函数的最大（小）值第二课时教学设计 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课题5.3.2函数的最大（小）值(第2课时)一、教学内容用导数判断函数的单调性，运用导数求函数的极值与最大（小）值的应用。二、教学目标1.熟练掌握运用导数求函数的单调区间，求函数的极值与最大（小）值；2.学会用导数解决数学中的函数问题和生产生活中的最优化问题。三、教学重点与难点重点熟练运用导数判断函数的单调性并求函数的极值与最大（小）值及相关应用；难点将函数中相关问题，生产生活中的问题的解决转化为单调性和极值最值问题的解决。四、教学过程设计1.知识回顾问题1我们前两节课学习了哪些内容？预设 学习了用导数去判断函数的单调性，并求出函数的单调区间，根据函数的单调性求函数的极值和最大（小）值；设计意图 带领学生复习回顾最值与极值的区别与联系，知道可以利用最值法进行不等式的证明.问题2请判断函数f(x)=(x+1)ⅇx的单调性,并求出f(x)的极值；预设 解⑴函数的定义域为R.f'(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ⅇx)'1ex+(x+1)ex(x+2)ex令f'(x)=0，解得x=-2.f'(x)，f(x)的变化情况如表5.3-4所示.表5.3-4x-2-0+单调递减 单调递增所以，在区间(-∞,-2)上单调递减，在区间(-2,+∞)上单调递增.当时，f(x)有极小值.设计意图熟悉用导数求单调区间和极值最值，为后面的应用作准备.2.能力深化问题3 画出函数f(x)=(x+1)ⅇx的大致图像吗？追问1 要想画出图像，我需要知道该函数的哪些性质和特点？预设 需要知道该函数的单调性，奇偶性，极值点、最值点等特殊点及变化趋势.追问2 问题2中，我们已经判断出了函数的单调性并求出了函数的单调区间，同时也求出了该函数的极值和极值点，还需要求出什么？预设还需要求出该函数经过的特殊点和变化趋势.令，解得.当时，；当x>-1时，f(x)>0.所以，的图象经过特殊点A(-2,-ⅇ12)，B(-1,0),C(0,1).当时，与2一次函数相比，指数函数y=ⅇ-x呈爆炸性增长，从而f(x)=x+1→0；ⅇ-x当x→+∞时，，f'(x)→+∞.根据以上信息,我们画出f(x)的大致图象如图5.3-17所示.y-2-11xO 1-1图5.3-17设计意图 教会学生用导数研究函数的单调性，极值等性质以及画函数大致图像的问题，并由画图过程提炼出函数作图的基本步骤，理清这些步骤与求函数单调区间，求函数极值等问题的步骤之间的联系.问题4你能求出方程的解的个数吗？追问1你觉得应该怎么去求？直接解这个方程可以吗？预设 用现有的解方程的知识解决不了.追问2如何转化呢？预设 方程的解的个数为函数y=f(x)的图像与直线y=a的交点个数.由（1）及图5.3-17可得，当x=-2时，f(x)有最小值f(-2)=-1.ⅇ2所以,关于方程f(x)=a(a∈R)的解的个数有如下结论当时，解为0个；3当a=-1或a≥0时，解为1个；当-1<a<0时，解为2个.ⅇ2e2设计意图让学生联系零点存在性定理，从而带领学生得到以下阶段小结.阶段小结 由例7可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质.通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象（1）求出函数f(x)的定义域；（2）求导数f'(x)及函数f'(x)的零点；（3）用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；（4）确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；（5）画出f(x)的大致图象.设计意图 及时的阶段小结，让问题明确化，过程系统化，方法条理化，提高解决问题的能力.问题5我们还能运用导数解决函数中的哪些问题呢？例1 利用函数的单调性，证明不等式ex³1+x.追问 如何转化？预设 要证ex³1+x，只要证ex-x-1³0，即证f(x)=ex-x-1³0，只要证fmin(x)³0追问 本题转化为了什么问题？预设 函数求最值问题.f(x)=ex-x-1设计意图 让学生体会常见的数学问题的转化路径，培养转化与化归的能力.3.实际问题4引导语下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用.问题6饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大?例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.⑴瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？⑵瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？追问 实际生活中的问题，我们如何处理？预设 转化为数学问题.追问 转化为数学中的什么问题？预设 转化为函数求最值问题，从而用导数来解决.解由题意可知，每瓶饮料的利润是3y=f(r)=0.2×43πr3-0.8πr2=0.8π(r3-r2),0<r≤6.所以令f'(r)=0，解得.当时，；当r∈(2, 6)时，.因此，当半径r>2时，f'(r)>0.f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r<2时，f'(r)<0，单调递减，即半径越大，利润越低.⑴半径为6cm时，利润最大.⑵半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.5换一个角度如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象(图5.3-18)上观察，你有什么发现？yO123r图5.3-18从图象上容易看出，当时，f(3)=0，即瓶子的半径是3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r>3时，利润才为正值.当r∈(0, 2)时，f(r)是减函数，你能解释它的实际意义吗?通过此问题的解决，我们很容易回答开始时的问题，请同学们自己作出回答.设计意图意在通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用,数学学习的最终目的是用于生活，服务于生活，解决生活中的问题.4.课堂练习⑴利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证sinx<x,x∈(0,π).⑵如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为am2.为使所用材料最省，圆的直径应为多少？设计意图 让学生学会运用函数求导的方法解决6生活中的优化问题.5.课堂小结问题7通过本节课的学习，你有哪些收获？(1)知识内容方面（2）技能方法方面（3）思想态度方面师生活动 由学生独立进行思考，适当交流后，师生共同总结.本节课我们回顾了用导数判断函数的单调性，求函数的极值和最值，同时解决了函数中的其他问题（方程的根的问题、图像及图像交点问题，不等式问题），并学习了如何用导数解决实际生活中的最值问题.设计意图 通过回顾归纳本节课所学，让孩子们有一个清晰的逻辑知识链，对整个解决问题的方法有个系统的认知，培养逻辑推理能力，转化与化归能力.6.作业设计，目标检测习题5.3综合运用第12（2）；综合运用第8题；拓广探索第13题.设计意图不同题型对知识有不同要求，让学生根据自己所掌握知识学会解决问题，体会用导数解决问题的方法.体现学以致用的观念，消除学生学生学无所用的思想顾虑.而第13题则是对学有余力的同学提出了要求，因材施教.7.目标检测设计组1.函数f(x)=x3+ax2-(3+2a)x+1在x=1处取得极大值，则实数a的取值范围为（ ）A．(-¥，-3) B．(-3，+¥) C．(-¥，3) D．(3，+¥)2.已知函数f(x)=2mx-4lnx.7（1）当m=1时，求f(x)的单调递增区间；（2）若f(x)与g(x)=12mx2+2x的图象上恰有两对关于y轴对称的点，求m的取值范围.设计意图加强学生运用新知识的意识，学以致用，培养学生解决问题的能力和调动学生学习的积极性，提高学生思维的广度.组1.已知