48-2024年黑龙江省绥化市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年黑龙江省绥化市中考数学试卷一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）实数﹣的相反数是（）A．2025 B．﹣2025 C．﹣ D．2．（3分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形 B．等腰三角形 C．圆 D．菱形3．（3分）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个4．（3分）若式子有意义，则m的取值范围是（）A．m≤ B．m≥﹣ C．m≥ D．m≤﹣5．（3分）下列计算中，结果正确的是（）A．（﹣3）﹣2＝ B．（a+b）2＝a2+b2 C．＝±3 D．（﹣x2y）3＝x6y36．（3分）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（）A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝07．（3分）某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：鞋码3637383940平均每天销售量/双1012201212如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差8．（3分）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（）A．5km/h B．6km/h C．7km/h D．8km/h9．（3分）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（）A．（9，4） B．（4，9） C．（1，） D．（1，）10．（3分）下列叙述正确的是（）A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B．平分弦的直径垂直于弦 C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等11．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A． B．6 C． D．1212．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中：①＞0；②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；③3a+c＜1；④若M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤﹣3．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）13．（3分）我国疆域辽阔，其中领水面积约为370000km2，把370000这个数用科学记数法表示为．14．（3分）分解因式：2mx2﹣8my2＝．15．（3分）如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE．则∠A＝°．16．（3分）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50m，则这栋楼的高度为m（结果保留根号）．17．（3分）化简：÷（x﹣）＝．18．（3分）用一个圆心角为126°，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为cm．19．（3分）如图，已知点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点D，且OD：OB＝1：4，则k＝．20．（3分）如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝．21．（3分）如图，已知A1（1，﹣），A2（3，﹣），A3（4，0），A4（6，0），A5（7，），A6（9，），A7（10，0），A8（11，﹣）…，依此规律，则点A2024的坐标为．22．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点E在直线AD上，且DE＝2cm，则点E到矩形对角线所在直线的距离是cm．三、解答题（本题共6个小题，共54分）23．（7分）已知：△ABC．（1）尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5cm2，则△ABC的面积是cm2．24．（7分）为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动、为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图请根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）参加本次问卷调查的学生共有人；（2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是，并补全条形统计图．（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示，请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．25．（9分）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车．若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．（1）求A、B两种电动车的单价分别是多少元？（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A、B两种电动车200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？（3）该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行时间xmin之间的对应关系如图．其中A种电动车支付费用对应的函数为y1；B种电动车支付费用是10min之内，起步价6元，对应的函数为y2.请根据函数图象信息解决下列问题．①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为300m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km，那么小刘选择种电动车更省钱（填写A或B）．②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x的值．26．（10分）如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若正方形ABCD的边长为+1，求⊙O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交于点N．当CM：FM＝1：4时，求CN的长．27．（10分）综合与实践问题情境在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片△ABC和△DEF满足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC＝DF＝DE＝2cm．下面是创新小组的探究过程．操作发现（1）如图1，取AB的中点O，将两张纸片放置在同一平面内，使点O与点F重合．当旋转△DEF纸片交AC边于点H、交BC边于点G时，设AH＝x（1＜x＜2），BG＝y，请你探究出y与x的函数关系式，并写出解答过程．问题解决（2）如图2，在（1）的条件下连接GH，发现△CGH的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．拓展延伸（3）如图3，当点F在AB边上运动（不包括端点A、B），且始终保持∠AFE＝60°．请你直接写出△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值（结果保留根号）．28．（11分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，4），B（0，1）．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP＝tan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．

