现代控制理论课后答案a

第一章控制系统的状态空间表达式

1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

图1-27系统方块结构图

系统的状态方程如下:

X]=x2

；_K

A2----A3

2

KpKn1

X3一-+丁%+

X5=-+K\Xe

•/储《

KpKpKp

令6($)=y,则y=Jr1

所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

一010000

Kb0

X]

*00000

J20

X2

X2

•]_

000

X3x3

J173+0a

X4

X4001000

*0

00-K|00K1X5K[

人5

*K[X3」

0000,6.

A6_勺

y=[l0000

1-2有电路如图1-28所示。以电压〃⑺为输入量，求以电感中的电流和电容上的

电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R。上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1L2

图1-28电路图

解：由图,令?]—X|,<2—x,,Uc—Xj，斩j出JHy~7?2尤2

11

X|X,----X-jH----U

44

R/i+L[/+/=〃

R,1

X2一厂”+厂工3

有电路原理可知：L2XI+R2X2-x3既得

11

X]-x+Cx

23X3=一1/+[”

y-R2X2

写成矢量矩阵形式为:

1

R、0i

z

再X]

1

0

X2o*2+u

L2二

330

0

CC

再

y=[00X2

X3

1-3有机械系统如图1.29所示,Mi和M2分别受外力fi和f2的作用.求以Mi和M2

的运动速度为输出的状态空间表达式.

fi(t)

解:以弹簧的伸长度yi.y2质量块MLM2的速率“c?作为状态变量

即X尸y],X2=y2，X3=C1，X4=C2

根据牛顿定律,对Mi有:M1^L=f!-k1(yI.y2)-BI(c,-c2)

dt

对M,有：M。幺.=&+k|(yi-y2)+B|(Ci-C2)-k〉y2-B,C2

dt

将Xi,X2,X3,X4代入上面两个式子，得Mix3=fl-ki(xl-X2)-B1(X3-X4)

M2i4=f?+k1(x1-X2)+BI(X3-X4)-k2X2-B2X4

整理得X=X3

X2=X4

X3=—fr-^X1+-^-X2-^-X3+^X4

M}MxM}MxM}

.1.k,k.+kjB,B.+B、

%=——f2+--X1-—X2+--X3--------=-X4

M2M2M2M2M2

输出状态空间表达式为yi=ci=x3

y2=C2=X4

1・4两输入/,〃2,两输出口，为的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求

其状态空间表达式和传递函数阵。

图1-30双输入一双输出系统模拟结构图

解：系统的状态空间表达式如下所示:

y=[l010

5-100

S+Q1i06

(si_A)=。

-10s-1

0Q5

s-10O--10o'

as+%0仇0

叱“G)=(s/-A)T8=2«6

-10s-100

0%«40b2.

s-10O--1-0O-

a2S+4]0fl6瓦0

W“v(s)=C(s/-A)T8=[1010：

-10s-100

a

0a54a30

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述

(1)>'+5y+7y+3y=〃+2u

(2)y+5y+7y+3y=u+3u+2u

列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的的模拟结构图。

系统的传递函数为W(s)=工一手——

(1)解：由微分方程得:

S+5s，7s+3

则状态空间表达式为:

01

00

-3-7

y=[210]x2

一包

相应的模拟结构图如下:

⑵解：令X]=y,x2=y,X3=y,则有

y=\231x2

相应的模拟结构图如下:

1-6已知系统传递函数(1)W(S)=10"T)

S(S+l)(S+3)

(2)W(s)=—铝上J,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟

s(s+2)(s+3)

结构图

解：⑴由卬(s)=」°U可得到系统表达式为

5(5+1)(5+3)

求得4的特征矢量

则可构成变换矩阵T

-110

T=[plp2p3]=-1-30

190

求得T的逆矩阵M

计算得到变换都各矩阵分别为

-11o-

J=001

00-3_

~2

MxB=一

CxT=[-20-400]

_101

6(s+l)=-4।।3।3

s(s+2)(s+3)~(s+3)~s+3s+2s

一•

X

-

X2

-

X3

—-

X4

一

1-7给定下列状态空间表达式

y=[001x2

(1)画出其模拟结构图

(2)求系统的传递函数

解：

5-10

(2)卬(s)=(s/—A)=2s+30

1—1s+3

\sl-A|=s(s+3)2+2(5+3)=(5+3)(5+2)(5+1)

(s+3)2s+30

1

-2(5+3)s(s+3)0

(5+3)(5+2)(5+1)

