江苏省2025届高三云帆杯8月学情调研考试数学试卷（2024.08.07）

2024年云帆杯8月学情调研考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则（）A.10 B. C.5 D.3.已知空间向量，，若,则（）A.4 B.6 C. D.4.已知，，，则（）A. B. C. D.5.已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知实数x，y满足，则的最小值为（）A. B. C. D.7.锐角中，，，，则AB边上的高CD长为（）A. B. C. D.8.已知数列满足，，记为数列的前n项和。数列满足，下列结论一定正确的是（）A. B.，C.， D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数，则下列函数为周期函数的是（）A. B. C. D.10.“大鹏曲线”的方程为，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名。直线与C的交点可能个数的集合记为，下列选项正确的是（）A.B.C.“”的充要条件是“且”D.“”的充分条件是“，或”11.如图，平面m与平面n交线为，空间内有另一条直线，记，的夹角为，与平面m的夹角为，与平面n夹角为，二面角为，则（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.二项式中展开式中x项的系数为______13.抛物线的焦点为F，A为C上第一象限的一点，B为A在C的准线上的垂足，直线BF在第四象限交抛物线C于点D，若F为BD中点，则______14.已知一正五棱锥，其顶点与各侧棱中点合计11个点。从这11个点中任选4个点，这四个点不共面的概率为______四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分）为推进乡村振兴计划，某镇通过实地考察当地状况，大力推广当地特色农产品.为了统计甲村，乙村生产该产品的质量，现对甲乙两村各随机选取300件产品，产品的质量如下：合格不合格合计甲村27030300乙村29010300合计56040600（1）分析能否有99%的把握认为甲乙两村的产品质量有差异？（2）该镇通过线上平台对乡村生产的产品进行售卖，经统计，该产品在2024年上半年的月销量符合正态分布，乡镇人员现从2024年的前6个月中随机选取三个月的销量数据，其中销量数据不低于290的记为，求随机变量的分布列和数学期望。附：，0.10.050.01k2.7063.8416.63516.（15分）已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若有两个极值点，求a的最小整数值.（参考数据：）17.（15分）三棱柱中，，，P，Q分别为线段AB，BC上面的点，且，.（1）证明：；（2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值.18.（17分）双曲线的离心率为，等边三角形ABC的顶点A在y轴上，点BC在即的右支上，当轴时，.（1）求W的方程；（2）设直线BC交y轴于点D，证明：以AD为直径的圆过定点.19.（17分）设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的”（1）判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2 ②无穷数列，通项公式为（2）若数列为“五彩的”且严格单调递增.（i）证明：数列和公差相等；（ii）证明：数列一定为等差数列.

2025年普通高等学校统一招生模拟考试（云帆杯）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1-4BCCB 5-8ADDD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.ABD 10.BD 11.AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12. 13.2 14.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分）解：（1）设零假设：有99%的把握认为甲乙两村的产品质量没有差异故零假设所不成立所以有99%的把握认为甲乙两村的产品质量有差异（2）由题意，月销量符合正态分布则由题意，的取值为0，1，2，3，，，的分布列如下表：0123P数学期望16.（15分）解：（1）设，则在单调递增，在单调递减，，即故在单调递减.（2）即原题等价于有两个零点，设，当时，，则在定义域单调递增，最多有一个零点，与题意不符。当时，令即在单调递增，在单调递减.当，，，由于有两个零点，则这等价于①注意到时①式不成立，而时成立，故a的最小整数值为2.17.（15分）解：（1）过A作BC的平行线AD，且，连接，CD。则有且故四边形为平行四边形.且，，又，平面，平面又因为平面，（2）由题意，，，∴由勾股定理知又因为平面DPAQ平面ABCD，DA，DC两两垂直，以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。，，，，设为平面的法向量则有，取，则平面的一个法向量为而可以为平面的一个法向量即平面与平面的夹角的余弦值为18.（17分）解：（1）由题知……①当轴时，不妨设直线BC：与双曲线联立知又因为……②又因为A在BC的中垂线上，故……③将③代入①②知，.即双曲线W方程为：（2）由题意知直线BC的斜率存在，不妨设BC：设，，，直线BC与双曲线联立，取BC中点为P，则易知，，又因为可以设直线AP的方程为：由于为等边三角形，.设以AD为直径的圆的圆心为O，则则以AD为直径的圆的方程为④由于故④化简得令，解得∴以AD为直径的圆过定点，证毕。19.（17分）（1）①不是②是证明过程略（2）（i）对正整数n，设，，其中d，为正整数，