函数的单调性第二课时教学设计 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1函数的单调性（第2课时）一、教学内容分析通过探究函数图象的升降与导数的正负之间的关系，得出可用导数判断函数单调性的结论与方法，这一过程中蕴含着数形结合的思想.利用函数的导数及其运算，将判断函数的单调性这一复杂问题、转化为步骤明确的运算问题，这又蕴含了重要的算法思想.用导数研究函数的单调性，对于并学生利用两数模型描述客观事物的变化规律、解决优化等实际向题有着非常重要的意义，是学生的数学运算与数学建模素养的很好的载体．二、教学重难点重点：掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤．难点：探究函数增减的快慢与导数的关系．三、教学目标与核心素养（一）教学目标1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性；3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；4.了解函数增减的快慢与导数的关系.（二）核心素养（1）数学抽象：导数正负与函数单调性关系；（2）逻辑推理：运用导数正负判断函数单调性；（3）数学运算：能求不超过三次的多项式函数的单调区间；（4）直观想象：借助几何导数与函数单调性的关系，观察图像了解函数增减与导数的关系。四、学生学情分析函数的单调性是函数性质中的一个重要性质，学生在必修一中已经学习了函数单调性的内容，如利用函数图像、单调性定义来研究函数的单调性。并且学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算等相关的数学概念，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。学生通过第1课时函数与导数的正负间的关系能解决比较简单的函数单调性问题，在此基础上学习相对容易。五、教学策略分析数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间的交往互动，共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”为主导，结合实际问题进行教学。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题和解决问题的能力，培养了他们的创造力。这也正是新课程所倡导的数学教学理念。六、教学手段多媒体计算机和传统黑板相结合，通过PPT演示，可使学生直观感知知识的产生过程，为掌握理性知识创造条件。通过板演，可以使学生对重点内容的理解和掌握更加到位。七、教学过程1、复习导入函数的单调性与导数的关系：一般地，函数f(x)的单调性与导函数f¢(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a,b)上，如果f¢(x0)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f¢(x0)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减。问题1：如何求函数的单调性；师生活动：引导学生回顾图像法和定义法，进而提出导数法.问题2：如f(x)=ax3+bx+cx+d(a¹0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。例2：求函数f(x)=13x3-12x2-2x+1的单调区间。解：因为函数f(x)=13x3-12x2-2x+1的定义域为R.所以f¢(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2)令f¢(x)=0，解得x=-1或x=2列表如下：x(-¥,-1)—1(-1,2)2(2,+¥)f¢(x)+0—0+f(x)单调递增单调递减单调递增所以，f(x)在(-¥,-1)和(2,+¥)上单调递增，在(-1,2)上单调递减.师生活动：教师启发学生思考，并示范解答上述问题.在此基础上，引导学生归纳用导数判断函数单调性的步骤：1步，确定函数f(x)的定义域；2步，求出函数的导数；3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干小区间，判断(x)在每个小区间上的正负，由此得出f(x)的单调区间．设计意图：此问题是教科书例题，教师通过例题解答向学生示范如何用导数判断函数的单调性，再让学生通过练习熟悉用导数R判断函数单调性的步骤，体会算法思想，发展数学运算素养．巩固练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（1）f(x)=3x-x3;（2） f(x)=x3-x2-x.设计意图：巩固新知，熟练掌握导数法，熟悉步骤.问题3：能否探究函数增减的快慢与导数有什么关系？研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,+¥)上增长快慢的情况．yyy=lnxy=x3OxOx图2图1对数函数y=lnx的导函数y¢=1x>0(xÎ(0,+¥))，所以y=lnx在区间(0,+¥)上单调递增。当x越来越大时，y¢=1x越来越小，所以函数y=lnx递增得越来越慢图像上升得越来越“平缓”（如图1）．幂函数y=x3的导函数y¢=3x2>0(xÎ(0,+¥))，所以y=x3在区间(0,+¥)上单调递增。当x越来越大时，y¢=3x2越来越大，所以函数y=x3递增得越来越慢图像上升得越来越“陡峭”（如图2）．追问：由探究可以得到什么结论？如何更准确地画出函数图像？一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图像就比较“平缓”．设计意图：让学生深刻体会导数与函数的密切关系，由此感悟只求导是不能较为准确地画一个函数的图像的。典例分析：例2：设x＞0，f(x)=lnx，g(x)=1-1x，两个函数的图像如下图所示，判断f(x)，g(x)的图像与C1，C2之间的对应关系．yC2C1O x解：因为f(x)=lnx，g(x)=1-1x，所以f¢(x)=1x，g¢(x)=x12，当x=1时，f¢(x)=g¢(x)=1；0＜x＜1时，g¢(x)＞f¢(x)＞1；x＞1时，0＜g¢(x)＜f¢(x)＜1．所以，f(x)，g(x)在区间(0,+¥)上都是增函数．在区间(0,1)上，g(x)的图像比f(x)的图像要“陡峭”，在(1,+¥)上，g(x)的图像比f(x)的图像要“平缓”，所以，f(x)，g(x)的图像依次是图中的C2，C1．课堂小结：教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：本节课你学到了什么知识？你是如何获得这些知识的？师生活动：学生思考交流后，教师引导学生归纳得出用导数判断函数f(x)的单调性的基本步骤：1步，确定函数f(x)的定义域；2步，求出导数f＇（x）的零点；3步，用f¢(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干小区间，判断¢(x)在每个小区间上的正负，由此得出f(x)的单调区间．本节