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文档简介

第一章空间向量与立体几何

1.4空间向量的应用用空间向量研究直线、平面的位置关系第一课时

点线面的向量表示

1.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念，并会求一个平面的法向量．(重点)

2.理解空间直线、平面的向量表达式.平面向量空间向量代数运算推广建系空间向量解决了哪些几何问题？问题距离问题夹角问题平行、垂直问题一、复习回顾几何中点线面向量中？？？二、探究新知

我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．如何用向量表示空间中的一个点？思考1：定点OPp向量的坐标起点的坐标终点的坐标坐标二、探究新知

如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量

来表示，我们把向量

称为点P的位置向量.点→点+位置向量方向向量

P几何中向量中点方向向量aAB

点P在直线l上充要条件一个点一个方向+如何用向量表示空间中的直线？l

如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取

=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知：存在实数t，使得

，即线→点+方向向量二、探究新知思考2：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定

①式和②式称为空间直线的向量表示式lBA追问：如何求直线的方向向量呢？1.一条直线有多少个方向向量？2.同一直线的两个方向向量之间有什么关系？3.零向量可以作为直线的方向向量吗？求一条直线的方向向量，只需求直线的一个方向向量即可空间中点和直线的向量表示AAA（1）不共线的三点确定一个平面（2）直线和直线外一点确定一个平面（3）两条相交直线确定一个平面（4）两条平行直线确定一个平面（5）一个定点和两个定方向确定一个平面？如何用向量表示空间中的平面？OPab

这样点O与向量a,b不仅可以确定平面α,还可以具体表示出α内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用.二、探究新知思考3：abBCPAO

我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．二、探究新知空间任意平面由平面上一点及两个不共线向量唯一确定上式称为空间平面ABC的向量表示式

B－2Alα

Alα

P

1.一个平面有多少个法向量？2.同一平面的两个法向量之间有什么关系？3.零向量可以作为面的法向量吗？求一个平面的法向量，只需求平面的一个法向量即可如何求一个平面的法向量呢？例1

已知长方体ABCD-­A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M为AB中点.以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.（1）求平面BCC1B1的一个法向量；（2）求平面MCA1的一个法向量．解:(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1三、典例分析定义法求法向量最好法向量不要出现分数，方便运算求平面法向量的步骤平面法向量的求法1、空间中点、直线和平面的向量表示点→点+位置向量

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