八年级数学下册 讲义（北师大版）第六章第03讲 三角形的中位线(5类热点题型讲练)（解析版）

第03讲三角形的中位线(5类热点题型讲练)1．掌握中位线的定义以及中位线定理；(重点)2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．(难点)知识点01三角形的中位线定理（1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）（2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，.题型01与三角形中位线有关的求解问题【例题】（2023·吉林白城·模拟预测）如图，在中，，点，，分别是、、的中点，连接、，则四边形的周长为．【答案】9【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理分别求出、，根据线段中点的概念分别求出、，计算即可．【详解】解：点，，分别是、、的中点，，，，、是的中位线，，，，，四边形的周长为：，故答案为：9．【变式训练】1．（2024·山东淄博·一模）如图，在中，，，，E，F分别为边上的点，M，N分别为的中点．若，则的长为．【答案】【分析】连接，过A作交延长线于G，连接，证明，，，利用勾股定理的逆定理得出，进而可得出，利用勾股定理求出，然后利用三角形的中位线定理求解即可．【详解】解：连接，过A作交延长线于G，连接，∴，又，，∴，∴，，∵，，，∴，∴，∴，∴，即，又，∴，∵M为中点，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理与逆定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，添加合适辅助线，构造三角形中位线是解题的关键．2．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）中，，，分别是其角平分线和中线，过点C作于F，交于G，连接，则线段的长为．【答案】2【分析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，证明是关键．首先证明，则，证明是的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．【详解】解：∵是的角平分线，∴，∵于F，∴°，在和中，，∴，∴，∴．∵是的中线，∴，∴是的中位线，∴．故答案为：2．题型02三角形中位线与三角形面积问题【例题】（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点分别是的中点，若四边形的面积是，则的面积是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】先根据点分别是的中点，证得，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点分别是的中点，∴，，∴，∴，又∵，∴，解得，故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．【变式训练】1．（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）如图所示，已知的面积为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，，依此类推，第个三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的面积，同理第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图：过点A作于G，交于H，则，、E、F分别为、、的中点，、、分别为的中位线，，，，，，，，同理：第三个三角形的面积=，第四个三角形的面积第三个三角形面积，……，∴第2013个三角形的面积为，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，找出规律是解题的关键．2．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）如图，是的中位线，M是的中点，的延长线交于N，那么，．【答案】【分析】利用是中位线，M是的中点，根据各边关系可以求出结果；把各边关系转换为面积的关系来解答即可．【详解】解：是中位线，M是中点，，，，是中位线，，，连接，，，，，，，，，，故答案为：；．【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．题型03三角形中位线的实际应用【例题】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，如果要测量池塘两端、的距离，可以在池塘外取一点，连接，，点、分别是，的中点，测得的长为米，则的长为米．【答案】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是掌握“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．根据三角形的中位线定理，即可求解．【详解】解：点、分别是，的中点，是的中位线．（米）．故答案为：．【变式训练】1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离．可以在外选一点连接，，并分别找出它们的中点，，连接．现测得，则．【答案】/48米【分析】本题考查了三角形的中位线，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据中位线的性质求解即可．【详解】解：点，分别是，的中点，，∴是的中位线，∴．故答案为．2．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为．【答案】【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵点D，E是，的中点，，∴，故答案为：．题型04与三角形中位线有关的证明【例题】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知在中，，为中点，为边的中线且，连接、．

