2024年中考数学规律探索型问题冲刺卷（含解析）

2024年中考数学冲刺专题卷08规律探究型问题

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的）

1.（2024•湖南中考真题）视察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,.，依

据其中的规律可得7°+7+7?++7加9的结果的个位数字是（）

A.0B.1C.7D.8

【答案】A

【解析】

7°=1,71=77=49/3=343,74=24017=16807,,

.••个位数4个数一循环，

.-.（2019+1）-4=505,

.,.1+7+9+3=20,

.•.7°+7^+7?++72019的结果的个位数字是：0.

故选4

2.（2024•河南中考模拟）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1,3,6,

10-）和“正方形数”（如1,4,9,16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m,最大的''正

方形数”为n,则m+n的值为（）

•••

••••♦•

•••.................................................

三角形数

••••

•••••••

・••••••••

・••••••・••

A.33B.301C.386D.571

【答案】C

【解析】

由图形知第n个三角形数为l+2+3+-+n="（"+l）,第n个正方形数为n2,

2

当n二19时，」----^二190V200,当n=20时，」-----^-=210>200,

22

所以最大的三角形数m=190；

当n=14时，n2=196<200,当n=15时，n2=225>200,

所以最大的正方形数n=196,

则m+n=386,

故选C.

3.（2024•山东中考真题）已知有理数awl,我们把」-称为a的差倒数，如：2的差倒数是二-=-1,

1-a1-2

11小

-1的差倒数是丁丁K=7.假如q=-2,a?是&的差倒数，@3是a2的差倒数，3是as的差倒数……依此

1一（一1）2

类推，那么4+4++%oo的值是（

A.-7.5B.7.5C.5.5D.-5.5

【答案】A

【解析】

%=—2,

11131o

,•°2=1^(=2)=3，1--2,1,……

32

13131

这个数列以-2,-，一依次循环，且—2+—+—=

32326

V100-3=331,

15

。1+g++%00=33X2=-7.5,

故选:A.

4.（2024•山东中考真题）如图，小正方形是按肯定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中

空白处的是（)

【答案】C

【解析】

由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10,

符合此要求的只有：

故选C.

5.（2024•河北中考模拟）将正整数1至2024按肯定规律排列如下表:

134567S

910111213141516

I-1S192021222324

2526272829303132

.......

平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）

A.2024B.2024C.2024D.2013

【答案】D

【解析】

设中间数为X,则另外两个数分别为X-1、X+1,

...三个数之和为（x-1）+x+（x+1）=3x,

依据题意得：3x=2024或3x=2024或3x=2024或3x=2013,

2

解得：x=673或x=672-（舍去）或x=672或x=671,

3

,--673=84X8+1,

.•.2024不合题意，舍去；

•.•672=84X8,

；.2024不合题意，舍去；

V671=83X7+7,

，三个数之和为2013,

故选D.

6.（2024•贵州中考真题）下面摆放的图案，从其次个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到,

第2024个图案中箭头的指向是（）

①㊀①。①㊀

A.上方B.右方C.下方D.左方

【答案】C

【解析】

如图所示：每旋转4次一周，2024+4=504…3,

则第2024个图案中箭头的指向与第3个图案方向一样，箭头的指向是下方，

故选C.

7.（2024•湖北中考真题）视察等式:2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2.--

已知按肯定规律排列的一组数：25°、251、252、…、299、2100.若？5。=。，用含。的式子表示这组数

的和是（）

A.2a2-2aB.2a2—2a—2C.2a2-aD.2a2+a

【答案】C

【解析】

250+251+25M----1-2"+2100

=a+2a+2?a+…+2，

=a+(2+22+-+250)a,

;2+22=23-2，

2+22+23=24-2-

2+22+23+24=25-2«

A2+22H----F250=251-2,

.,.2M+251+252+-+2"+2100

=a+(2+22H----H250)a

=a+(251—2)a

=a+(2a—2)a

=2a2—a，

故选C.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）

9.（2024•甘肃中考真题）视察下列图中所示的一系列图形，它们是按肯定规律排列的，依照此规律，第

2024个图形中共有个O.

O

OO

OOO

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

OOOO

第1个第2个第3个第4个

【答案】6058

【解析】

由图可得,

第1个图象中。的个数为:l+3xl=4,

第2个图象中。的个数为:l+3x2=7,

第3个图象中。的个数为:1+3x3=10,

第4个图象中。的个数为:1+3x4=13,

.•.第2024个图形中共有：1+3x2019=1+6057=6058个O,

故答案为：6058.

10.（2024•湖北中考真题）将被3整除余数为1的正整数，依据下列规律排成一个三角形数阵

1

47

101316

19222528

3134374043

LLLL

则第20行第19个数是_____________________

【答案】625

【解析】

由图可得，第一行1个数，其次行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210

个数，

...第20行第20个数是：1+3（210-1）=628,

...第20行第19个数是：628-3=625,

故答案为：625.

