南京市鼓楼区第二十九中学2023-2024学年九年级下学期3月阶段性数学试题（含解析）

第36页/共36页第二十九中学2023-2024学年下学期3月阶段性练习九年级数学一．选择题（共6小题，每题2分，共12分）1.没有稳固的国防，就没有人民的安宁，2023年，中国国防预算约为15537亿元，将15537亿元用科学记数法表示为（）A. B. C. D.2.下列计算结果是的是（）A. B. C. D.3.若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（）A. B. C. D.4.如图，中，，过点A作平行线交过点C的圆的切线于点D，若，则的度数是（）A. B. C. D.5.如图，将先向下平移1个单位，再绕点按顺时针方向旋转一定角度，得到，顶点落到了点处，则点的对应点的坐标是（）A. B. C. D.6.如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，将沿折叠得到，点落在边上，连接．现有如下4个结论：①；②；③；④．在以上个结论中正确的有（

）A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）7.已知，则＝_________.8.设，是关于x的方程的两个根，，则_____．9.若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是，则该圆锥的母线长为________．10.点是二次函数图像上一点，则的值为__________11.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_______________．12.将一个半径为3的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形，若其中的一个扇形的面积是，则另一个扇形的圆心角的度数是______．13.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x元，则可列方程为__________________．14.如图，是的内接三角形，，，把绕点按逆时针方向旋转得到，则对应点、之间的距离为_______．15.如图，正方形的边长为4，点是上的动点，点在对角线上，若，，则的长为_______．16.如图，在半径为5的⊙中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为_____．三．解答题（共11小题，共88分）17.计算18.解不等式组，并写出该不等式组的所有非负整数解．19.如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．（1）求证：．（2）若，，，求的长．20.某中学举行“校园电视台主持人”选拔赛，将参加本校选拔赛的40名选手的成绩分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．分数段频数频率2m1214n4（1）表中________________；（2）请在图中补全频数分布直方图：（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在________分数段内；（4）选拔赛中，成绩在分以上选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，则恰好是一名男生和一名女生的概率为________．21.图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的（），且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为，转动点A距离地面的高度为．（1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度；（2）某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：）22.已知二次函数的图像如图所示．（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线进行左右平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方法．23.以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．（1）在图①中，．（2）利用网格和无刻度直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在上找一点P，使．②如图③，在上找一点P，使．24.近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为元的商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出30件．通过市场调查，该商售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．（x为5的倍数）（1）每件商品降价x元时，日销售量为______件；（2）若日销售盈利为元，为尽快减少库存，x的值应为多少；（3）设日销售盈利为Q元，当x为何值时，Q取值最大，最大值是多少？25.如图，已知，∠B＝90°．（1）作⊙O，使得圆心O在线段AC上，⊙O经过点C，且与AB相切于点D；（2）若AD＝3，⊙O的半径为4，求BC的长．26.如图，在矩形中，为的中点，的外接圆分别交，于点，．（1）求证：与相切；（2）若，，求的半径．27.【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，．问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转．（1）如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长．（2）若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离．（3）连接，取的中点，三角板由初始位置（图1），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图3），求点所经过的路径长．（4）如图4，为中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_____．第二十九中学2023-2024学年下学期3月阶段性练习九年级数学一．选择题（共6小题，每题2分，共12分）1.没有稳固的国防，就没有人民的安宁，2023年，中国国防预算约为15537亿元，将15537亿元用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变形为a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【详解】解：15537亿故选：．【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．2.下列计算结果是的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则以及同底数幂的除法法则；合并同类项时，只把系数相加，所得结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则和幂的乘方法则分别求出，即可选出答案．【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B、，故此选项符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意．故选：B．3.若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据数轴上点的位置推出，然后化简绝对值即可得到答案．【详解】解：由题意得：，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的加减法计算，整式的加减计算，化简绝对值，正确根据题意得到是解题的关键．4.如图，中，，过点A作的平行线交过点C的圆的切线于点D，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接OA．由可得出，从而可利用“SSS”证明，即得出，再根据等腰对等角可得出．由切线的性质可得出，从而得出，最后根据平行线的性质，即可求出的度数．【详解】如图，连接OA．∵，∴．∵OB=OB，OC=OA，∴(SSS)，∴．∵OB=OC，∴，∵CD为⊙O切线，∴，∴．∵，∴．故选B．【点睛】本题考查切线的性质，弧、弦、圆心角的关系，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质以及平行线的性质．连接常用的辅助线是解题关键．5.如图，将先向下平移1个单位，再绕点按顺时针方向旋转一定角度，得到，顶点落到了点处，则点的对应点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平移及旋转定义画出图形，即可得到点的坐标．【详解】解：如图，点的对应点的坐标是，故选：C．【点睛】此题考查了平移的性质及旋转的性质，平移作图及旋转作图，正确理解性质作出图形是解题的关键．6.如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，将沿折叠得到，点落在边上，连接．现有如下4个结论：①；②；③；④．在以上个结论中正确的有（

