1.2《矩形的性质与判定》北师大版九年级数学上册教案（第1课时）

第一章特殊的平行四边形1.2矩形的性质与判定第1课时一、教学目标1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．2．经历矩形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．3．能够用综合法证明矩形的性质定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．4．探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．5．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．二、教学重点及难点重点：掌握矩形的性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．难点：矩形的性质的灵活应用．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。四、相关资多张《生活中的矩形》图片，《平行四边形变矩形》动画，《矩形的性质》微课，《矩形的性质》图片.五、教学过程【情境引入】下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？师生活动：教师出示问题及图片，学生观察图片并尝试回答问题．生：这些特殊的平行四边形中都有一个角是直角．这就是我们本节课要研究的矩形．设计意图：通过实际生活中的图片引入本课，激发学生学习本节课的兴趣．【探究新知】矩形的定义．矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形应满足的两个条件：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角．师生活动：教师讲解，并明确矩形应满足的两个条件．师：矩形是生活中常见的图形，你还能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。生：……设计意图：让学生感受到矩形在实际生活中的广泛应用．想一想：矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？（2）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？师生活动：教师首先引导学生回忆一般平行四边形的性质，从而得出矩形的一般性质，然后再探究矩形的特殊性质．答：矩形的一般性质：具备平行四边形的所有性质．边：对边平行且相等．角：对角相等．对角线：对角线互相平分．中心对称性：是中心对称图形．矩形的特殊性质：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴．教师追问：（3）矩形还有特殊性质吗？师生活动：教师追问，引导学生继续探究矩形的性质．发现：四个内角都是直角，两条对角线长度相等．猜想1：矩形的四个角都是直角．猜想2：矩形的对角线相等．试一试：你能证明一下上面猜想的正确性吗？师生活动：教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．猜想1的证明：已知：四边形ABCD是矩形，∠B=90°．求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°．证明：∵四边形ABCD是矩形，∠B=90°，又∵矩形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°．∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即矩形的四个角都是直角．性质1：矩形的四个角都是直角．几何语言：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．猜想2的证明：已知：AC与BD是矩形ABCD的对角线．求证：AC=BD．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB．又BC=CB，∴△ABC≌△DCB．∴AC=BD．性质2：矩形的对角线相等．几何语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．议一议：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答，最后得出答案．答：BE是斜边AC上的中线，BE=．得到的结论是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．尝试完成定理的证明。因为四边形ABCD是矩形，所以AC与BD互相平分，且AC=BD．所以BE=．设计意图：从矩形对角线的相关性质推出直角三角形的性质，达到了“学数学，用数学”的目的，培养了学生的数学应用意识．【典例精析】例如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长．师生活动：教师出示例题，学生思考，教师要求学生用两种方法解答．分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知条件，可得△AOB是等边三角形，因此可求出对角线的长度．解：方法1：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的对角线相等），OA=OC=AC，OB=OD=BD（矩形的对角线互相平分）．∴OA=OB．∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°．∴△AOB是等边三角形．∴OA=OB=2.5．∴AC=BD=5．方法2：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的对角线相等），OA=OC=AC，OB=OD=BD（矩形的对角线互相平分）．∴OA=OD．∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=(180°-120°)=30°．又∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角），∴BD=2AB=2×2.5=5．设计意图：培养学生应用所学知识解决问题的能力．【课堂练习】1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）．A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．若∠A=20°，则∠BDC=（）．A．30°B．40°C．45°D．60°师生活动：教师先找学生代表回答，然后讲解出现的问题．3．一直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长为（）．A．26B．13C．8.5D．6.54．如图，要使□ABCD成为矩形，需添加的条件是（）．A．AB=BCB．AC⊥BDC．∠ABC=90°D．∠1=∠25．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC′的度数为_______度．6．已知：矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：CE=EF．7．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE；参考答案1．C．2．B．解析：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD=CD=AD．∴∠A=∠DCA=20°，∴∠BDC=∠A+∠DCA=20°+20°=40°．故选B．3．D．解析：由勾股定理，得斜边长为13，又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．故选D．4．C．解析：因为有一个直角的平行四边形是矩形．故选C．5．125．解析：由折叠可知，∠DEF=∠BEF，∠EFC=∠EFC′．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°．又∵∠ABE=20°，∴∠AEB=70°．∴∠DEF=55°．在四边形EFCD中，∵∠EFC=125°，∴∠EFC′=125°．6．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD=BC，AD∥BC．∴∠1=∠2．∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．∴∠B=∠AFD．又∵AE=BC=AD，∴△ABE≌△DFA．∴BE=AF．∴CE=EF．此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到CE=EF．7．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD．又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴BE=AC，∴BD=BE．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结1．矩形是如何从平行四边形演变而来的呢？2．对比平行四边形的性质，矩形还有哪些特殊性质？矩形的四个角都是直角．矩形的对角线相等．3．直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．矩形的问题经常转化到等腰三角形或直角三角形中解决．师生活动：教师引导学生归纳、总结