一s—5s-1(s+l)(s+2)

(s+3)2s+300

1

W(s)=(sI-A)-'B—2(s+3)s(s+3)01

ux(s+3)(5+2)(5+1)

-5-5s-1(s+1)(.$,+2)2

G+3)

1

s(s+3)

(5+3)(5+2)(5+1)

(25+1)(5+3)

(s+3)

1

W„v(5)=C(5/-/D-'e=[001]s(s+3)

(s+3)(5+2)(5+1)

(254-1)(5+3)

(2.V+1)

(s+2)(s+l)

1-8求下列矩阵的特征矢量

-21

(1)A=

-1-2

解：A的特征方程:

2+2-1

|A/-=22+42+5=0

12+2

解之得：4=-2+j,4=-2-j;

-21PnP11

当4=-2+j时，=(-2+j)

-1-2P21P21

得词

解得:Pll=-jp21，令Pu=l，

-21Pl2Pl2

当4=-2-j时,(2j)

-1-2P22P22

解得：p”=-jPn,令P1,=1，得R=.

01

(2)A=

-6-5

解：A的特征方程:

A—1

m-A|==A2+5Z+6=0

62+5

解之得：4=-2,几2=-3;

01PnPn

当4=-2时,=-2

—6一5」LPaiJP21

1

解得:P21=-2pu，令Pu=l,得P]=

-2

01P12P12

当4=-3时,=-3

-6-5P22,P22

1

解得:P22=-3P]2,令P12=l，得R=

-3

010

(3)A=302

-12-7-6

2-10

解：A的特征方程|2/-A|=-32-223+622+lU+6=0

1272+6

解之得：4=-1，4=-2,4=-3

010PnPll

当4=一1时，302P21=—P2I

-12-7-6.Psi._P3l

解得：P2\=P31=-Pn令Pu=l得

（或令Pu=-1，得《=

0

当4=—2时,3

-12

P122

1

A=P22=-4

解得：生2=一282，。322P12令Pl2=2得

_。32__1

（或令22=1，得8

01

当4=-3时,30

-12-7

解得：。23=一3「13，「33=3。13令Pl3=l得

一12-f

(4)A=-10-1

445

A-l-21

解：A的特征方程|1Z-A|=1A1=23-622+152-10=0

-4-42-5

5+炳]5-而j

解之得：2)=1,A2-------，/

22

-

pH

令

的

得

23得

T--p2-

P11

P

-3

----

12pp

炳

5+炳-J15+12

当0

=p12-p22

2232

-1522

44P32P

----

一-

p

解得

得2-p=

12

P22

32

一-

当

4时

一p-

解得

令

得A

P--p13-

2323

P33

一-

1-9.试将下列状态空间表达式化成约旦标准型。

xl-21xl0

(1)uy=[10]x

x*21-2x21

解:A的特征方程恒-川=1+42+3=0

解得A=-1或4=-3

-21耳耳

当4=-1时,

1-2当当

解之得Pii=P2i,令Pn=L得P尸

-21

当2=-3时

1-2J\_P

22层2

解之得??1=-?22>令「21=1，得P2=

]_

11.

故丁=,T-'22

1-1-1

2T.

则=,T'B=,CT=[11],

0

_T_

-10rn

故约旦标准型为2=0,3Z,y=[!1]Z

(2)

yi

y2.

解：A的特征方程=7尤+15/1-9=（/1一3）（/1—3设一1）=0

解之得P12=P21=P31，令Pl1=1,得P[=|l

当;I2=3时的广义特征向量,

解之得P|2=P22+1，P22=P32,

当4=1

0

解之得P13=O,令P33=l，的P3=

P23=2P33»

i10010

故T=i02-111

i012-2-1

31027

314

7'-lAT=03049CT=

203

001-3-15

'310'-27'

故约旦标准型为2=030X+49u

001-3-15

314

Y=X

203

1-10已知两系统的传递函数分别为Wl(s)和W2(s)

试求两子系统串联联结和并联连接时\系统的传递函数阵，并讨论所得结果

解：(1)串联联结

1111

W(s)=必(s)叱(s)=s+35+4s+1s+2

15+1

00

s+1s+2

s~+5s+7

(s+l)(s+3)(5+2)(5+3)(5+4)

11

(S+l)2(s+l)(s+2)

（2）并联联结

111

7TT

W(s)=W(s)±%(s)=s+2土s+3s+4

5+11

o0

5+2s+1

1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数

阵分别为

1]_

54-110

叫G)W2(s)=

i01

0

s+2

求系统的闭环传递函数

解:

