1.1《菱形的性质与判定》北师大版九年级数学上册教案（第1课时）

第一章特殊的平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时一、教学目标1．理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系. 2．经历菱形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.3．能够用综合法证明菱形的性质定理，进一步发展演绎推理能力.4．体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.二、教学重点及难点重点：菱形性质的探索与证明．难点：引导学生探究菱形的性质，并利用菱形的性质解决实际问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板.四、相关资《平行四边形性质》动画，《生活中的菱形》动画，《生活中的菱形》图片，《折纸》动画，《菱形对称性》动画，《（1）证明》动画，《（2）证明》动画，《四边形到平行四边形再到菱形的变化》动画.五、教学过程【复习引入】我们学习了平行四边形，那么什么样的四边形是平行四边形呢？它有哪些性质呢？师生活动：教师出示问题，学生回答．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．教师引导学生从以下几个方面思考、总结平行四边形的性质：从对称性看：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；从边看：对边平行且相等；从角看：对角相等，相邻的两个角互补；从对角线看：对角线互相平分．设计意图：本环节旨在通过提问，复习并梳理平行四边形的性质，为菱形性质的学习做铺垫．【探究新知】下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？师生活动：教师出示图片，引导学生观察、归纳、总结出菱形的定义．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．师：你能举出一些生活中菱形的例子吗？设计意图：此环节使用了教科书的引入，先让学生观察，然后通过测量比较，发现邻边相等的特征，从而引出菱形的定义．想一想菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？与同伴交流.设计意图：从菱形与平行四边形的关系入手，思考菱形的性质.菱形是特殊的平行四边形，因此具有一般平行四边形的所有性质.通过对平行四边形性质的回顾，结合菱形的形状特征，让学生感悟到菱形的一些特殊性质，为下面的探索、证明菱形的特殊性质做铺垫.做一做用菱形纸片折一折，回答下列问题：（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？（2）菱形中有哪些相等的线段？师生活动：教师出示问题，引导学生完成“做一做”．通过对折，我们发现菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线就是它的对称轴，对称轴之间互相垂直．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．通过对折，可以发现以下结论：从边看：四边相等，即AB=BC=CD=DA；从角看：对角线平分每对内角，即∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB，∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA；从对角线看：对角线互相垂直，即AC⊥BD；从三角形形状看：等腰三角形有△ABC，△ADC，△BAD，△BCD；直角三角形有△OAB，△OCB，△OCD，△OAD．设计意图：平行四边形的许多性质都与它的中心对称性有关，而菱形不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形．因此，菱形的特殊性质与它的轴对称性有关．通过折纸活动，可以让学生发现邻边的关系、对角线的关系，甚至对角线与内角的关系，从而加深学生对菱形特性的认识．教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明．已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O．求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD．师生共同分析：①菱形不仅对边相等，而且邻边也相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等了．②因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD的中点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论了．学生活动：写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明方法，掌握相关定理．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）．又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=AD．（2）∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形．又∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）．在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，∴AO⊥BD，即AC⊥BD．教师活动：展示学生的证明过程，进行恰当的点评和鼓励，优化学生的证明方法，提高学生的逻辑证明能力，最后强调“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直”，让学生形成牢固记忆，留下深刻印象．板书：定理菱形的四条边相等定理菱形的对角线互相垂直设计意图：学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质，教师在参与学生活动的过程中，应该关注学生的口述论证过程，并根据学生的认知水平加以引导，尽量减少学生推理论证过程中的困难．学生经过了折纸这一操作活动后，再经过逻辑证明，把操作层面的感知上升到了理性认识，充分了解了菱形的本质特征．本环节让学生进行猜想、探究和证明，符合学生的认知规律．同时，操作活动得到的结论与逻辑推理相结合，是对数学知识进行探索活动的自然延续，实现了从感性认识到理性认识的升华．【典例精析】例如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．师生共同分析：①因为菱形的邻边相等，且一个内角是60°，这样就可以得到等边△ABD；又因为BD=6，所以菱形的边长也是6．②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；由菱形的对角线互相平分，可以得到OB=3，这样根据勾股定理就可以求出OA的长度；最后根据菱形的对角线互相平分，即AC=2OA，求出AC的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD（菱形的四条边都相等），AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），OB=OD=BD=×6=3（菱形的对角线互相平分）．在等腰三角形ABD中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形．∴AB=BD=6．在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2．∴．∴AC=2OA=（菱形的对角线互相平分）．设计意图：通过认识概念、探究性质、证明结论、应用结论这几个环节，让学生掌握菱形的概念及其性质．注意引导学生将推理的过程写清楚，不能只关注计算结果.【课堂练习】1．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度之比为3︰4，那么对角线的长分别为（）．A．3cm，8cmB．3cm，4cmC．12cm，16cmD．24cm，32cm参考答案C．2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）．A．50°B．60°C．70°D．80°参考答案B．解析：连接BF，因为EF垂直平分AB，所以AF=BF．易证△BCF≌△DCF．所以BF=DF．所以AF=BF=DF．因此∠ADF=∠FAD=40°．而∠ADC=180°－80°=100°，所以∠CDF=60°．3．如图，在菱形ABCD中，若∠B=60°，点E、F分别在AB、AD上，且BE=AF，则∠AEC＋∠AFC的度数等于_________．参考答案180°．解析：连接AC．在菱形ABCD中，∵∠B=60°，∠BAD=120°，∴．∴BC=AC．又∵BE=AF，∴△BCE≌△ACF．∴∠BEC=∠AFC．又∵∠BEC＋∠AEC=180°，∴∠AEC＋∠AFC=180°．4．如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是_________．参考答案5．解析：作M关于BD的对称点，设其为Q，连接NQ，交BD于点P，连接PM，此时PM＋PN的值最小．5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长．师生活动：老师先找几名学生板演，然后分析，最后师生共同写出规范的解题过程．分析：从题意可知AC与BD互相垂直，所以△AOB是直角三角形；又因为AB=5cm，AO=4cm，这样就可以运用勾股定理求出OB；又因为菱形的对角线互相平分，所以BD是OB的两倍，这样就可以很方便地求出BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO2+BO2=AB2．∴．∵四边形ABCD是菱形，∴BD=2OB=2×3=6（菱形的对角线互相平分）．所以，BD的长是6cm．设计意图：学生通过本环节的学习，进一步理解和掌握了菱形的性质，对前面所学知识进行了更加深入地认识，同时提高了学生的逻辑推理能力，培养了学生的主动探索能力，激发了学生的学习兴趣．六、课堂小结本节课我们探讨了菱形的定义和性质，下面我们来共同总结一下：1．菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.2．菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四