(1)求证：；(2)若，求的周长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由三角形中线性质得到，再由等腰三角形性质、三角形外角的性质及等腰三角形性质得，可得结论；（2）先由中位线的判定与性质得到，再由是等边三角形，确定含的直角三角形，结合含的直角三角形及勾股定理求出三边的边长，即可得结论．【详解】（1）证明：为边的中线且，，，，，，，，；（2）解：为中点，为边的中线，为的中位线，，，是等边三角形，，，，，，，，的周长．【点睛】本题考查三角形的周长、等腰三角形判定与性质、等边三角形判定与性质、含的直角三角形性质、三角形的中线、中位线、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关几何基础知识．【变式训练】1．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，平分，于点E，点F是的中点．(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；(2)如图2，探究线段之间的数量关系，直接写出你的结论：．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识．（1）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．（2）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，平分，于点，∴，∵，∴，∴，即是等腰三角形，∵，，，．（2）解：结论：，理由：如图2中，延长交的延长线于．，，，，，，，，为的中点，，点为的中点，，；故答案为：．2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知：在中，，，是边上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．(1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点；(2)如图2，连接，取线段的中点，连接，直接写出的大小并证明；(3)若是的中点，，直接写出的最小值为______．【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3)【分析】（1）证明是等边三角形，得到，进而证明，由三线合一定理即可证明结论；（2）如图所示，延长到G，使得，连接，同（1）可证明是等边三角形，则，，证明，得到，再证明为的中位线，得到，则，即可得到；（3）如图所示，连接，由三线合一定理得到，进而求出，证明是等边三角形，推出，则点E在直线上运动；设直线交于T，过点F作垂直于直线于H，则，，求出即可得到答案．【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，∴是等边三角形，∴，∵，∴，又∵，∴是的中点；（2）解：，证明如下：如图所示，延长到G，使得，连接，同（1）可证明是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵点M为的中点，∴为的中位线，∴，∴，∴；（3）解：如图所示，连接，∵点F是的中点，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴点E在直线上运动，设直线交于T，过点F作垂直于直线于H，∴，∴，∵，∴，∴，由垂线段最短可知，当点E运动到点H，即时，有最小值，最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理等等，证明点E的运动轨迹是直线是解题的关键．题型05平行四边形与中位线综合问题【例题】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，于点D，E、F分别是、的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连接、、．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当，时，的长为______．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．(1)由三角形中位线定理得，则，再证得，然后由平行四边形的判定即可得出结论；(2)解直角三角形求出，可得结论．【详解】（1）E、F分别是、的中点，是的中位线，，，O是的中点，，在和中，，，四边形是平行四边形．（2）在中，，，，，，，四边形是平行四边形，．【变式训练】1．（23-24九年级下·江西宜春·开学考试）如图，是的中位线，延长至点，使，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，试判断的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)为直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，求出，根据平行四边形的判定可得结论；（2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出，可得，，然后利用三角形内角和定理求出即可．【详解】（1）证明：是的中位线，，，，，四边形是平行四边形；（2）解：为直角三角形；理由：四边形是平行四边形，，，，是的中位线，．，∴，，∵，∴，即，为直角三角形．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．2．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，．(1)若，，求的度数；(2)求证：四边形为平行四边形；(3)连接，交于点O，若，，直接写出的长度．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；（2）由平行四边形的性质得，，，再证是的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（3）连接，，，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可．【详解】（1）解：四边形为平行四边形，，，，，；（2）证明：四边形为平行四边形，，，，，，是的中位线，，，为的中点，，，，，，四边形为平行四边形；（3）如图，连接，，，，，，，，，四边形为平行四边形，，，，，，．一、单选题1．（2024·陕西咸阳·一模）如图，点D，E分别是，的中点，的平分线交于点F，，，则的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行线的性质，等角对等边，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边是解题关键．首先利用中点定义和中位线定理得到，,利用平行线的性质和角平分线的定义得到，推出，根据可得的长．【详解】点、分别是边、的中点，，，，，，平分，，，，，故选：B．2．（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线和交于O点，点E是的中点，若，，，则的周长是（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理．由平行四边形的性质求得，利用三角形中位线定理求得，据此求解即可．【详解】解：∵平行四边形中，对角线和交于O点，∴，∵点E是的中点，∴，，∴的周长是，故选：D．3．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）中，E是的中点，平分，于点D，若，，则（

）

A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于F，证明，得到，结合中位线定理，得到，代入计算即可．．【详解】解：如图，延长交于F，

∵平分，∴，∵，∴，在和中，∵，∴∴，∵E是的中点，，∴是的中位线，∴．∵，，∴．故选：B．4．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，、是的中线，P、Q分别是、的中点，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了全等三角形，三角形中位线．熟练掌握掌握三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，是解答此题的关键．连接，连接并延长交于点F，利用是中位线，推出，再用是中位线，，即可求得答案．【详解】连接，连接并延长交于点F，∵、是的中线，∴，，∴，，∴，在与中，，∴，∴，，∴，∵Q是的中点，∴，∴，∴．故选：A．5．（2024·山东菏泽·一模）如图，称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2024个三角形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的是解决问题的关键．【详解】解：周长为1，∵每条中位线均为其对边的长度的，∴第2个三角形对应周长为；第3个三角形对应的周长为；第4个三角形对应的周长为；…以此类推，第n个三角形对应的周长为；∴第2024个三角形对应的周长为，即，故选：B．二、填空题6．（2024·湖南衡阳·一模）如图，在中，点D、E分别是的中点，若，则．