1111

0

叱(s)%(s)=s+1s5+1

1011

00

s+2s+2

1_2s+2

10

S+1s5+1s

I+W}(5)W(s)=/+

10s+3

00

s+2s+2

s+3]_S+ls+1

s+1

[/+WiG)%(s)「s+2ss+2s(s+3)

s+35+2s+2

00

5+1s+3

s+3j_1

7+i

W(s)=[/+W](s)W,(s)『%(s)=s+2ss

5+3s+21

0s

s+1s+2

s+35+1

s+l(s+2)(s+l)ss+2S(S+3)

s+3011

0

5+1s+3

1-11(第2版教材)已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数

阵分别为

1]_

-10

W,(s)=s+1『

_01

_s+2_

求系统的闭环传递函数

解:

11

5

Wl(s)Wl(s)=s+15+1s

1

2—2

s+25+2

11-一_s+21■

10

I+W(s)W(s)=s+1s=5+1s

ii1_01s+3

22

s+2_s+2_

%+31

[/+W八孙5+2s

s~+5s+2s+2

2

s+L

_.y+3111-

W(s)=[/则(s叫(s)]%s)"+5s+2s+2ss+2s

s+21

-2--s--

s+l]s+2一

s+32s+31

s(s+l)(5+2)2§5(5+2)5(5+2)

s?+5s+222($+2)21

1——+----

s+2s+1ss+l

(s+l)2(3s+8)s+1

(5+2)2($2+5S+2)s~+5s+2

s3+6/+6ss+2

(s+2)(52+5s+2)s~+5s+2

1-12已知差分方程为

y(k+2)+3y伏+1)+2y(A)=2u(k+1)+3〃(攵)

试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数的系数b（即控制列阵）为

⑴b=1

解法1：

2z+311

W(z)=+----

Z2+3Z+2z+1z+2

-101

x(k+1)=0_2x(k)+]"(A)

y(k)=[1i]x(k)

解法2：

x1(k4-1)=x2(k)

x2(k4-1)=一2项(攵)一3%2(攵)+〃

y(k)=3/(左)+2%2(攵)

「01]「°]

x(k+1)=x(攵)+u(k)

—2—31

y(k)=[32]x(k)

求T,使得广y=；得广：；；所以

1To11-1-40

T-'AT^

-3]。1

0l£-2-5-1

-1

CT=[32[3-1]

L-0

所以，状态空间表达式为

--401「「

z(k+1)=z(k)+u(k)

—J—11

y(k)=[3-i]z(=

第二章控制系统状态空间表达式的解

2-1试证明同维方阵A和B,当AB=BA时，eB'=e(A+B),,而当ABHBA时,

证明：由矩阵指数函数/'=/+At+L*t2+•..+…

2!k!

可得：e{A+m'=I+(A+8)t+—(A+B)212+—(A+5)313+•••

2!3!

=1+(A+B)t+—(A2+AB+BA+B2)t2+•••

2!

322223

+—(A+AB+ABA+AB+BA+BAB+BA+B)/+...

3!

eA,es,=(Z+At+—A2t2+—A3t3+---)(/+5t+—B2t2+—/?3t3+---)

2!3!2!3!

=/+(A+B~)t+—(A2+AJ3+BA+B2)t2+…

2!

+—(A3+A2B+ABA+AB2+BA2+BAB+B2A+B3)r3+…

3!

将以上两个式子相减，得：

^(5/l-A5)t2+^(5A2+ABA+B2A+BA5-2A2jB+2A52)A3t3+---

显然，只有当A5=8A时,才有一+爪_/'*=0,即然+即'=*・*；

否则小+吩,・*。

2-2试证本章2.2节中几个特殊矩阵的矩阵指数函数式(2.17),

式(2.18),式(2.19)和式(2.20)成立。

证明：(1)式(2.17)

由矩阵指数函数*=/+At+’A2t2+—A3t3+---

2!3!

可得：eA'=1+At+—A2t2+—74\3+---

2!3!

即得证。

(2)式(2.18)

由矩阵指数函数*=/+At+’A2t2+—A3t3+---

2!3!

可知，若存在非奇异变换阵T,使得广1丁=八，则A=TAL,且4,办4…是

特征根

可知

即得证。

（3）式（2.19）

"21、

A10

2••

若A为约旦矩阵，A=J=

■.1

021

由矩阵指数函数*=/+At+^A2t2+1AY+-

2!3!