）A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④【答案】C【解析】【分析】根据证明两三角形即可判断①；根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得，得，所以，即可判断②；根据折叠的性质和线段中点的定义可得，设，表示出、，根据点是的中点求出、，从而得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可判断④；先求的面积，根据和等高，可知，，即可判断③．【详解】解：由折叠得：，，，，四边形是正方形，，，，，，，，，故①正确；点是边的中点，，，，，，，，，故②正确；设，则，由得：，点是边上的中点，，在中，根据勾股定理得：，，解得：，，，，故④正确，，和等高，，，故③错误．故选：C．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键．二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）7.已知，则＝_________.【答案】##【解析】【分析】将变形为3x=5y，后利用比例的性质，计算即可．【详解】因为，所以3x=5y，所以=，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．8.设，是关于x的方程的两个根，，则_____．【答案】【解析】【分析】运用根与系数关系定理，具体化求解即可．【详解】解：∵是关于x的方程x2﹣kx+k﹣2＝0的两个根，，∴＝k，＝k﹣2，∴＝1﹣2＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．9.若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是，则该圆锥的母线长为________．【答案】4【解析】【分析】设该园锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长即可求解．【详解】解：设该圆锥的母线长为l，根据题意得：，解得：，即该圆锥的母线长为4．故答案为：4【点睛】本题考查了圆锥的计算：理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．10.点是二次函数图像上一点，则的值为__________【答案】6【解析】【分析】把点代入即可求得值，将变形，代入即可．【详解】解：∵点是二次函数图像上，∴则．∴故答案为：6．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．11.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_______________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式可以得出关于的不等式，由此进一步求出相应的解集即可得出答案.【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，∴，即：，解得：，故答案为：.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12.将一个半径为3的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形，若其中的一个扇形的面积是，则另一个扇形的圆心角的度数是______．【答案】120゜【解析】【分析】先求解扇形的面积是的这个扇形的圆心角，再利用减去这个圆心角即可得到答案.【详解】解：由题意得：则另一个扇形的圆心角的度数是故答案为：【点睛】本题考查的是求解扇形的圆心角，掌握扇形的面积公式是解题的关键.13.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x元，则可列方程为__________________．【答案】（40﹣x）（20+2x）＝1250【解析】【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．【详解】设衬衫的单价降了x元．根据题意，得(40﹣x)(20+2x)＝1250故答案：（40﹣x）（20+2x）＝1250【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．14.如图，是内接三角形，，，把绕点按逆时针方向旋转得到，则对应点、之间的距离为_______．【答案】2【解析】【分析】连接、、，根据圆周角定理求出，得到是等边三角形，求出，根据旋转的性质得到，根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接、、，由圆周角定理得，，是等边三角形，，由旋转的性质可知，，，故答案为：2．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心的概念和性质，掌握圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定定理是解题的关键．15.如图，正方形的边长为4，点是上的动点，点在对角线上，若，，则的长为_______．【答案】【解析】【分析】如图所示，连接交于点，先根据正方形的性质得到，，，解直角三角形得到，则，再证明，进一步得到，求出，即可求出．【详解】解：如图所示，连接交于点，四边形是正方形，平分，，，，，，，，∴，，，，，，，，．故答案：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．16.如图，在半径为5的⊙中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为_____．【答案】8或【解析】【分析】根据题意，以为腰的等腰三角形有两种情况，当AB=AP时，利用垂径定理及相似三角形的性质列出比例关系求解即可，当AB=BP时，通过角度运算，得出BC=AB=8即可．【详解】解：①当AB=AP时，如图，连接OA、OB，延长AO交BP于点G，故AG⊥BP，过点O作OH⊥AB于点H，∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∴，由垂径定理可知，∴，在Rt△OAH中，在Rt△CAP中，，且∴，在Rt△PAG与Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，∴Rt△PAG∽Rt△PCA∴，则，∴；②当AB=BP时，如下图所示，∠BAP=∠BPA，∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，∴BC=AB=8故答案为8或【点睛】本题考查了圆的性质及圆周角定理、相似三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是灵活运用上述知识进行推理论证．三．解答题（共11小题，共88分）17.计算【答案】2【解析】【分析】先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式的性质化简，再根据实数的运算顺序计算．【详解】解：．【点睛】特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式的性质和运算，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．18.解不等式组，并写出该不等式组的所有非负整数解．【答案】不等式组解集为．非负整数解为0，1，2．【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．详解】解：由①得：，由②得：，∴不等式组的解集为．∴该不等式组的所有非负整数解为0，1，2．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．（1）求证：．（2）若，，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用两角对应相等，证明两个三角形相似，即可得△ADF∽△DEC.