九年级数学上册全册导学案人教版含答案

第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1.了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c=0(a≠0)及有关概念.3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念.重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索.难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面分析：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长 (100－2x)(50－2x)＝3600，化简整理，得x2-75x＋350＝0.①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个分析：全部比赛的场数为4×7＝28.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）2场．列方程x（x－1）2＝28，化简整理，得x2－x－56=0.②归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有一个未知数(一元)数的最高次数是2的方程.1．一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数叫做一元二次方程.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；解：(2)(3)(4).点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程.2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1=证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∴(m－4)2＋10，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程.点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可.-4321，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x+12＝0的两根.点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交1．判断下列方程是否为一元二次方程.2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值.解得a根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方x2－2x－100＝0.1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2解一元二次方程21．2.1配方法(1)1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能.重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想.难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2=n(n≥0)的方程.用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为 6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程： 10×6x2＝1500，根据平方根的意义，得x=±5，即x1＝5，x25.可以验证5和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为2x-1=±5，即将方程变为2x－1＝5和2x－1=-5两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝1＋52，x2＝1－52.在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了.方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋3)2＝4，进行降次，得到x＋3=±2，方程的根为x11，x25.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x=±p或mx＋n=±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，y=±2，x－8=±5，＝－＝－＝－点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，(3)4±点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2=p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根.2．已知关于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交(2)x1＝2＋5，x2＝2－5；＝－＝－1．用直接开平方法解一元二次方程.2．理解“降次”思想.3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0?学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.1配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程.2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程.重点：掌握配方法解一元二次方程.难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程.(3)x2＋px＋__(p2)2__＝(x＋_2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__.问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面设场地的宽为xm，则长为(x＋6)m，根据矩形面积为16m2，得到方程x(x＋6)＝16，整理得到 x2＋6x－16＝0.探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2+6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设解：移项，得x2＋6x＝16，+(b2)2的形式，得 x2＋6x＋9＝16＋9，左边写成平方形式，得 开平方，得 x＋3=±5，(降次)＝－解一次方程，得x1＝2，x28.归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程.(3)4x2＋16x＋16＝9.＝－＝－归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；(3)方程两边同时除以二次项系数a；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋由此可得x＋3=±2，即x1＝－1，x2＝－5.＝－配方得x2＋3x＋(32)2＝(x＋32)2＝54，由此可得x＋32=±52，即x1＝52－32，＝－(3)去括号，整理得x2＋4x－1＝0，移项得x2＋4x＝1，x＋2=±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一即x2－14x＋24＝0，x－7=±5，x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去.答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交(2)x1＝2＋2，x2＝2－2；(3)x1＝14＋174，x2＝14－174；＝－2．如果x2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求(xy)z的值.解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2=0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y3，z=-2.∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝学生总结本堂课的收获1．用配方法解一元二次方程的步骤.2．用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.2公式法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.重点：求根公式的推导和公式法的应用.难点：一元二次方程求根公式的推导.＝－＝－问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx+c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子＝－方程没有实数根.(2)x＝－b±b2－4ac2a叫做一元二次方程ax2＋bx+c＝0(a≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c==b2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么(3)无实数根.点拨精讲：Δ>0时，有两个不相等的实数根；Δ=0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(B)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1=0，2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，Δ=m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ>0，∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交(4)有两个不相等的实数根.＝－(2)x1＝2＋32，x2＝2－32；＝－＝－＝－＝－的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入x=-b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a，b，c的值，再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3因式分解法1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.重点：用因式分解法解一元二次方程.难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经即10x－4.9x2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①?分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x＝0或10－4.9x＝0，②∴x1＝0，x2≈2.04.上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0点拨精讲：(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.(2)如果ab＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x1__或__x＝1.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，(3)5x2－20x＋20＝0.＝－一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，＝－＝－点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式.(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋34；＝－＝－点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交＝－(5)x1＝3，x2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为x则可列方程2πx2=解得x1＝5＋52，x2＝5－52(舍去).答：小圆形场地的半径为(5＋52)学生总结本堂课的1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b=0，即“二次降为一次”.2．正确的因式分解是解题的关键.