人教版数学七年级下教案：第6章 实数

6.1平方根

第1课时算术平方根

i.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根;

2.根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；（重点）

3.了解算术平方根的性质.（难点）

欲谈i

一、情境导入

在我校举行的绘画比赛中，欢欢同学准备了一些正方形的画布，若知道画布的边长，你

能计算出它们的面积吗？若知道画布的面积，你能求出它们的边长吗？

表

2

正方形的边长120.5

3

4

正方形的面积140.25

9

表一：已知一个正数，求这个正数的平方.

表

正方形的面积140.3649

正方形的边长120.67

表二：已知一个正数的平方，求这个正数.

表一和表二中的两种运算有什么关系？

二、合作探究

探究点一：算术平方根的概念

［类型—］求一个数的算术平方根

硒1求下列各数的算术平方根：

(1)64；(2)2；；(3)0.36；(4)^412-402.

解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于

这个非负数即可.

解：（1）：82=64,...64的算术平方根是8；

(2),••(1)2=|=21,/.2牺算术平方根是I；

(3)V0.62=0.36,.*.0.36的算术平方根是0.6；

(4)“4俨一402=两,又•；92=81,.•.两=9.而32=9,二退尸石的算术平方根是

3.

方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清

求两与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑；(2)求一个非负数的算术平方

根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

［类型二］利用算术平方根的定义求值

崛3+〃的算术平方根是5,求。的值.

解析：先根据算术平方根的定义，求出3+〃的值，再求a.

解：因为52=25,所以25的算术平方根是5,即3+a=25,所以a=22.

方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

探究点二：算术平方根的性质

［类型一］含算术平方根式子的运算

例0计算：^49+^9+16-^225.

解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算.

解：^49+^9+16—7225=7+5-15--3.

方法总结：解题时容易出现如正前=m+/话的错误.

变式训练：见《学练优》本课时练习”课堂巩固提升”第8题

［类型二］算术平方根的非负性

(例。已知x,y为有理数，且5―1+3(y—2>=0,求x—y的值.

解析：算术平方根和完全平方都具有非负性，即a?》。，由几个非负数相加和为

0,可得每一个非负数都为0,由此可求出x和y的值，进而求得答案.

解：由题意可得X—1=0,厂2=0,所以x=l,y=2.所以X—y=l—2=-1.

方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方都具有非负性，即同》0,片20,

当几个非负数的和为0时，各数均为0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题

三、板书设计

概念：非负数a的算术平方根记作出

算术平方根

性质：双重非负性彳厂

让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化.概念的形成过

程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的.概念教

学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化

第1课时算术平方根

【教学目标】

1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性；

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根；

3.通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究

活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣。

【教学难点与重点】

1.重点：算术平方根的概念。

2.难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。

【教学过程】

一、情境导入

同学们，2003年10月15日，这是我们每个中国人值得骄傲的日子.因为这一天，“神

舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功，实现了中华民族千年的飞天梦想（多媒体同时出

示“神舟”五号飞船升空时的画面）.那么，你们知道宇宙飞船离开地球进人轨道正常运行

的速度是在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度匕（米/秒）而小于第二宇宙

速度：匕（米/秒）.匕、%的大小满足V：=gR，％2=2gR.怎样求％、匕呢？这就要

用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容.

设计理念：“神舟”五号成功发射和安全着陆，标志着我国在攀登世界科技高峰的征程

上又迈出具有重大历史意义的一步，是我们伟大祖国的荣耀.此内容有感染力，使学生对

本章知识的应用价值有一个感性认识，同时激发学生的好奇心和学习的兴趣.这里的计算实

际上是已知事和乘方的指数求底数的问题，是乘方的逆运算，学生以前没有见过，由此引

出了本章所要研究的主要内容，以及研究这些内容的大体思路.

这节课我们先学习有关算术平方根的概念.

请看下面的问题.

你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢？（学生思考并交流解法）

这个问题相当于在等式扩=25中求出正数x的值.

练习：教科书第160页的填表.这个问题抽象成数学问题就是已知正方形的面积求正方

形的边长，这与学生以前学过的已知正方形的边长求它的面积的过程互逆，教学时可以让学

生初步体会这种互逆的过程，为后面的学习做准备。

二、归纳新知

上面的问题，可以归纳为“己知一个正数的平方，求这个正数”的问题.实际上是乘方

运算中，已知一个数的指数和它的幕求这个数.