（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【小问1详解】解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC∴∠ADF=∠DEC，∠ADF=∠DEC∵∵∠AFD+∠AFE=180°，∴∠AFD=∠C在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，∴△ADF∽△DEC【小问2详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴在Rt△ADE中，由勾股定理得：，所以AE的长为6．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理，熟悉相关性质并能熟练应用是解题的关键．20.某中学举行“校园电视台主持人”选拔赛，将参加本校选拔赛的40名选手的成绩分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．分数段频数频率2m1214n4（1）表中________________；（2）请在图中补全频数分布直方图：（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在________分数段内；（4）选拔赛中，成绩在分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，则恰好是一名男生和一名女生的概率为________．【答案】（1）．（2）见解析（3）（4）【解析】【分析】（1）根据频率＝频数÷总数，变形计算，求出m、n的值．（2）根据(1)中的数据补全图形．（3）根据中位数的概念即一组有序数据的中间一个数据或中间两个数据的平均数求解可得．（4）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．【小问1详解】根据题意，得，故答案为：．【小问2详解】根据，补全图形如下：．【小问3详解】由于共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据都落在内，∴推测他的成绩落在分数段内，故答案为：．【小问4详解】画树状图：共有12种结果，其中一男一女的结果有8种，∴恰好是一名男生和一名女生的概率为．故答案为：．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、频数分布表以及中位数的定义．熟练掌握中位数，直方图，画树状图计算概率是解题的关键．21.图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的（），且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为，转动点A距离地面的高度为．（1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度；（2）某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：）【答案】（1）9.5m；（2）可以有效救援．【解析】【分析】（1）过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，解直角三角形ACG即可；（2）当起重臂最长，张角最大时，计算远臂点距离地面的最大高度，比较判断即可．【详解】（1）如图1，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，∵AE⊥BD，∴四边形AEFG是矩形，∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，∴∠CAG=30°，∵AC=12，∴CG=ACsin30°=12×=6，∴CF=CG+FG=6+3.5=9.5(米)；（2）如图2，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，∵AE⊥BD，∴四边形AEFG是矩形，∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，∴∠CAG=60°，∵AC=20，∴CG=ACsin60°=20×≈17.32，∴CF=CG+FG=17.32+3.5=20.82＞18；∴能有效救援．【点睛】本题考查了生活实际问题中的解直角三角形，熟练把生活问题转化数学解直角三角形模型问题是解题的关键．22.已知二次函数的图像如图所示．（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线进行左右平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方法．【答案】（1）顶点坐标（2）向右平移1个单位长度，或向左平移3个单位长度【解析】【分析】（1）将代入，求得，再将抛物线化为顶点式即可；（2）令求得，根据图象的平移规则“上加下减，左加右减”，即可求解．【小问1详解】解：把代入得：，则，∴，∴顶点坐标；【小问2详解】解：当时，，则，∴抛物线与x轴交于点，∴向右平移1个单位长度，或向左平移3个单位长度．【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关知识．23.以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．（1）在图①中，．（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在上找一点P，使．②如图③，在上找一点P，使．【答案】（1）（2）图见解析【解析】【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；（2）①根据勾股定理得的长为5，利用格点，再根据相似三角形的判定及性质即可找到点P；②作点A的对称点，连接与的交点即为要找的点P，使．【小问1详解】解：图1中，∵，∴，故答案为：．【小问2详解】解：①在网格图②中，，如图2所示，连接，交于点P，∵，∴，解得：，∴点P即为所要找的点；②如图3所示，作点A的对称点，连接，交于点P，∵，∴，∴点P即为所要找的点．【点睛】本题考查了作图—相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用格点构造相似三角形．24.近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为元的商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出30件．通过市场调查，该商售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．（x为5的倍数）（1）每件商品降价x元时，日销售量为______件；（2）若日销售盈利为元，为尽快减少库存，x的值应为多少；（3）设日销售盈利为Q元，当x为何值时，Q取值最大，最大值是多少？【答案】（1）（2）45（3）当或35时，取值最大，最大值是4500【解析】【分析】（1）根据售价每降低5元，日销售量增加10件列出对应的代数式即可；（2）根据利润（售价成本价）数量列出方程求解即可；（3）根据利润（售价成本价）数量列出Q关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：由题意得，每件商品降价x元时，日销售量为件，故答案为：【小问2详解】解：由题意得，，∴，解得，∵为尽快减少库存，∴的值应为45；【小问3详解】解：由题意得，，，∴当时，取最大值，为5的倍数，∴当或35时，取值最大，最大值是4500．【点睛】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的解析式和方程是解题的关键．25.如图，已知，∠B＝90°．（1）作⊙O，使得圆心O在线段AC上，⊙O经过点C，且与AB相切于点D；（2）若AD＝3，⊙O的半径为4，求BC的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）作的角平分线交AB于D，过点D作交AC于点O，以O为圆心，OD为半径作即可；（2）利用勾股定理求出OA，再利用平行线分线段成比例定理求出BC即可．【小问1详解】解：如图，⊙O即为所求作．【小问2详解】解：∵AB是的切线，∴，∴．∵，，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找圆心O的位置．26.如图，在矩形中，为的中点，的外接圆分别交，于点，．（1）求证：与相切；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析（2）2.5【解析】【分析】（1）连接并延长交于点，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，易知垂直平分，再证，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）过点作，垂足为，连接、，根据（1）易知四边形是矩形，则