集合的概念与关系讲义 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

集合的概念与关系模块一集合的概念与表示知识梳理一．集合的概念(1)元素与集合：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示.二．集合与元素的关系如果a是集合A的元素，记作，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作，读作“a不属于A”.三．集合中元素的特点(1)确定性：集合的元素必须是确定的.(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不相同的.(3)无序性：集合中的元素可以任意排列.四．常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N;所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N+或N*；所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；所有实数组成的集合称为实数集，记作R.五．集合的表示(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），放在大括号内，依此表示集合的方法称为列举法，如，等.使用说明①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.③无限集有时也可用列举法表示.(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质为集合A的一个特征性质，此时集合A可以表示为，这种表示集合的方法称为特征性质描述法，简称描述法.使用说明①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.②集合中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.六．集合的分类一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集.题型精练考点一集合的含义【例1】下列对象中不能构成一个集合的是（

）A．某校比较出名的教师 B．方程的根C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形【变式1-1】下列给出的对象能构成集合的有（

）①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点二元素与集合关系的判断【例2】下列关系中，正确的个数为（

）①；②；③；④；⑤；⑥.A．6 B．5 C．4 D．3【变式2-1】已知集合，若，则实数的值为（

）A．2 B． C．2或 D．4考点三：集合的确定性、互异性、无序性【例3】若，则的值是（

）A．0 B．1 C． D．【变式3-1】由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（

）A． B．1 C． D．2考点四：集合的表示：描述法【例4】用描述法表示下列集合：(1)不等式的解组成的集合；(2)被除余的正整数的集合；(3)；(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．【变式4-1】试用描述法表示下列集合.(1)方程的所有实数根组成的集合；(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合；(3)二次函数图象上的所有点组成的集合.考点五：集合的表示：列举法【例5】用列举法表示下列集合：(1)(2)．【变式5-1】用列举法表示下列集合：(1)大于1且小于6的整数；(2)；(3)．(4)．(5)由＋（a，b∈R）所确定的实数组成的集合.【变式5-2】集合可用列举法表示为．考点六：集合的综合问题【例6】设集合，那么集合满足条件“”的元素个数为（

）A．4 B．6 C．9 D．12【变式6-1】数集，，，若，，则（

）A． B．C． D．A，，都有可能【变式6-2】已知集合(1)若是空集，求的取值范围；(2)若中只有一个元素，求的值，并求集合.模块二子集、全集、补集知识梳理一．子集1、一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集．，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）．2、规定：空集是任何集合的子集，即．3、子集的性质：（1）任何一个子集都是它本身的子集，即．（2）若，且，则．二．韦恩图韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示：BBA三．真子集1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或），读作：A真包含于B（或B真包含A）．2、真子集的性质（1）空集是任何非空集合的子集．（2）若AB，BC，则AC．四．集合的相等与子集的关系1、如果A⊆B且B⊆A，则A=B．2、如果A=B，则A⊆B且B⊆A．五．有限集合的子集个数若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2．六．补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示．2、如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作CUA．3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示：UUA题型精练考点一：集合的包含关系判断【例1】若，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【变式1-1】下列命题中，正确的个数有（

）①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥.A．1 B．2 C．3 D．5考点二：集合的相等【例2】已知，，若集合，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【变式2-1】下列集合中表示同一集合的是（

）A．整数，整数集B．，C．，D．，【变式2-2】已知，其中，则（

）A．0 B．或 C． D．考点三：空集的定义、性质及运算【例3】若集合，则实数a的值的集合为．【变式3-1】设集合，只有一个子集，则满足要求的实数．【变式3-2】下列集合：①；②；③；④；⑤．表示空集的有考点四：子集与真子集的个数问题【例4】已知集合，则集合的真子集个数为个【变式4-1】已知集合，则的非空子集的个数是．【变式4-2】已知集合，则集合的子集有.【变式4-3】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知集合.(1)写出集合M的子集、真子集;(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数;(3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?考点五：补集及其运算【例5】设全集，，则CUA=.【变式5-1】已知是非空集合，定义运算且，若，，则，CR(M-N)=考点六：集合关系中的参数取值问题【例6】（多选题）若集合，且，则实数的取值为（

）A． B． C．0 D．2【变式6-1】设集合(1)若，试判断集合与的关系；(2)若，求的值组成的集合．【变式6-2】已知集合.(1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合；(2)若至少有两个子集，试