一般地，如果一个正数x的平方等于a,即》2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方

根.a的算术平方根记为右,读作“根号a”，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是

0.

也就是，在等式》2=a（x）0）中，规定x=y[a.

思考：这里的数a应该是怎样的数呢？

试一试:你能根据等式：122=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来.

想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？

建议：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平

方根的记法写出对应的值.例如后表示25的算术平方根，因为……

&也可以写成ML读作“二次根号a”。

算术平方根的概念比较抽象，原因之一是学生对石这个新

的符号的理解要有一个过程.通过此问题，使学生对符号“而”表示的具体含义有更

具体、更深刻的认识.

三、应用新知

例.求下列各数的算术平方根：

49

(1)100；(2)1；(3)一；(4)0.0001

64

建议：首先应让学生体验一个数的算术平方根应满足怎样的等式，应该用怎样的记号来表

示它，在此基础上再求出结果，例如求100的算术平方根，就是求一个数x,使光2=100,

因为1()2=100

四、探究拓展

提出问题：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？

方法1：课本中的方法，略;

可还有其他方法，鼓励学生探究。

问题：这个大正方形的边长应该是多少呢？

大正方形的边长是痣，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求出它的值吗？

建议学生观察图形感受微的大小.小正方形的对角线的长是多少呢？(用刻度尺测量

它与大正方形的边长的大小)它的近似值我们将在下节课探究.

五、课堂小结

提问：1、这节课学习了什么呢？

2、算术平方根的具体意义是怎么样的？

3、怎样求一个正数的算术平方根？

六、布置作业

(1)判断下列说法是否正确：

①是25的算术平方根；

②一6是(-6)2的算术平方根；

③0的算术平方根是0；

④0.01是0.1的算术平方根；

⑤一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根.

(2)下列各式哪些有意义，哪些没有意义？

①-V3②-3③J(-3,④JlCT~

(3)一个正方形的面积为10平方厘米，求以这个正方形的边为直径的圆的面积。

第2课时用计算器求算术平方根及其大小比较

卷酒）圜橱

1.会比较两个数的算术平方根的大小；（重点）

2.会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识；（难点）

3.会用计算器求一个数的算术平方根.

翁遨昌

一、情境导入

请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形纸片和剪刀，按虚线剪

开拼成一个大的正方形.

因为两个小正方形面积之和等于大正方形的面积，所以根据正方形面积公式可知“2=2,

那么a是多少？这个数是多大呢？

二、合作探究

探究点一：算术平方根的估算

［类型—］估算算术平方根的大致范围

颓I估算/历一2的值（）

A.在1和2之间B.在2和3之间

C.在3和4之间D.在4和5之间

解析：因为4?<19<52,所以4<标<5,所以2c标一2<3.故选B.

方法总结：本题利用被开方数两边比较接近的完全平方数的算术平方根估计这个数的算

术平方根的大小.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

［类型二］确定算术平方根的整数部分与小数部分

嗨I已知a是乖的整数部分，h是乖的小数部分，求（一〃）3+3+2）2的值.

解析：本题综合考查有理数与无理数的关系.因为2Vm<3,所以m的整数部分是2,

即a=2.就是无限不循环小数，它的小数部分应是乖一2,即人=乖一2,再将a,。代入代

数式求值.

解：因为2<m<3,〃是乖的整数部分，所以a=2.因为人是乖的小数部分，所以匕=乖

-2.所以（一“）3+3+2）2=（—2）3+（m一2+2）2=—8+8=0.

方法总结：解此题的关键是确定道的整数部分和小数部分（用这个无理数减去它的整数

部分即为小数部分）.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

［类型三］用估算法比较数的大小

砸1通过估算比较下列各组数的大小：

（1/与1.9;（2片2与1.5.

解析：⑴估算小的大小，或求1.9的平方，比较5与I4的大小；（2）先估算存的大小，

再比较优与2的大小，从而进一步比较］"与1.5的大小.

解：(1)因为5>4,所以小八两，即小>2,所以小>1.9；

(2)因为6>4,所以#所以#>2,所以m即#}>1.5.

方法总结：比较两数的大小常用方法有：①作差比较法；②求值比较法；③移因式于根

号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等.比较无理数与有理数的大小时要先

估算无理数的近似值，再比较它与有理数的大小.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

探究点二：用计算器求算术平方根

硒1用计算器计算：

(1)^1225；(2)吊36.42(精确到0.001)；(3仆(精确到0.001).