2024年黑龙江省绥化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）实数﹣的相反数是（）A．2025 B．﹣2025 C．﹣ D．【分析】符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．【解答】解：﹣的相反数是，故选：D．【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．2．（3分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形 B．等腰三角形 C．圆 D．菱形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．【解答】解：A．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；C．圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．（3分）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有2层3列，故可得出该几何体的小正方体的个数．【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应该有2个小正方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数为3+2＝5．故选：A．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是关键．4．（3分）若式子有意义，则m的取值范围是（）A．m≤ B．m≥﹣ C．m≥ D．m≤﹣【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：2m﹣3≥0，解得：m≥，故选：C．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．5．（3分）下列计算中，结果正确的是（）A．（﹣3）﹣2＝ B．（a+b）2＝a2+b2 C．＝±3 D．（﹣x2y）3＝x6y3【分析】利用负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根的定义，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．【解答】解：（﹣3）﹣2＝，则A符合题意；（a+b）2＝a2+2ab+b2，则B不符合题意；＝3，则C不符合题意；（﹣x2y）3＝﹣x6y3，则D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．6．（3分）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（）A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0【分析】设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），再利用根与系数的关系得出关于a，b及a，c之间的关系式即可解决问题．【解答】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），由题知，，，所以b＝﹣7a，c＝10a，所以原来的方程为ax2﹣7ax+10a＝0，则x2﹣7x+10＝0．故选：B．【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．7．（3分）某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：鞋码3637383940平均每天销售量/双1012201212如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【分析】根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．【解答】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，所以该店主最应关注的销售数据是众数．故选：C．【点评】本题主要考查数据的收集和处理．解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析．根据众数是在一组数据中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．8．（3分）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（）A．5km/h B．6km/h C．7km/h D．8km/h【分析】设江水的流速为xkm/h，则沿江顺流航行的速度为（40+x）km/h，沿江逆流航行的速度为（40﹣x）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合它以该航速沿江顺流航行120km所用时间与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设江水的流速为xkm/h，则沿江顺流航行的速度为（40+x）km/h，沿江逆流航行的速度为（40﹣x）km/h，根据题意得：＝，解得：x＝8，∴江水的流速为8km/h．故选：D．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．9．（3分）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（）A．（9，4） B．（4，9） C．（1，） D．（1，）【分析】根据位似变换的性质解答即可．【解答】解：∵以原点O为位似中心，将矩形OABC按相似比缩小，点B的坐标为（3，2），∴顶点B在第一象限对应点的坐标为（3×，2×），即（1，），故选：D．【点评】本题主要考查的是位似变换、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．10．（3分）下列叙述正确的是（）A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B．平分弦的直径垂直于弦 C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等【分析】选项A根据中点四边形的定义以及矩形的判定方法解答即可；选项B根据垂径定理判断即可；选项C根据中心投影的定义判断即可；选项D根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理判断即可．【解答】解：A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个平行四边形，顺次连接菱形各边中点一定能得到一个矩形，原说法错误，故本选项不符合题意；B．