人教a版高中数学选修2-2全册同步测控知能训练题集含答案

人教A版高中数学选修2-2全册

同步测控知能训练题集

目录

第1章1.1.2知能优化训练

第1章1.1.3知能优化训练

第1章1.2.2(-)知能优化训练

第1章L2.2(二)知能优化训练

第1章L3.1知能优化训练

第1章1.3.2知能优化训练

第1章1.3.3知能优化训练

第1章1.4知能优化训练

第1章1.5.2知能优化训练

第1章1.5.3知能优化训练

第1章1.6知能优化训练

第1章1.7.2知能优化训练

第2章2.1.1知能优化训练

第2章2.1.2知能优化训练

第2章2.2.1知能优化训练

第2章2.2.2知能优化训练

第2章2.3知能优化训练

第3章3.1.1知能优化训练

第3章3.1.2知能优化训练

第3章3.2.1知能优化训练

第3章3.2.2知能优化训练

知能优化训练

♦•同步测控**

1.当自变量从X。变到修时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()

A.在区间［xo,巧］上的平均变化率

B.在xo处的变化率

C.在为处的变化量

D.在区间m,3］上的导数

答案：A

2.已知函数本)=及一4的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+1-2+Ay),则受等于()

A.4B.4x

C.4+2AxD.4+2(Ax)2

解析：选噫=啰誓^

2(1+AX)2-4+2

Ax

2(zLr)2+4Ax

—=2AX+4.

3.一物体的运动方程为s=7,+8,则其在t=时的瞬时速度为1.

4a如As7(，o+A/y+8-(7©+8)

解析：元=M

=7Af+144，

当li加0(7A/+14^)=1时，击==

答案：14

4.求函数y=x—；在x=l处的导数.

解：Ay=(l+Ax)-哥^一(1-；)=1+^p

AL

AxAx—

Alim詈=lim(1+7377^)=2,

AXAx-0'1+Ax

从而，|x=l=2.

♦♦谭时训练♦♦

一、选择题

1.已知函数y=Ax)=f+l,则在x=2,Ax=O.l时，Ay的值为()

A.0.40B.0.41

C.0.43D.0.44

解析：选B.AJ=/(2.1)-/(2)=2.12-22=0.41.

2.函数火2=2/—1在区间(1,1+Ax)上的平均变化率氏等于()

A.4B.4+2Ax

C.4+2(Ax)2D.4x

解析：选B.因为A^=[2(H-AX)2-1]-(2X12-1)=4AX+2(AX)2,所以q=4+2AX,故选

B.

3.如果质点M按照规律s=3/运动，则在，=3时的瞬时速度为（）

A.6B.18

C.54D.81

但As3(3+A，)2—3X3?

解析：选B•余=左=18+3A6

s'=lim（）^=li（18+3Ar）=18,故选B.

4.某质点沿曲线运动的方程y=-2x2+l（x表示时间，y表示位移），贝IJ该点从x=i至lj*=2

时的平均速度为（）

A.-4B.-8

C.6D.—6

解析：选D.令人¥）=）=—2^+1,

制再占uEL迎百由一或＜2）一/（1）-2义22+1—（一2XH1）

则质点从x=l到x=2时的平均速度v1一.=----------L；=—6.

5.如果某物体做运动方程为s=2（l—/）的直线运动（位移单位：m,时间单位：s）,那么其

在1.2s末的瞬时速度为（）

A.-0.88m/sB.0.88m/s

C.-4.8m/sD.4.8m/s

人…,2|l-（1.2+A/）2]-2（l-1.22）

解析：选C.s，|,=|,2=1^0-----------------%-----------------=—4.8.

6.已知火*）=一/+10,则心）在.1=彳处的瞬时变化率是（）

A.3B.-3

C.2D.-2

选性g

解析:AJC—3,

Alim广=—3.

Ax-oAx

二、填空题

7.已知函数/(x)在x=l处的导数为1,

贝"lim----------------=.

.LOx------------

制士二I-火1+“)—ZU)一,八1

解析：hjp:=f(1)=1.

x-ox

答案：1

8.设函数p=/(x)=ar2+2x,若f(1)=4,贝lj〃=

解析：lim光

Ar-oAx

a(x+Ax)2+2(x+Ax)—<zx2—2x

=lim----------------7---------------------

Ar-0AX

2〃x・Ax+2・Ax+a(Ax)2

=lim;~

4r-0AX

=2ax+2.

：.f(l)=2a+2=4,

:.a=1.

答案：1

/(*0-2词一/(勺)

9.已知函数y=/（x）在x=.q处的导数为11,则见01

&L0Ax

./(Xo-2Ax)—/(xo)

解析：li&°

Ax

/(Xo--2Ax)一於0)

—2Ax

=-2f(x0)=-2Xll=-22.

答案：一22

三、解答题

.q/(x。—A)—/(Xo)辽心

10.Lt若，(xo)=2,求［i*八；k的值•

解：令一A=Ax,•.,〃―()，0.

则原式可变形为

../>o+Ax)-/(Xo)1/(Xo+Ax)-/(x)

蚂-2^=一5蚂心

=一1(x0)=-1x2=-l.