解析：⑴按键：“厂”“1225”“="即可；(2)按键:“36.42”“="，再取

近似值即可：(3)按键：“厂=再取近似值即可.

解：(1)^/1225=35；(2R36.4226.035；(3)VHg3.606.

方法总结：取近似值时要看精确到的位数的下一位，再四舍五入.

探究点三：算术平方根的实际应用

睡I全球气候变暖导致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一种低等植物苔群

开始在岩石上生长.每个苔碎都会长成近似圆形，苔薛的直径和冰川消失的时间近似地满足

如下关系式：d=7X，FZ(r212).其中4代表苔群的直径，单位是厘米；f代表冰川消失

的时间，单位是年.

(1)计算冰川消失16年后苔薛的直径；

(2)如果测得一些苔葬的直径是35厘米，则冰川约是在多少年前消失的？

解析：(1)根据题意可知是求当f=16时4的值，直接把对应数值代入关系式即可求解；

(2)根据题意可知是求当4=35时t的值，直接把对应数值代入关系式即可求解.

解：(1)当1=16时，d=7X#16-12=7X2=14(厘米).

答：冰川消失16年后苔薛的直径是14厘米；

(2)当d=35时，/-12=5,即£-12=25,解得f=37(年).

答：冰川约是在37年前消失的.

方法总结：本题考查算术平方根的实际应用，注意实际问题中涉及开平方通常取算术平

方根.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1.估算错误!)

2.用计算器求一个正数的算术平方根

煞暮信恩

在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法.让学

生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力.通过独立

思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值

第2课时用计算器求算术平方根及其大小比较

1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大(或缩小)

教学目标

与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律；

2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值；

3、体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类

新数。

教学难点夹.值法及估计一个（无理.）数的大小的思想。

知识重点夹值法及估计一个（无理）数的大小。

教学过程SN生活动）设计理念

2

我们已经知道：正数X满足X=a，则称X是a的算

术平方根.当a恰是一个数的平方数时，我们已经

能求出它的算术平方根了，例如，'话=4；但当a

不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎样

求呢？例如课本的大正方形的边长后等于多少在也出现之前，学

呢？生已经知道利用乘方运

问题：、历究竟有多大？算，通过观察的方法求

一些完全平方数的算术

建议：1、先让学生思考讨论并估计大概有多大，平方一根，但是对于像2

在此基础上按书本讲解并板书.可以这样提出问题这样的非完全平方数，

并讲解：由直观可知招大于1而小于2,那么了J5如何求它的算术平方

根，对学生来讲是一个

是1点儿呢？（接下来由试验.可得到平方数最接近新问题.

2的1位小数是1.4,而平方数大于2且最接近的1教科书给出两种求

位小数是1.5,痣大于1.4而小于1.5……、历的方法：一种是估

情境导入

这里默认了非负数a和b当a<b时，无〈现这算，一种是使用计算

器.对于第一方.法，教

里可以从石（声得到。科书利用夹值的办法，

夹值法是重要的有效的

2、用夹值法去逼近一个（无理）数，是一个重要求近似值的方法，所以

的求近似数的方法，也是一种无限逼近的数学思应详细讲解.

想，教师应加以重视，让学生体验它的妙处.对于无限不循环小

3、关于后是一个“无限不循环小数”要向学生详数这个概念，教学时可

以适当回忆以前学生学

细说明.为无理数的概念的提.出打下基础.过的数，通过比较，了

归纳（提出问题）：你对正数a的.算术平方根丘的解无限不循环小数的特

征，为后面学习实数做

结果有怎样的认识呢？铺垫。

品的结果有两种情：当a是完全平方数时，、份是

一个有限数；当a不是一个完全平方数时，、石是

一个无限不循环小数。

例1（课本的例2）用计算器求下列各式的值：

（1）,3136（2）V2（精确到o.ooi）通过.例题，使学生掌握

.用计算器

使用计算器求算术平方

求一个正可按照书本讲.注意计算器的用法，指出计算器上

根的方法，可以和上面

有理数的显示的也只是近似值，但我们可.以利用计算器方便

算术平方地求出一个正数的算术平方根的近似值.所估计的.、历的大小比

根安排学生独立解决引言中的问题，利用计算器求出

较。

匕和匕的值.

例2（用多媒体显示课本第163页的例3）题略.

