河北省保定市高碑店市崇德实验中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

高二期末考试数学试卷命题人考试中心审题人考试中心说明：本试题满分150分考试时间120分钟，请在答题卡上作答一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。1．已知集合，，，则（）A． B． C． D．2．已知命题p：，，则为（）A．， B．，C．， D．，3．若向量、满足，，，则与的夹角为（）．A． B． C． D．4．已知命题“，成立”是假命题，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．5．函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．6．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．的图象关于点对称B．的图象向右平移个单位后得到的图象C．在区间的最小值为D．为偶函数7．已知，，若，，则的值为（）A． B． C． D．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则c的值为（）A．1 B． C．2 D．4二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．（）A． B． C． D．10．下列说法正确的有（）A．所有幂函数的图象都不经过第四象限B．函数在其定义域上为增函数C．对任意的角，D．函数与的图象关于直线对称11．已知定义在上的函数满足，且．若时，，则（）A．的最小正周期B．的图象关于对称C．D．函数在区间上所有零点之和为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）。12．设函数是以2为最小正周期的周期函数，且当时，，则________．13．已知函数．则在处的切线方程为________．14．函数在区间上的最大值与最小值之和为________．四、解答题（本题共有5道小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15．（本题满分13分）已知．（1）化简；（2）若是第三象限的角，且，求的值．16．（本题满分15分）求下列各式的值：（1）；（2）17．（本题满分15分）已知函数，其中．（1）若，求函数的定义域；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．18．（本题满分17分）已知函数．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性．19．（本题满分17分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．（1）求角C的大小；（2）已知，D是边AB的中点，且，求CD的长．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

2023-2024学年第二学期期末考试高二数学试题参考答案1．B（考查集合的运算）【详解】∵∴故选：B．2．D（考查全称量词命题的否定）【详解】由题意可知：为，．故选：D．3．C（考查向量夹角的求法）【详解】因为，所以，又，，所以，又，所以．故选：C．4．A（考查命题的否定及恒成立问题）【详解】由命题“，成立”是假命题，则命题“，成立”是真命题，即，恒成立．令，，则，因为所以函数在上为增函数，当时，，所以．故选：A5．A（考查分段函数的单调性）【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，则函数在上单调递增，所以函数的单调递减区间是．故选：A6．D（考查三角函数的图像和性质）【详解】因为的图象过点，所以，因为，所以，因为的图象过点，所以由五点作图法可知，得，所以，对于A，因为，所以为的图象的一条对称轴，所以A错误，对于B，的图象向右平移个单位后，得，所以B错误，对于C，当时，，所以，所以在区间的最小值为，所以C错误，对于D，，令，因为，所以为偶函数，所以D正确，故选：D7．A（考查三角恒等变换）【详解】由题意可得，，所以，，所以．故选：A．8．B（考查向量数量积的定义、正余弦定理的应用）【详解】由题意得：，因为，所以，由正弦定理得：，即，因为，，所以，故，即，则，由余弦定理及得：，即，解得：．故选：B9．BD（考查诱导公式）【详解】，A错误；，B正确；C错误；，D正确．故选：BD10．AD（考查幂函数的性质、正切函数的图象的性质、互为反函数的两函数图象的性质）【详解】对于A：因为所有的幂函数在区间上都有定义，所以，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故A正确；对于B：函数在上为增函数，而不是在其定义域上为增函数，故B错误；对于C，当时，，分式没有意义，故C错误；对于D：因为函数与互为反函数，故他们的图象关于直线对称，故D正确．故选：AD11．ABD（考查函数的对称性、周期性、函数的零点）【详解】因为，所以是奇函数；因为，所以的图象关于对称，所以，则，因而，所以的最小正周期，故A正确；由，则的一个对称中心为，故B正确；，故C错误；当时，单调递增且值域为，因为的图象关于对称，所以在单调递减且值域为，又因为是奇函数，所以在的图象关于对称且值域为，所以函数在区间上有两个零点，且所有零点之和为，故D正确．故选：ABD．12．0（考查周期函数的求值）【详解】因函数的周期为2，故．故答案为：0．13．（考查求导公式和导数的几何意义）【详解】因为，所以，，则，即切点为，切线的斜率，所以切线方程为，即；故答案为：14．（考查导数的应用）【详解】由已知得，当时，，当时，，所以函数在区上单调递增，在上单调递减，又当时，，当时，当时，，所以，所以，所以函数在区间上的最大值与最小值之和为．15．（1）（2）（考查三角函数的诱导公式及同角三角函数的关系）【详解】（1）， 6分（2）因为，所以，又是第三象限的角，所以，故 13分16．（1）2（2）（考查对数的运算性质、分数指数幂的运算）【详解】（1） 6分（2） 15分17．（1）（2）（考查对数函数的定义域、不等式的解法、有关恒成立问题的解法）【详解】（1）当时，，由得，故或，得或，故函数的定义域为 5分（2）由得，得，即，设，因，故，所以当时，恒成立，即为在上最小值大于0，函数的对称轴为， 10分当即时，函数在上单调递增，此时，得，即满足题意；当，即时，函数在对称轴取得最小值，此时，得，即满足题意；故a的取值范围为． 15分18．（1）；（2）答案见解析．（考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调性）【详解】（1）当时，，求导得，则，而，所以所求切线方程为，即 5分（2）函数的定义域为，求导得，当时，由，得，由，得或，函数在上单调递减，在，上单调递增；当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，由，得，由，得或，函数在上单调递减，在，上单调递增， 15分所以当时，函数的递减区间为，递增区间为，；当时，函数的递增区间为；当时，函数的递减区间为，递增区间为，． 17分19．（1）（2）（考查正余弦定理的综合应用）【详解】（1）方案一：选条件①．由及正弦定理，得，即，由余弦定理，得．又，所以．方案二：选条件②．由