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，故本选项不符合题意；C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，说法正确，故本选项符合题意；D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，原说法错误，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距四者关系，中心投影、矩形的判定，垂径定理以及中点四边形，掌握相关定义与定理是解答本题的关键．11．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A． B．6 C． D．12【分析】由菱形的性质和勾股定理求出AC＝6，再由菱形的面积求出AE即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，∴BC＝CD＝5，BO＝DO＝4，OA＝OC，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝＝3，∴AC＝2OC＝6，∵菱形ABCD的面积＝AE•BC＝BD×AC＝OB•AC，∴AE＝＝＝，故选：A．【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中：①＞0；②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；③3a+c＜1；④若M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤﹣3．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解．【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，∴a＜0．又抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0．又抛物线交y轴正半轴，∴当x＝0时，y＝c＞0．∴＜0，故①错误．由题意，当x＝﹣1时，y取最大值为y＝a﹣b+c，∴对于抛物线上任意的点对应的函数值都≤a﹣b+c．∴对于任意实数m，当x＝m时，y＝am2+bm+c≤a﹣b+c．∴am2+bm≤a﹣b，故②正确．由图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，又b＝2a，∴3a+c＜0＜1，故③正确．由题意∵抛物线为y＝ax2+bx+c，∴x1+x2＝﹣＝﹣＝﹣2＞﹣3，故④错误．综上，正确的有②③共2个．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）13．（3分）我国疆域辽阔，其中领水面积约为370000km2，把370000这个数用科学记数法表示为3.7×105．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：370000＝3.7×105，故答案为：3.7×105．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．14．（3分）分解因式：2mx2﹣8my2＝2m（x+2y）（x﹣2y）．【分析】先提取公因式再运用公式法进行因式分解即可得出答案．【解答】解：原式＝2m（x2﹣4y2）＝2m（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：2m（x+2y）（x﹣2y）．【点评】本题主要考查提取公因式与公式法的综合应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．15．（3分）如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE．则∠A＝66°．【分析】先根据OC＝OE，∠C＝33°得∠E＝∠C＝33°，再根据三角形外角定理得∠DOE＝66°，然后根据平行线的性质可得∠A的度数．【解答】解：∵OC＝OE，∠C＝33°，∴∠E＝∠C＝33°，∴∠DOE＝∠E+∠C＝66°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠DOE＝66°，故答案为：66．【点评】此题主要考查了三角形的外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．16．（3分）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50m，则这栋楼的高度为（50+50）m（结果保留根号）．【分析】根据题意可得：AD⊥BC，然后分别在Rt△ACD和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出CD和BD的长，从而利用线段和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：AD⊥BC，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝50m，∴CD＝AD•tan60°＝50（m），在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，∴BD＝AD•tan45°＝50（m），∴BC＝BD+CD＝（50+50）m，∴这栋楼的高度为（50+50）m，故答案为：（50+50）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．17．（3分）化简：÷（x﹣）＝．【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：原式＝÷＝•＝，故答案为：．【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．18．（3分）用一个圆心角为126°，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为cm．【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解答】解：扇形的弧长＝＝7π（cm），故圆锥的底面半径为7π÷2π＝（cm）．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．19．（3分）如图，已知点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点D，且OD：OB＝1：4，则k＝﹣15．【分析】作BE⊥x轴，DG⊥x轴，根据点的坐标及相似三角形性质可求出点D坐标继而求出k值．【解答】解：如图，作BE⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为E、G，∵点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），∴BE＝10，OF＝17，OA＝7，∴EF＝BC＝OA＝7，∴OE＝17+7＝24，∵BE∥DG，∴△ODG∽△OBE，∵OD：OB＝1：4，∴＝，∴，∴DG＝，OG＝6，∴D（﹣，6），∵点D在反比例函数图象上，∴k＝﹣＝﹣15．故答案为：﹣15．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是关键．20．（3分）如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝80°．【分析】作P点关于OB的对称点E，连接EP，EO，EM，得ME＝MP，∠MPO＝∠OEM；作P点关于OA的对称点F，连接NF，PF，OF，得PN＝FN，∠OPN＝∠OFN；根据PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF；E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，再根据对称性质，即可求出∠MPN的角度．