建议：1、首先要注意学生是否弄清了题意；然后

分析解题思路：能否裁出符合要求的纸片，就是要

例题给出了一个实际问

比较两个图形的边长，而由题意，易知正方形的.边

题背景，学生一般会认

长是20cm,所以只需求出长方形的边长，设长方

形的长和宽分别是3xcm和2xcm,为一定能用一块面积大

的纸片裁出一块面积小

求得长方形的长为3同cm后，接下来的问题是

综合应用的纸片，通过学习可以

纠正学生的认识.重点

比较3病和20的大小，这是个难点，要让学生

使学生掌握通过平方数

比较有理数与无理数大

思考，充分发表自己的意见，然后再比较.

小的一种方法.

2、视学生掌握知识的情况在例3前可先解决卜面

的问题：比较4和色，2曲和27大小.

课本中的用计算器探究被开方数扩大（或缩小）与

它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.

探究规律对于（.1）应有如下,的规律：当被开方数扩大（或

缩小）100倍，10000倍…时，其算术平方根相应

地扩大（或缩小）10倍，1.00倍…

1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根

也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方

法来求出算术平方根的近似值；

2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的

课堂小结近似值

3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术,平方根扩

大（或缩小）的规律是怎样的呢？

4、怎样的数是无限不循环小数？

布置作业课本习题6.1第5、6、9、10题；

教后记:

第3课时平方根

卷酒)圜橱

i.了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；(重点)

2.了解开平方与平方是互逆运算，会用开平方运算求非负数的平方根.(难点)

一、情境导入

填空：(1)3的平方等于9,那么9的算术平方根就是；

联的2平方等于玄4，那么4去的算术平方根就是;

(3)展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长为米.

还有平方等于9,表，49的其他数吗？

二、合作探究

探究点一：平方根的概念及性质

［类型—］求一个数的平方根

硒I求下列各数的平方根：

(1)125；(2)0.0001；(3)(-4)2；(4)106；(5)781.

解析：把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幕.注意正数有两个互为相反数

的平方根.

解：⑴・.■诺蜷,(()2嚼,...诺的平方根为忌即±^G||=q；

(2)V(±0.01)2=0.0001,，0.0001的平方根是±0.01,即可0.0001=±0.01；

(3)；(±4)2=(—4)2,—4)2的平方根是±4,即H(-4)』±4；

(4)-(±10-3)2=］0-6,...10-6的平方根是土是-3,即=3；

(5)：(±3)2=9=两，二痼的平方根是±3.

方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根.如(5)中是求9的平

方根.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

［类型二］利用平方根的性质求值

MB一个正数的两个平方根分别是2a+l和4—4,求这个数.

解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以24+1和。-4互为相

反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解.

解：由于一个正数的两个平方根是2a+1和a—4,则有2a+l+(?—4=0,即3a—3=0,

解得。=1.所以这个数为(2a+l)2=(2+l)2=9.

方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零.

变式训练：见《学练优》本课时练习”课堂达标训练”第11题

探究点二：开平方及相关运算

砸1求下列各式中X的值：

(l)f=361;(2)81/—49=0；

(3)49(f+1)=50;(4)(3JC-1)2=(-5)2.

解析：若/二或。2。)，则x=±yJH,先把各题化为的形式，再求x.其中(4)中可将

(3x-l)看作一个整体，先通过开平方求出这个整体的值，然后解方程求出工

解：⑴：X2=361,...开平方得X=H^T=±19；

(2)整理8if—49=0,得/=普，.•.开平方得

(3)整理49,+1)=50,得，，开平方得x=±^^=±|；

(4)；(3x-l)2=(-5)2,.,.开平方得3x-l=±5.当31一1=5时,x=2；当3%—1=-5时，

44

X=-W.综上所述，x=2或一］.

方法总结：利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值.一个正数的平

方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根.

变式训练：见《学练优》本课时练习”课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1.平方根的概念：若d=a,则x叫a的平方根，x=±\0

2.平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有

平方根.

3.开平方及相关运算:求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数.开

平方与平方互为逆运算.

段健思

为学生提供有趣且富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流.如把正方形的

面积不断地扩大为原来的2倍、3倍、〃倍，引导学生进行交流、讨论与探索，从中感受学

习平方根的必要性

第3课时平方根

1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区

另1」；

教学目标2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平.方运算和乘方

运.算之间的互逆关系；

3、培养学生的探究能力和归纳问题的能力.

教学难点平方根和算术平方根的联系与区别

知识重点平方根的概念和求数的平方根。

教学过程4口生活动)设计理念

如果一一个数的平方等于9,这个数是多少？这.个思考题是，引入

学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它平方根概念的切入

们是3和一3.受前面知识的影响学生可能不易想到点，要让学生有充分

思考归纳

-3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以的时间进行思考和体

导入概念

验.

