第3章概率全章总结提课件高二下学期数学选择性

全章总结提升第3章概率湘教版

数学

选择性必修第二册网络构建·归纳整合专题突破·素养提升目录索引

网络构建·归纳整合专题突破·素养提升专题一条件概率、乘法公式及全概率公式条件概率、乘法公式及全概率公式是概率问题的工具.条件概率的本质是在缩小的样本空间中求随机事件的概率,将条件概率公式变形可得概率的乘法公式.事件的相互独立性可由条件概率得到,而事件的相互独立性是进一步研究独立重复试验和二项分布的基础.全概率公式与贝叶斯公式是计算某些复杂事件的概率的有利工具.这些公式主要提升数学抽象、逻辑推理及数学运算素养.【例1】

设某工厂有甲、乙、丙三个车间,它们生产同一种工件,每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%,35%,40%,它们的次品率依次为5%,4%,2%.现从这批工件中任取一件.(1)求取到次品的概率;(2)已知取到的是次品,求它是甲车间生产的概率.(精确到0.01)解

(1)设事件B1,B2,B3分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的,A表示“取到的是次品”,易知B1,B2,B3两两互斥.根据全概率公式可得故取到次品的概率为0.034

5.故已知取到的是次品,它是甲车间生产的概率为0.36.规律方法

涉及多个事件之间的关系,且事件结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关的事件常用全概率公式求解,而贝叶斯公式P(A|B)=

的本质就是条件概率.变式训练1设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,则该产品合格的概率为(

)A.0.6 B.0.85C.0.868 D.0.88C解析

设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件B,事件Ai表示提出的一台是第i车间生产的,i=1,2,由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868.所以该产品合格的概率为0.868.专题二二项分布与超几何分布二项分布是指在相同条件下重复n次试验,各次试验结果相互独立,且每次试验只有两种可能结果的概率模型.两点分布是二项分布的一种特殊情况,而超几何分布是指从含有两类不同物体中抽取个体,其中的随机变量是某一类物体个数多少的一种模型,其重要特征是不放回地抽取.二项分布与超几何分布模型主要培养数学建模和数学运算的核心素养.【例2】

福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品,属于福州三宝之一.纸伞的制作工序大致分为三步:第一步削伞架,第二步裱伞面,第三步绘花刷油.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技术要求.已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为,只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作.(1)求该工艺师进行3次制作,恰有一件优秀作品的概率;(2)若该工艺师制作4次,其中优秀作品数为X,求X的分布列及数学期望.(2)该工艺师制作4次,其中优秀作品数为X,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,故X的分布列为

规律方法

(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时,首先要确定好n和k的值,再准确利用公式求概率.(2)根据独立重复试验求二项分布的有关问题时,关键是厘清事件与事件之间的关系,确定二项分布的试验次数n和变量的概率,求得概率.变式训练2高二(1)班在联欢会上设计了一项游戏:准备了10张相同的卡片,其中只在5张卡片上印有“奖”字.游戏者从10张卡片中任意抽取5张,如果抽到2张或2张以上印有“奖”字的卡片,就可获得一件精美小礼品;如果抽到的5张卡片都印有“奖”字,除精美小礼品外,还可获赠一套丛书.一名同学准备试试,那么获得精美小礼品的概率是多少?能获赠一套丛书的概率又是多少?专题三离散型随机变量的分布列、期望、方差离散型随机变量的概率分布反映了随机变量取各个值的可能性大小,而离散型随机变量的数学期望则反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量的集中与离散程度.求离散型随机变量的期望、方差主要是提升数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养.【例3】

某公司全年圆满完成预定的生产任务,为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力,公司决定在联欢晚会后,拟通过抽奖的方式对500位员工进行奖励,规定:每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中,一次随机抽出2张奖券,奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额.(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元,其余3张均为40元,试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小.(2)公司对奖励总额的预算是6万元,预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案:第一方案是2张面值20元和2张面值100元;第二方案是2张面值40元和2张面值80元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡,选择哪一种方案比较好?请说明理由.解

(1)用X表示员工所获得的奖励额.所以P(X=80)=P(X=120),故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等.(2)第一种方案为(20,20,100,100),设员工所获得的奖励额为X1,则X1的分布列为第二种方案为(40,40,80,80),设员工所获得的奖励额为X2,则X2的分布列为

又因为500E(X1)=500E(X2)=60

000(元),所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求,但第二种方案的方差比第一种方案的小,故应选择第二种方案.规律方法

(1)求解离散型随机变量的期望与方差,首先要根据随机变量的取值求出相应的概率,列出分布列后利用公式求数学期望与方差;若涉及两变量之间的关系Y=aX+b,则可以直接利用E(Y)=aE(X)+b,D(Y)=a2D(X).(2)利用随机变量的数学期望与方差可以解决生活中的决策问题,其主要方法就是比较随机变量的期望或方差大小.专题四正态分布正态分布曲线主要是描述连续型随机变量的概率模型.利用正态分布模型可以提升直观想象与数学运算的核心素养.【例4】

某无人机配件厂商从其所生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测,其某项质量测试指标值X服从正态分布N(18,4),且X落在区间[20,22]内的无人机配件个数约为2718,则所抽取的这批无人机配件中质量指标值X不高于14的个数大约为(

)(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.228 B.455

C.27

D.40B解析

因为X服从正态分布N(18,4),又X落在区间[20,22]内的个数约为2

718,故所抽取的这批无人机配件中质量指标值X不高于14的个数大约为20

000×0.022

75=455.故选B.规律方法

由于正态曲线是轴对称图形,因此求解与正态分布有关的概率问题要借助正态曲线对称性以及正态分布在三个特殊区间内取值的概率值.变式训练3若某市高三某次数学测试的成绩X(单位:分)服从正态分布N(96,16),则从该市任选1名高三学生,其这次数学测试的成绩满足100<X≤108的概率约为(

)参考数据:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.0.1573 B.0.34135C.0.49865 D.0.1359A解析

因为数学测试的成绩X(单位:分)服从正态分布N(96,16),所以μ=96,σ=