿必=0可得y=±—竺x,故C正确；

Vn

对于D,若根=0,〃＞0,贝|尔2+〃）2=i可化为丁=j_,

n

y=士近,此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；

n

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重

考查数学运算的核心素养.

13.述/-75

55

【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到|然|,怛闾,|班关于

。，加的表达式，从而利用勾股定理求得。=机，进而利用余弦定理得到GC的齐次方程，从

而得解.

方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得无。=：5。,%=-《2乙/=4/,将点

A代入双曲线C得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解；

【详解】方法一：

依题意，设|闷=2根,则忸闻=3〃?=忸可|,|M|=2a+2〃z,

在RtA3月中，9加之+（2〃+2用y=25m之，则（々+3机）（♦一相）=0,故”=机或〃=一3根（舍去），

所以|明|=43转|=2々，|%|=|班|=3匹贝"AB|=5a,

AF_4。_4

故cosN片人工二X

AB5a5

1I-4M4

所以在△"中‘8S"W=；：=2：g整理得5，』E

依题意，得耳（-c,0），K（c,0）,令4（%,%）,3（0,力,

2?52

因为g4=一188,所以（毛一仁为"一制-6"，则%=_§乙

又耳所以片448=（|。,_：/：（3/）=|°2_|r=0,则广二公?，

222

又点A在C上，则—9c—9t-整理25得c2-4%/=1，则25空c-1咚6c2=1,

22

气一一号=19a29b②9a9b

ab

所以25CV-16C2«2=9a2b2,即25c2（c2-a2）-16o2c2=9a2（c2-a~）,

整理得25c4-50a2c2+9a4=0,PJiJ（5c2-9a2）（5c2-a2）=0,解得5c2=9a2^5c2=a2,

又e>l,所以e=士叵或e=@（舍去），故6=地.

555

故答案为：正.

5

【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股

定理与余弦定理得到关于d6,c的齐次方程，从而得解.

14.2

3

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半

径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.

1*2X

【详解】解：双曲线V—二=1（根＞0）的渐近线为y=±—,即x土冲=0,

rnm

不妨取x+my=0,圆/+9―4y+3=0,Bpx2+（y-2）2=1,所以圆心为（0,2）,半径r=1,

依题意圆心（0,2）到渐近线x+根〉=0的距离d=

解得加或加（舍去）.

33

故答案为：息.

3

15.2

【分析】根据双曲线的几何性质可知，忸刊=[,N/=。-即即可根据斜率列出等式求解

即可.

x=c

ccXc=Cc

222

【详解】联立邑r-4=1,解得吩，所以忸司=h2.

aby=±一a

c2=b2+a21a

b2

BF■I------7?

依题可得,=3,\AF\=c-a,即a=-（r=?,变形得。+。=3"，c=2a,

~AF

c-aa（c-a）

因此，双曲线C的离心率为2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题.

16.亚

4

h

【分析】联立直线AB和渐近线/,：y=2》方程，可求出点2,再根据1/中1=3|早|可求得点

a

A,最后根据点A在双曲线上，即可解出离心率.

hhh

【详解】过尸且斜率为二的直线=f（尤+c）,渐近线=

4。4。a

b

y=—（x+c）/.x/_x

联立4。，得8m,由|FB|=3|网,得目7,

b133。J

y=­x

a

而点A在双曲线上，于是零-心工=1,解得：4=—'所以离心率e=地.

81481a2b2a2244

故答案为：巫.

4

17.2.

【分析】通过向量关系得到用A=AB和OA，£A,得到/AOB=/AO片，结合双曲线的渐

hr-

近线可得NBOF,=ZAOF^ZBOF,=NAO耳=ZBOA=60°,从而由上=tan60°=下＞可求离心

a

率.

【详解】如图,

由耳A=AB,得不A=AA又。6=。8,得OA是三角形片g8的中位线，即

BF2//OA,BF2=2OA.由F[B.F,B=0,得月台，F2B,OA±F1A,则02=O耳有ZAOB=ZAOF1,

又OA与OB都是渐近线，得2B0F]=NAO耳，又ZBOF2+ZAOB+ZAOF1=%，得

ZBOF^=ZAOF,=ZBOA=60°,.又渐近线OB的斜率为幺=tan600=6,所以该双曲线的

a

离心率为e=—=.11+(—)2=+=2.

aVa

【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数

学运算素养.采取几何法，利用数形结合思想解题.

18.(3,0)陋

【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C的右焦点坐标,并求得双曲线的渐近线方程,

利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.

【详解】在双曲线C中，a=y[6,b=y/3,则0=，/+廿=3,则双曲线c的右焦点坐标为

(3,0),

双曲线C的渐近线方程为＞=土乎x,即苫±&旷=0,

_3

所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为=6.