是负数.注意(-ST=9中括号的作用.

在等式中求出X

的值，为填表做准备.

通过填表中的X

2_4

X——的值，进一步加深时

又如：25,则X等于多少呢？

“两个互为相反数.

使学生完成课本165页的填表练习.的平方等于同一个

给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那.么数”的印象，为平方

2根的引入做准.备.

这个数就叫做a的平方根.即：如果r=a,那么x

教学中可以引导

叫做a的平方根.学生通过查阅资料等

求一个数的平方根的运算，叫做开平方.方式，了解平方根产

例如：±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以生发展的过程.(通常

平方与开.平方互为逆运算.称为平方根.在研究

观察：课本中的图13.1-2.有关n次方根的问题

图10.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运时，为使各次方根的

算的运算过程，揭示了开平方运算的本质.说法协调起见，常采

让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个用二次方根的说法

关系说出1,4,9的平方根.3表示+3和一3两个

注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先数.这种写法学生不

不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数.太习惯，在以后的教

学中宜不断提到。

例1：(课本的例4)。求下列各数的平方根。通过此例使学生明白

平方根可以从平方运

9

算中求得，并能规范

(1)100(2)16(3)0.25

地表述一个数的平方

根.这个例题也为后

建议教师要规范书写格式。面探讨平方根的特征

做好准备.

按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问通过讨论，使学生对

题：有理数的平方根有一

正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负个全面的认识.也是

数有平方根吗？平方根概念的进一步

2深化.

建议.：可引导学生通过观察X=a中的a和X的取

值范围和取值个数得出.体验分类思想，巩固

根据上面讨论得出的结果填课本166页的表.平方根概念.

讨论归纳注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习

深化概念惯，一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方

运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果性

一的情况有所不同，另

一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运加深对符号.意义的

算，这种某数.不能进行某种运算的情况在有理数的理解和对.平方根概

力口、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到(0念的灵活应用.

作除数的情况除外).教学时，可以通过较多实例

说明这两点，并在本节以后的教学中继续强化这两

点.

引入符号：正数a的算术平方根可用右表示：正

测试学生对平方根概

念的掌握情况.

数a的负的平方根可用-J2表示.例如……

思考：及表示什么意思，这里的X可取什么样的

数呢？

而对于-Jx-l又该怎样理解呢？这里的尤又可取

什么样的数呢？

例2下列各数有平方根？如果有，求出它的平方熟练应用平方根的概

根，如果没有，说明理由。念，计算有关算式的

-64、0,(-4)；10-2值，是本课的主要内

容。

如果有要用平方根.的符号来表示。

例3：课本的例5,求下列各式的值。被开方数不是,完全

平方数时，可用计算

+V121

器求出它的近似值

(1)；⑵一J0.81,⑶V196

(4)历,网

应用

建议：要让学生明白各式所表示的意义；根据平方

关系和平方根概念的格式书写解题格式。平方根和

算术平方根的概念是本章重点内容，两者既有区别

又有联系.区别在于正数的平方根有两个，而它的

算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是

它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可

以立即写出它的负平方根，因此我们可以利用算术

平方根来研究平方根.

思考：一而的值是多少？

课本的练习

小结：

练习巩固.什么叫做一个数的平方根？

正数、0、负数的平方根有什么规律？

怎样求出.一个数的平方根？数a的平方怎样表示？

小结与作业

布置作业教科书习题13.1第3、4、7、8、11、12题。

本课教育评注(课堂设计理念，实际教学效果及改进设想.)

2

2、本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念，要以等式％=a和已有算

术

平方根概念为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别，明确开平方

与平方之间的互逆关系，把握了这.些平方根的有关概念，正数、零、负数的平方根的规

律也就不难掌握了.

2、有关求算式的值的问题，一定要使学生体会到这个算式所表示的具体意义，这样

才能使学生在本质上掌握其求法.

6.2立方根

i.了解立方根的概念及性质，会用根号表示一个数的立方根；(重点)

2.了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根.(难点)

鹦婕

一、情境导入

填空并回答问题：

(1)()3=0.001；

(2)()3=-磊

(3)()3=0；

(4)若正方体的棱长为“，体积为8,根据正方体的体积公式得苏=8,那么。叫做8的

什么呢？

二、合作探究

探究点一：立方根的概念及性质

［类型一］立方根的概念及性质

硒I立方根等于本身的数有个.