【答案】6【分析】由点D、E分别是的中点，得到是的中位线，进而得到，即可求解，本题考查了三角形中位线的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握三角形的中位线．【详解】解：∵点D、E分别是的中点，∴，∴，故答案为：6．7．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的周长是．【答案】24【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：点、分别是、的中点，，，是的中点，，，在中，，的周长，故答案为：24．8．（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为．

【答案】9【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得．【详解】解：如图，在平行四边形中，．，分别为，的中点，是的中位线，∴．故答案为：9．9．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，点H，G分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为．【答案】【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接利用三角形中位线定理是关键．连接，过A作于M；由题意得，则可求得的长，从而由勾股定理求得；由三角形中位线定理得，当G与C重合时，最长；当G与M重合时，最短，从而可求得的最大值与最小值的差．【详解】解：如图，连接，过A作于M；则；∵四边形是平行四边形，且，∴，∴；∴；∵，∴，∴，由勾股定理得：，∴，由勾股定理得；∵点为的中点，点为的中点，∴；当G与C重合时，最长且为，此时；当G与M重合时，最短且为，此时；∴的最大值与最小值的差为．故答案为：．10．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在△ABC中，，，．在平面内将平移得到，其中点A和点B的对应点分别为点D和点E．若点P，Q分别是AC，DE的中点，则的最大值是．【答案】【分析】本题考查平移的性质，三角形三边的关系，等腰直角三角形，三角形中位线定理．作于，取中点，连接，，由等腰直角三角形的性质得到，求出，由勾股定理求出，由三角形中位线定理求出，由平移的性质得到，由三角形的三边关系得到，即可求出的最大值是．【详解】解：作于，取中点，连接，，，是等腰直角三角形，，，，，、分别是、中点，是的中位线，，由平移的性质得到，，的最大值是．故答案为：．三、解答题11．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，中，，，平分，，延长交于点，是的中点，求的长．【答案】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理．根据平分，，运用易证明．根据全等三角形的性质，得，，从而在中，根据三角形的中位线定理就可求解．【详解】解：，，又平分，，在和中，，，，，，又是的中点，，是的中位线，．12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取，的中点D、E．(1)测得的长为，则A、B两地的距离为_______．(2)如图2，在四边形中，，点E、F分别是和的中点，求的长【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是三角形中位线定理的含义，全等三角形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．（1）证明为的中位线，利用三角形的中位线的性质可得答案；（2）如图，取的中点，连接，连接，并延长交于，证明，可得，证明三点共线，再利用三角形的中位线的性质可得答案．【详解】（1）解：∵，的中点为D、E．∴为的中位线，∴，∵，∴；（2）如图，取的中点，连接，连接，并延长交于，∵点E是的中点，∴，∵，∴，，∴，∴，∵为的中点，∴，∵，∴，∵点H、F分别是和的中点，，∴，，∴三点共线，∵点H、E分别是和的中点，，∴，∴．13．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，，，，分别是，，，的中点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，，求四边形的周长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，勾股定理：（1）由三角形中位线定理证明，即可证明四边形是平行四边形；（2）先利用勾股定理得到，再由三角形中位线定理得到，，由此根据四边形周长计算公式求解即可．【详解】（1）证明：∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴，同理可得，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：如图所示，连接，∵，∴，∵，，∴；同理可得，∵，∴四边形的周长．14．（23-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在中，，于点D，点E在边上，且，分别交于点E、F．

(1)如图1，若，，求的长；(2)如图1，若，试判断与的数量关系，并说明理由．(3)如图2，若，求证：．【答案】(1)7(2)，理由见解析(3)见解析【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论；（2）取的中点G，连接，利用等腰三角形三线合一，得到点为中点，由三角形中位线定理得到，进而得到，，易证，即可得出结论；（3）在上取点，使得，连接、，证明，由全等三角形的性质得出，，证出，由勾股定理可得出结论．【详解】（1）解：，，，，，中，，，中，，是等腰直角三角形，，；（2），理由如下：证明：取的中点G，连接，

，，，点为中点，点G是的中点，是的中位线，，，，，，在和中，，，；（3）证明：在上取点，使得，连接、，

，，，，，在和中，，，，，，，；∵，，，中，由勾股定理得：，．【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．15．（2024·河南周口·一模）如图1，在中，点，分别在边，上，，连接，点分别为的中点．(1)观察猜想图1中，线段与的数量关系是，的度数为；(2)探究证明把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理；(3)拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值．【答案】(1)，(或60)；(2)是等边三角形．.理由见解析；(3)【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出、得出、，由三角形内角和定理得到，最后即可得出结论；（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，，，即可得出，同（1）的方法得到，即可得出结论；（3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，