JF+2

故答案为：(3,0)；6

【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考

查计算能力，属于基础题.

19.V2+1

【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.

【详解】由题意知：_g=_c,:.p=2c,

抛物线方程为：y2=-2px=-4cx,

M在抛物线上，所以M(-c,2c),

44r2

M在双曲线上，，彳一彳=1,

ab

b2=c2-a2,c4-6a2c2+a4=0

:.e2=3±2^/2,又ee(l,+oo),;.e=0+l.

故答案为：72+1

20.(1)—--^=1

416

⑵证明见解析.

【分析】(1)由题意求得6的值即可确定双曲线方程；

(2)设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与N4的方程，

联立直线方程，消去儿结合韦达定理计算可得Y+干2=-：1,即交点的横坐标为定值，据此

x-23

可证得点P在定直线尤=-1上.

22_

【详解】（1）设双曲线方程为♦-七=1（。＞0]＞0）,由焦点坐标可知c=2指,

ab

贝fj由6='二百可得〃=2,b=[c1—a2=4，

a

双曲线方程为X-E=i.

416

（2）由⑴可得A（-2,0）,4（2,0）,设

显然直线的斜率不为0,所以设直线MN的方程为工=；町-4,且一;＜〃?＜；,

22

与+祗=1联立可得（4/-1）/-32〃沙+48=0,且△=64（4/+3）＞0,

直线N4的方程为＞=%（尤-2）,

X?一2

联立直线MAx与直线N4的方程可得:

x+2=%（占+2）=%（，孙-2）=畋］%-2（%+%）+2乂

尤-2必仁-2）^（myo-6）myly2-6yl

48_32m.-16m一

m—52入—+2y—7-+2y

4病一14/一1八4m2-111

48，48m/

mx——------6yl病「3

4m2-11

Y9I

由——二_—可得x=—1,即马=T,

x-23

据此可得点尸在定直线x=-1上运动.

【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和

综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算,

是解题的关键.

21.⑴/一21=1

3

（2）见解析

【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得。力的关系，进而利用。，4c的

平方关系求得。,6的值，得到双曲线的方程；

（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零,设直线的斜率为匕由③|AM=|8M

等价分析得到/+6。=学由直线尸加和Q"的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程,

两点间距离公式得到直线尸。的斜率加=也，由②尸。〃钙等价转化为优,=3%,由①加

%

在直线A3上等价于机=〃（%-2）,然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明

即可.

【详解】（1）右焦点为尸（2,0）,•渐近线方程为＞=±氐，=可，

a

c2=a2+b2=4。2=4,a=\,b—A/3•

••.C的方程为：龙2上=1

3

（2）由已知得直线P。的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；

若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性

可知M在x轴上，即为焦点尸，此时由对称性可知尸、。关于无轴对称，与从而玉=%，已

知不符；

总之，直线的斜率存在且不为零.

设直线AB的斜率为k，直线AB方程为y=k（x-2）,

则条件①M在A3上，等价于%=人（玉-2）=机=左2（%一2）；

两渐近线的方程合并为3x2-y2=0,

联立消去y并化简整理得：&-3）x2-4k2x+4k2=0

设AH，%），8%，%），线段中点为N（xv，底），则尤%=三产=手；，以=刈/-2）=生,

设M（Xo，%）,

则条件③=忸"|等价于-泡)2+(%-%)2=(尤0-尤4)2+(%-%)2,

移项并利用平方差公式整理得：

(X3-X4)[2X0-(X3+z)]+(%-%)[2%-(%+%)]=。，

[2X0-(X3+无4)]+?_([2%。,即丁一X”+左(%-％)=。，

即％+均。=备；

由题意知直线的斜率为-如，直线2"的斜率为石，

由乂一%=一虫(占一%)，％一%=6(马一%)，

•'•X—%=一6(占+W—2%)，

所以直线P。的斜率机==_同演+%2%),

xx-x2X,-x2

直线PM:y=_6(左一/)+%,即y=y0+y/3x0-y/3x,

代入双曲线的方程3/一y-3=o,即(JIx+力(屈-y)=3中,

得：(%+昌)12氐-(%+昌)]=3,

解得尸的横坐标：占=二^(---+%+底n,

2,31%+43%)

%

•1•条件②PQHAB等价于m=kokyo=3x°,

综上所述:

条件①M在AB上，等价于钱=〃(七一2)；

条件②PQ//AB等价于ky0=3x°；

条件③|AM|=忸闾等价于xo+kyo=2；

k—3

选①②推③:

"2QT.2

由①②解得：,x+ky=4x=-，，③成立;

k—3000k—3

选①③推②：

6k2

由①③解得：ky0=-^,

2

°k-3°左2-3

.•.佻=3%,.•.②成立；

选②③推①:

2k2.6k°.