解析：在正数中，折=1,在负数中，y［—i=­l,又寺5=0,，立方根等于本身的数

有1,-1,0.故填3.

方法总结：不论正数、负数还是零，都有立方根.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

［类型二］立方根与平方根的综合问题

MB已知》一2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求的算术平方根.

解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知X—2=4,2x+y+7=27,从而解出

x,y,最后代入f+y2,求其算术平方根即可.

解：2的平方根是±2,.•/—2=4,；.x=6.：2x+y+7的立方根是3,.,.2x+y+7

=27.把x=6代入解得y=8,...f+V=62+82=100.二_?+)?的算术平方根为10.

方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想列方程求出x,y的值，

再根据算术平方根的定义求出f+y2的算术平方根.

变式训练：见《学练优》本课时练习”课后巩固提升”第9题

【类型三】立方根的实际应用

___4

砸1已知球的体积公式是丫=枭/（「为球的半径，”取3.14）,现已知一个小皮球的体

积是113.04cm3,求这个小皮球的半径匚

3V

解析：将公式变形为尸=:，从而求r.

43V^■二，丫=113.04cm3,n取3.14,；•，七'3X113.04

解：由V=Qn，，得尸=了不,

4X3.14

=^^=3（5）.

答：这个小皮球的半径r约为3cm.

方法总结：解此题的关键是灵活应用球的体积公式，并将公式适当变形.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

探究点二：开立方运算

刷H求下列各式的值：

骂-5;

(3)-(-1)I(X).

解：⑴―洞§=_7；

27

l=2X§+l=g.

方法总结：做开平方或开立方运算时，一般都是利用它们的定义去掉根号；当被开方数

不是单独一个数时，则需先将它们进行化简，再进行开方运算.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题

三、板书设计

1.每个数“都只有一个立方根，记为“%”，读作“三次根号a”.

2.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.

3.求一个数〃的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数.开立方与立方互为

逆运算.

本节课让学生应用类比法学习立方根的概念、性质和运算.学生在以后的数学学习中，

要注意渗透类比的思维方式，让学生在学习新知识的同时巩固己学的知识，并通过新旧对比

更好地掌握知识

6.2立方根

【教学目标】

1、使学生进一步理解立方根的概念，并能熟练地进行求一个数的立方根的运算；

2、能用有理数估计一个无理数的大致范围，使学生形成估算的意识，培养学生的估算能力;

3、经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力。

【学难点与重点】

用有理数估计一个无理的大致范围。

【教学过程】

七、复习引新

1.判断题：

4的平方根是2()

1的立方根是1()

-0.125的立方根是一0.5()

Q9

一士的立方根是土士()

273

—6是216的立方根()

2.求下列各式的值

:-^/-(0.1)3；7(_5)2

问题：屈有多大呢？

(这里可以让学生回忆前面学习过程中讨论五有多大时的方法)。

学生小组讨论，并交流学方法。

因为3,=27,4,=64

所以3〈胸<4

因为36=46.656,3.73=50.653

所以3.6〈痴'<3.7

因为3.683=49.836032,3.693=50.24349

所以3.68〈病<3.69

如此循环下去，可以得到更精确的痴的近似值，它是一个无限不循环小数，V50=-

3.68403149……事实上，很多有理数的立方根都是无限不循环小数.我们用有理数近

似地表示它们.

八、自主学习

1、利用计算器来求一个数的立方根，并完成课本上的练习。

(学生利用计算器的说明书独立学习.对于一些暂时还没有学会的学生，可以采用同学

之间互帮互学的方式解决.)

2、学生解决上节课未解决的一个问题，简单回忆：如果要生产这种容积为50L的圆

柱形热水器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应取多少？（结果保留两

个有效数字）

九、应用新知

利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么吗？你能说说其中的道理吗？

•••340.000216V0.216V216…

2、用计算器计算正5（结果个有效数字）。并利用你发现的规律说出Wo.oooi,VOJ,

，00000的近似值。

十、课堂小结

十一、布置作业

6.3实数

第1课时实数

暮显）善

1.经历无理数的探究过程，理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数；（重点）

2.进一步理解有理数和无理数的概念，会把实数进行分类；（重点）

3.理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.（难点）

蓊诞

一、情境导入

为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园，这个正方形的边长

应取多少？你能计算出来吗？如果把“225”改为其他数字，如“200”