【解答】解：作P点关于OB的对称点E，连接EP，EO，EM；∴EM＝MP，∠MPO＝∠OEM，∠EOM＝∠MOP，作P点关于OA的对称点F，连接NF，PF，OF，∴PN＝FN，∠OPN＝∠OFN，∠PON＝∠NOF，∴PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF，当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，又∵∠EOF＝∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF，∠AOB＝∠MOP+∠PON，∴∠EOF＝2∠AOB，又∵∠AOB＝50°，∴∠EOF＝100°，∴在△EOF中，∠OEM+∠OFN+∠EOF＝180°，∴∠OEM+∠OFN＝180°﹣100°＝80°，∵∠MPO＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN，∴∠MPO+∠OPN＝80°，∵∠MPN＝∠MPO+OPN＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换．21．（3分）如图，已知A1（1，﹣），A2（3，﹣），A3（4，0），A4（6，0），A5（7，），A6（9，），A7（10，0），A8（11，﹣）…，依此规律，则点A2024的坐标为（）．【分析】观察所给图形及点的坐标，发现横纵坐标的变化规律即可解决问题．【解答】解：由题知，点A1的坐标为（1，﹣），点A2的坐标为（3，﹣），点A3的坐标为（4，0），点A4的坐标为（6，0），点A5的坐标为（7，），点A6的坐标为（9，），点A7的坐标为（10，0），点A8的坐标为（11，），点A9的坐标为（13，），点A10的坐标为（14，0），点A11的坐标为（16，0），点A12的坐标为（17，），点A13的坐标为（19，），点A14的坐标为（20，0），…，由此可见，每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现，又因为2024÷7＝289余1，所以1+289×10＝2891，则点A2024的坐标为（2891，）．故答案为：（2891，）．【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能通过计算发现每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现是解题的关键．22．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点E在直线AD上，且DE＝2cm，则点E到矩形对角线所在直线的距离是或或cm．【分析】分四种情况讨论：如图1，过点E作EF⊥BD于点F，证得△DEF∽△DBA，即可求出EF的值；如图2，过点E作EM⊥AC于点M，证得△AEM∽△ACD，即可求出EM的值；如图3，过点E作EN⊥BD的延长线于点N，证得△END∽△BAD，即可求出EN的值；如图4，过点E作EH⊥AC的延长线于点H，证得△AHE∽△ADC，即可求出EH的值；从而得出答案．【解答】解：如图1，过点E作EF⊥BD于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝BD，AD＝BC，AB＝CD，∵AB＝4cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得cm，∴BD＝cm，∵∠EFD＝∠BAD＝90°，∠EDF＝∠BDA，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴EF＝cm；如图2，过点E作EM⊥AC于点M，∵AD＝BC＝8cm，DE＝2cm，∴AE＝6cm，∵∠AME＝∠ADC＝90°，∠EAM＝∠CAD，∴△AEM∽△ACD，∴，∴∴EM＝cm；如图3，过点E作EN⊥BD的延长线于点N，∴∠END＝∠BAD＝90°，∴∠EDN＝∠BDA，∴△END∽△BAD，∴，∴，∴EN＝cm；如图4，过点E作EH⊥AC的延长线于点H，∴∠AHE＝∠ADC＝90°，∴∠EAH＝∠CAD，∴△AHE∽△ADC，∴，∵AD＝BC＝8cm，DE＝2cm，∴AE＝10cm，∴，∴EH＝cm；综上，点E到矩形对角线所在直线的距离是cm或cm或cm，故答案为：或或．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（本题共6个小题，共54分）23．（7分）已知：△ABC．（1）尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5cm2，则△ABC的面积是15cm2．【分析】（1）根据三角形的重心是三角形三条中线的交点即可解决问题．（2）根据三角形重心的性质即可解决问题．【解答】解：（1）分别作出AB边和BC边的垂直平分线，与AB和BC边分别交于点N和点M，连接AM和CN，如图所示，点G即为所求作的点．（2）∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2MG，∵△ABG的面积等于5cm2，∴△BMG的面积等于2.5cm2，∴△ABM的面积等于7.5cm2．又∵AM是△ABC的中线，∴△ABC的面积等于15cm2．故答案为：15．【点评】本题主要考查了三角形的重心、三角形的面积及作图—复杂图形，熟知三角形重心的定义及性质是解题的关键．24．（7分）为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动、为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图请根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）参加本次问卷调查的学生共有60人；（2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是30%，并补全条形统计图．（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示，请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．【分析】（1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得参加本次问卷调查的学生人数．（2）求出A组的学生人数，用A组的学生人数除以参加本次问卷调查的学生人数再乘以100%可得A组所占的百分比，最后补全条形统计图即可．（3）列表可得出所有等可能的结果数以及选中的2个社团恰好是B和C的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）参加本次问卷调查的学生共有12÷20%＝60（人）．故答案为：60．（2）A组的人数为60﹣20﹣10﹣12＝18（人），∴在扇形统计图中，A组所占的百分比是18÷60×100%＝30%．故答案为：30%．补全条形统计图如图所示．（3）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12种等可能的结果，其中选中的2个社团恰好是B和C的结果有：（B，C），（C，B），共2种，∴选中的2个社团恰好是B和C的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．25．（9分）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车．若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．（1）求A、B两种电动车的单价分别是多少元？（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A、B两种电动车200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？