11.（2024•山东中考真题）数轴上A两点的距离为4,一动点尸从点A动身，按以下规律跳动：第1

次跳动到AO的中点4处，第2次从4点跳动到4。的中点4处，第3次从4点跳动到&。的中点4

处.依据这样的规律接着跳动到点4,A，A，，A（〃23,“是整数）处，那么线段4A的长度为—

（“23,九是整数）.

P

,------,

O出444

【答案】4—亍!

【解析】

由于0A=4,

全部第一次跳动到0A的中点Ai处时，0A1--0A=-X4=2,

22

同理其次次从Ai点跳动到A?处，离原点的（4）以4处，

2

同理跳动n次后，离原点的长度为（；）"义4-萍，

故线段AM的长度为4-5（n>3,n是整数）.

故答案为卜J.

12.（2024•辽宁中考真题）如图，在二AC。中，4G=AO=2,NAOC]=30。，过点人作

垂足为点。2，过点c2作G4交于点&,得到ac2cl；过点&作AG±ocx,垂足为点c3,

过点C3作£4交于点4,得到:.A3C3G；过点4作垂足为点。4,过点04作

c4A4GA交于点，得到A4c4G；……依据上面的作法进行下去，贝匚4+iG,+C”的面积为

.（用含正整数〃的代数式表示）

0^5^43由41

【答案】B

4“

【解析】

由等腰三角形的性质得出OG=G£,由含30。角直角三角形的性质得出4G=；。4=1，

解：；AG=4O=2,AG，OG，

/.oc2=c2cl,

N40G=3O。，

22

qc2=JAC：一AG?=V2-i=G,

c241GA,

O4C2SOAG，

,4c2二。。2

一AG—03'

••AQ=g4G=1，

同理，4c3=]402=5，

Sac2G=万。。2.403=gx6xg=当,

同理，C2G=A/W-4G2=，T£|=乎，

AG=/4G=5，

“14「111

——4c3=­x—=—，

々42Y3224

1A/31A/3

…QA3c3c2u§GG，A3c4=—X——X—,

22442

同理‘C3C4=d&C；-A3cj’

A4c4=；4。3J,

A4c5=A。=q

1V3173

=/。3。44G=—XX—=

…04c4G24843

,§力

-4+C+C—4〃，

故答案为：立.

三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13.（2024•安徽中考真题）视察以下等式:

第1个等式：；=；+；,

21

第2个等式:-—--_-_-r(_

36

21

第3个等式:—二一+

5315

211

第4个等式:一—__|।_

7428

211

第5个等式:——=一十

9545,

依据以上规律，解决下列问题:

（1）写出第6个等式：____________________

（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明.

…心.211211

【答案】(1)--=—+;(2)----——I--------,见解析.

116662〃-lnn(2n-1)

【解析】

解：（1）第6个等式：—=-+—

11666

、211

(2)------=—I--------------

2n-lnn(2n-l)

证明：：右边='+12n-l+l2

=左边.

nn(2n-l)n(2n-l)2n-l

，等式成立

14.（2024•江苏中考真题）（阅读理解）

用10。〃义20皿的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案.已知长度为10cm、20cm>

30m的全部图案如下:

⑴如图，将小方格的边长看作10cm,请在方格纸中画出长度为40cm的全部图案.

（归纳发觉）

（2）视察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整.

图案的长度10cm20cm30cm40cm50cm60cm

全部不同图案的个数123———

【答案】（1）见解析；（2）4，5,6.

【解析】

⑴如图：

依据作图可知40。%时，全部图案个数4个;

⑵50所时，如图所示，全部图案个数5个;

同理，60。加时，全部图案个数6个，

故答案为4，5,6.

15.（2024•山东中考真题）问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张aXb的方格纸（aXb

的方格纸指边长分别为a,b的矩形，被分成aXb个边长为1的小正方形，其中a22,b22,且a,

b为正整数）.把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

出

I■II_____I

图①

问题探究：

为探究规律，我们采纳一般问题特别化的策略，先从最简洁的情形入手，再逐次递进，最终得出一般性的

结论.

探究一：

把图①放置在2X2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于2X2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，明显有4种不同的放置方法.

田ffi田田

探究二：

把图①放置在3X2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在3X2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论可知，把图①

放置在3X2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2X4=8种

不同的放置方法.

探究二：

把图①放置在aX2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在aX2的方格纸中，共可以找到个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论可知，把

图①放置在aX2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法.

探究四：

把图①放置在aX3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在aX3的方格纸中，共可以找到个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论可知，把

图①放置在aX3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法.

问题解决：

把图①放置在aXb的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿

照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图.）

问题拓展：

如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a,b,c

（a22,b22，c22，且a,b,c是正整数）的长方体，被分成了aXbXc个棱长为1的小立方体.在

图⑧的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体.

【答案】探究三：a-1,4a—