’41…o、

o4…o

4=.•・।（*），

、oo…4,

Z，\彳3不341…0

(2221•••0

10◎32,234…0

0彳2%…0

00纪3/1.2…0

贝!)4=00A2•••0，同；=11

000芍…0

,­.24

000…把

1/、0000…芍

,北nA；-2-0、

04"■inA；'-2--0

004"叫一.-0

4=

0004”--0

、000o--4,

81

将以上所求得的A,、靡、…、*代入（*）式，令则

k=ok!

第i块的状态转移矩阵:

3。d2（f）尹T?)

可2!阴("7-1)!眺1

加尹-2%

0

可(m-2)!d2；-2

/-3%

00。

(〃？_3)!34”7

10

00••(/)7

m9

Jt-'r1

te*,••e*1tJM-1

2(zn-1)!T(m-1)!

尸-2

1

0・・・01tjn-2

(m-2)!(m-2)1

,〃T

1in-3

00•・・001

(〃?一3)!(m-3)!

00000、00001)

即得证。

(4)式(2.20)

拉式反变换法证明：

,(aa)'\"

由A=，得:

(一口a)

"/一4尸=

Ico

(111111J

(+)(z+)

25-CT4-jcos-a-jo)2jS-(7-jCOS-(J^TJCD

—(——-------------i——)111

(z+)

、2js-cr-jcoS-(T+jco2S-(J+jo)S-(7-jCD)

则状态转移矩阵为:

(Ii\

-(eja,+e-jM)—(ejta,-e")

22j

eA,=r，l(s/-A)-']=

11

__Ld_e-w)-(e]M+e-JM)

I2j2J

'coscotsina)t'

由欧拉公式得：e*'=

、一sin创cosof,

即得证。

‘010、

2-3已知矩阵人=001

3-54,

试用拉氏反变换法求V'。(与例2-3、例2-7的结果验证)

解:

卜2一4s+5

由(s/_4尸=----------2s(s-4)s

(s—1)2(5—2).

-55+252

转化成部分分式为:

(sI-AY'

-2132-2-1-11

-------T-I-------

(5-1)25-2(S—1)25-15-2(s-1)25-15-2

-2-2235-4-1-22

-----------z-d----------1-----------

(s-2)2s_]s—2(♦I)?5-1s-2(S-l)25-1s-2

-2-4438-8-1-34

-----------H----------1----------

(5-1)25-15-2(5-I)25-1s-2G-l)25-1s-2

又由拉氏反变换得：

—2e'+e2'3te'+2e'-2e2'-te'+e'+e2'、

厂(s/—A)-"=—2fe'_2d+2e”3te'+5e'-4e2'-te'-2e'+2e2'

、-22-4e'+4e”3fe'+8e'-8e”-te'-3e'+4e2'

2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数*o

0-1

(1)A=

(40

(\1、

(2)A=

4I

解：(1)方法一：约旦标准型

<o-0

由A=，令Is/—A1=0,

0,

41

即=0,得分+4=0,解得4=2i,=-2/

—4A.

由AP=4P可得

(p、

①当4=2i时，设4=11

zo\7\r/7\M41

/\-

得

解

艮

-1万nP

loH=l-rM=

万

片

多

4，

k77k7-2Z

、

②当为=—2i时，设鸟=4

7、

0-1丫始%

由得-2i，解得忆;严尸2

^22y^22

4077

变换矩阵T=(片6)=[_212i，12

(\)

-4/

2

1)(e2i,0)Jf

(1

则，矩阵指数函数*=7*厂|=I2J10e2"J

1-2

/

；d+e-2")4i(e2il

(2ie-2i,-2ie2i,)8(e2,,+^2;,)

=1J

方法二定义法

由已知

eAlI+At+—A2t2+—A"t"+....

2!nl

得

/+L1+…J"

--/4+...-t+-t3+...

33

1°VI44一

-r3+...l-2t2+-t4+..

I;3)

方法三：凯莱-哈密顿定理

(o-A

A=Is/—A1=0,

由140；,令

即'।=0,得分+4=0,解得:

特征根4=2i,4--21

-42

(11)(12,1-2,7

—,2八—e(—e

则广。]=P2[22e'"_22

2i,

1[e-)~11.2il

——、7---eH—e

14i4z)\4i4i

则，矩阵指数函数

T

°、i2i2fo-n

+(-----e+—e~)

、01)4f4/(40J

*e-2i,}