（3）该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行时间xmin之间的对应关系如图．其中A种电动车支付费用对应的函数为y1；B种电动车支付费用是10min之内，起步价6元，对应的函数为y2.请根据函数图象信息解决下列问题．①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为300m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km，那么小刘选择B种电动车更省钱（填写A或B）．②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x的值5或40．【分析】（1）设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，即可求解；（2）设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车（200﹣m）辆，根据题意得出m的范围，进而根据一次函数的性质，即可求解；（3）①根据函数图象，即可求解；②分别求得y1，y2的函数解析式，根据|y2﹣y1|＝4，解方程，即可求解．【解答】解：（1）设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元，由题意得，，解得：，答：A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元．（2）设购买A种电动车m辆，则购买8种电动车（200﹣m）辆，m（200﹣m），解得：m≤，设所需购买总费用为w元，则w＝1000m+3500（200﹣m）＝﹣2500m+700000，∵﹣2500＜0，∴w随着m的增大而减小，∵m取正整数，∴m＝66时，w最少，∴w最少＝700000﹣2500x66＝535000（元），答：当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元．（3）①∵两种电动车的平均行驶速度均为300m/min，小刘家到公司的距离为8km，∴所用时间＝26（分钟），根据函数图象可得当x＞20时，y2＜y1更省钱，∴小刘选择B种电动车更省钱，故答案为：B．②设y1＝k1x，将（20，8）代入得，8＝20k1，解得：k1＝，∴y1＝x，当0＜x≤10时，y2＝6，当x＞10时，设y2＝k2x+b2，将（10，6）、（20，8）代入得，，解得：，∴y2＝x+4，依题意，当0＜x＜10时，y2﹣y1＝4，即6﹣x＝4，解得：x＝5，当x＞10时，|y2﹣y1|＝4，即|x+4﹣x|＝4，解得：x＝0（舍去）或x＝40，故答案为：5或40．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键．26．（10分）如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若正方形ABCD的边长为+1，求⊙O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交于点N．当CM：FM＝1：4时，求CN的长．【分析】（1）连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，由正方形性质得∠BAC＝∠DAC＝45°，再由角平分线性质得OC＝OE，即可证明；（2）设AE＝OE＝OC＝OF＝R，表示出OA和OC，再列出关于R的方程，解方程即可解答；（3）连接FN，ON，设CM＝k，由已知利用k表示出出相关线段，再根据勾股定理表示出MN＝2k，CN＝k，利用CF长求出k，即可求出CN．【解答】（1）证明：如图，连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD，∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴OE＝OG，∵OE为⊙O的半径，∴OG为⊙O的半径，∵OG⊥AB，∴AB与⊙O相切；（2）解：如图，∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠DAC＝45°，∵⊙O与AD相切于点E，∴∠AEO＝90°，∴由（1）可知AE＝OE，设AE＝OE＝OC＝OF＝R，在Rt△AEO中，∵AE2+EO2＝AO2，∴AO2＝R2+R2，∵R＞0，∴，又∵正方形ABCD的边长为+1，在Rt△ADC中，∴，∵OA+OC＝AC，∴，∴，∴⊙O的半径为；（3）解：如图，连接FN，ON，设CM＝k，∵CM：FM＝1：4，∴CF＝5k，∴OC＝ON＝2.5k，∴OM＝OC﹣CM＝1.5k，在Rt△OMN中，由勾股定理得：MN＝2k，在Rt△CMN中，由勾股定理得：，又∵，∴，∴．【点评】本题考查了圆的综合应用，其中掌握圆的相关知识点、正方形的性质、角平分线性质勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键．27．（10分）综合与实践问题情境在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片△ABC和△DEF满足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC＝DF＝DE＝2cm．下面是创新小组的探究过程．操作发现（1）如图1，取AB的中点O，将两张纸片放置在同一平面内，使点O与点F重合．当旋转△DEF纸片交AC边于点H、交BC边于点G时，设AH＝x（1＜x＜2），BG＝y，请你探究出y与x的函数关系式，并写出解答过程．问题解决（2）如图2，在（1）的条件下连接GH，发现△CGH的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．拓展延伸（3）如图3，当点F在AB边上运动（不包括端点A、B），且始终保持∠AFE＝60°．请你直接写出△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值2+或2﹣（结果保留根号）．【分析】（1）证明△AFH∽△BGF，可得AH•BG＝AF•BF，求出，可得，故，＝2，从而y与x的函数关系式为；（2）求出CH＝2﹣x，CG＝2﹣y，可得＝＝＝，将xy＝2代入得＝，而1＜x＜2，1＜y＜2，知x+y＞2，故GH＝x+y﹣2，可得△CHG的周长＝CH+CG+GH＝2﹣x+2﹣y+x+y﹣2＝2；（3）分两种情况：①过点F作FN⊥AC于点N，作FH的垂直平分线交FN于点M，连接MH，求出∠AHF＝75°，可得∠NMH＝30°，设NH＝k，则MH＝MF＝2k，从而FN＝MF+MN＝（2+）k，；②过点F作FN⊥BC于点N，作FG的垂直平分线交BG于点M，连接FM，同理可得GN＝GM+MN＝（2+）k，．【解答】解：（1）如图：∵∠ACB＝∠EDF＝90°，且AC＝BC＝DF＝DE＝2cm，∴∠A＝∠B＝∠DFE＝45°，∴∠AFH+∠BFG＝∠BFG+∠FGB＝135°，∴∠AFH＝∠FGB，∴△AFH∽△BGF，∴，∴AH•BG＝AF•BF，在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴，∵O是AB的中点，点O与点F重合，∴，∴，∴，∴y与x的函数关系式为；（2）△CGH的周长定值为2，理由如下：∵AC＝BC＝2，AH＝x，BG＝y，∴CH＝2﹣x，CG＝2﹣y，在Rt△HCG中，∴＝＝＝，将（1）中xy＝2代入得：＝，∵1＜x＜2，y＝，∴1＜y＜2，∴x+y＞2，∴GH＝x+y﹣2，∴△CHG的周长＝CH+CG+GH＝2﹣x+2﹣y+x+y﹣2＝2；（3）①过点F作FN⊥AC于点N，作FH的垂直平分线交FN于点M，连接MH，如图：∵∠AFE＝60°，∠A＝45°，∴∠AHF＝75°，∴FM＝MH，∵∠FNH＝90°，∴∠NFH＝15°，∵FM＝MH，∴∠N