学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.4一元二次方程的根与系数的关系1.理解并掌握根与系数的关系：x1＋x2＝－ba，x1x2=2.会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用.方程x1x2x1＋x2x1x2x2－5x＋6＝02x2＋3x－10＝02－5－3－10答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项.②x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律.答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q.方程x1x2x1＋x2x1x22x2－3x－2＝02－12-13x2－4x＋1＝0问题：上面发现的结论在这里成立答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律.答：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.ax2＋bx＋c＝0的两根x1b＋b2－4ac2a，x2b－b2－4ac2a.x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积.＝－＝－(3)x1＋x2＝6，x1x2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积.＝－＝－(3)x1＋x2＝54，x1x2＝点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c.2．已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值.解：另一根为32，k＝3.将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.3．已知α,β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值.(1)1α+1β;(2)α2+β2；(3)α-β.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：＝－(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－2．两根均为负数的一元二次方程是(C)A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数.不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1．先化成一般形式，再确定a，b，c.2．当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系.3．要注意比的符号：x1＋x2＝－ba(比前面有负号)，x1x2＝ca(比前面没有负号).学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理.3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点：列一元二次方程解决实际问题.难点：找出实际问题中的等量关系.问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x＋1)(x＋1)__人患了流感. 再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数.分析：设原来的两位数的个位数字为x，则十位+x][10x＋(6－x)]＝1008，解得x1＝2，x2＝4，∴原来的两位数为二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()A．x(x＋1)＝2550B．x(x－1)＝2550C．2x(x＋1)＝2550D．x(x－1)＝2550×2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550.故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2=故每个支干长出9个小分支.点拨精讲：本例与传染问题的区别.2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)+x－4.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是(C)A．2和4B．6和8C．4和61．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题.2.对于数字问题应注意数字的位置.学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1.会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理.3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点：如何解决增长率与降低率问题.难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量.生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题.①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5000(1－x)2元.依题意，得5000(1－x)2＝3000.解得x1≈0.23，x2≈1.77.根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 0.23.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：6000(1－y)2＝3600.解得y1≈0.23，y2≈1.77(舍).答：两种药品成本的年平均下降率相同.点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则12月份的营业额为5000(1＋x)(1＋x)元，即 5000(1＋x)2元.由此就可列方程：5000(1＋x)2＝7200.点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比.增长率＝增长数∶基准数二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M=a(1＋x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存第二次存，本金就变为1000＋2000x80%，其他依此类推.解：设这种存款方式的年利率为x，则1000＋2000x80%＋(1000＋2000x80%)x80%＝1320，整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x-2＝0，解得x1＝－2(不符，舍去)，x2＝0.125＝12.5%.答：所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200kg，2013年平均每公顷产8460kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.＝－即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解.学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际意义.2.若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n=b(常见n＝2).学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(3)1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.2.列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题.重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬分析：封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是9∶7，若设中央的长方形的长和宽分别是9a_cm和7a_cm，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是(27－9a)∶(21－7a)=9∶7.请试一试.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图②)．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽.解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得(2x+6)(2x＋8)＝80.＝－答：金色纸边的宽为1分米.点拨精讲：本题和上题一样，利用矩形的面积公式做为相等关系列方程.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，如图，某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积都是144m2，求马路的宽.解：假设三条马路修在如图所示位置.设马路宽为x，则有解得x1＝2，x2＝44，由题意：40－2x＞0，26－x＞0,则x＜20.故x2＝44不合题意，应舍去，∴x＝2.答：马路的宽为2点拨精讲：这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交1．如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度．(精确到0.1cm)解：设横彩条的宽度为3xcm，则竖彩条的宽度为2x根据题意，得(30－4x)(20－6x)＝(1－14)×20×30.解得x1≈0.6，x2≈10.2(不合题意，舍去).故3x＝1.8，2x＝1.2.答：横彩条宽为1.8cm，竖彩条宽为1.22．用一根长40cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75cm2.说明围法.(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2)，长方形的宽为x(cm)，求S与x的函数关系式，并求出当x为何解：(1)设此长方形的宽为xcm，则长为(20－x)根据题意，得x(20－x)＝75，解得x1＝5，x2＝15(舍去).答：此长方形的宽是(2)不能．由x(20－x)＝101，即x2－20x＋101＝0，知Δ=202－4×1014＜0，方程无解，故不能围成一个面积为101cm2的长方形.＝－时，S的值最大，最大面积为100cm2.点拨精讲：注意一元二次方程根的判别式和配方法在第(2)(3)问中的应用.用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程.学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系.重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系.难点：理解二次函数的有关概念.自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空.总结归纳：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y=ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0).二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__.B．y＝1－2x2C．y＝13(x＋2)(x－2)2．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__-1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__.3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y=πx2＋2πRx(x≥0).点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后， b≠2.探究2某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要解：(1)y10x2＋1400x－40000(50x100).(2)由题意得10x2＋1400x－40000＝8000，化简得x2－140x＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交成反比例，则y与x的函数关系是(A)A．二次函数B．一次函数C．正比例函数D．反比例函数3．已知，函数y＝(m－4)xm2－m＋2x2－3x－1是关于x的函数.点拨精讲：第3