11.一作直线运动的物体，其位移s与时间，的关系是s=3f-/(位移：m,时间：s).

(1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在t=l时的瞬时速度；

(3)求/=0到t=2时的平均速度.

解：⑴初速度。o=h,m",无■'

ALOL\l

3AL(A。？

=lim------m(3-A/)=3.

Ar*OAf/V-0''

即物体的初速度为3m/s.

s(2+A1-s(2)

(2)v

At

3(2+A/)-(2+Ar)2-(3X2-4)

=3。N

一(A/)2—A/

T*。AZ

=li阴。(—AZ—1)=-1.

即此物体在t=2时的瞬时速度为1m/s,方向与初速度相反.

—5(2)—5(0)6-4-0

(3)0=2—0=-2-=1•

即f=0到t=2时的平均速度为1m/s.

12.若函数/(x)=-x2+x在［2,2+Ax］(Ax>0)上的平均变化率不大于-1,求Ax的范围.

解：\•函数/(x)在［2,2+Ax|上的平均变化率为：

Ay/(2+Ax)—/(2)

AxAx

一(2+AX)2+(2+AX)-(-4+2)

Ax

―4Ax+Ax—(Ax)2

・，・由-3—AxW—1,得2.

又・.・Ax>0,AAx>0,

即Ax的取值范围是(0,+~).

知能优化训练

♦♦同步测控♦♦

1.设/（Xo）=O,则曲线），=/（刈在点（Xo,-0））处的切线（）

A.不存在B.与x轴平行或重合

C.与x轴垂直D.与x轴相交但不垂直

解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零.

2.曲线＞=一±在点（1,一1）处的切线方程为（）

A.j=x—2B.y=x

C.y=x+2D.p=­x—2

14-Ax1i

解析：选A,(1)=叫叫“----T-------=lim7TT-=1>则在(1,一1)处的切线方程为y+

ZJLXAX-*。1,I/\JL

l=x—1,即y=x—2.

3.函数尸x?+4x在x=w处的切线斜率为2,则x0=

(x<)+Ax)2+4(xo+Ax)-X；-4%

解析:

2=3。Ax

=2x0+4,・・x（）=—1.

答案：一1

4.求证：函数j，='+!图象上的各点处的斜率小于1.

辰+词一穴》）

证明：力理

=li0Ax

(X+AX+^)-(X+3

11m--------------7~

Ax-0AX

X2—11

.•.J，=X+1图象上的各点处的斜率小于1.

♦♦课时训练♦♦

一、选择题

1.下列说法正确的是（）

A.若/（X。）不存在，则曲线y=/（x）在点（勺，凡to））处就没有切线

B.若曲线y=/（x）在点的，兀脸）处有切线，则/的）必存在

C.若/（X。）不存在，则曲线y=/（x）在点（xo,4中））处的切线斜率不存在

D.若曲线y=/（2在点（xo,心。））处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线

解析：选C.k=f（xo）,所以/（Xo）不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率

不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x=xo.

2.已知曲线y=Z?上一点NQ,8）,则4处的切线斜率为（）

A.4B.16

C.8D.2

解析：选C.曲线在点A处的切线的斜率就是函数y=2x2在x=2处的导数.

⑺小马芸=3。2(r+Ax)2-lx2

Ax

4X・AX+2(AX)2

妻。一—=4工则/⑵=8.

3.已知曲线y=/(x)在点尸(xo,a。))处的切线方程为2x+y+l=0,那么()

A./®0=OB./(Xo)VO

C./(x«)>0D.f(X。)不确定

解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负.

4.下列点中，在曲线y=x2上，且在该点处的切线倾斜角为£的是()

A.(0,0)B.(2,4)

C.4hD.61)

(*+")2—式2

解析：选DQ3。段=1眄

Ax

=li&0(2x+Ax)=2x.

・•♦倾斜角为去，斜率为1.

，2x=l,得.t=今故选D.

5.设外)为可导函数，且满足里上乎二©=—1,则曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切

线的斜率是()

A.2B.-1

C.1D.-2

解析：选B..hm

HD-ZU)

•Jim——1,

LO-x

:Hd)=-i.

6.(2010年高考大纲全国卷II)若曲线y=x2+"+6在点(0")处的切线方程是x-y+l=o,

则()

A.q=l,b=lB.6=1

C.。=1，b=——lD.。=——1，6=——1

解析：选A.

(x+Ar)2+a(x+Ax)+b—(x2+ar4-/1)

y=lim-----------------------r-----------------------

JAx-0Ax

=li3(2r+")£+(&)=2x+a,因为曲线y=f+ax+〃在点(0,〃)处的切线/的方程是

xr+。。，所以切线'的斜率且点(。")在切线’上'于是有IOf+a+=1l=。

4=1

解得

b=l

二、填空题

7.若曲线j=2?-4x+P与直线y=l相切，贝IJP=

解析：设切点坐标为(x()J),则/(x0)=4x0—4=0,

；.*0=1.即切点坐标为(1,1).

：.2~4+P=l,即P=3.

答案：3

8.已知函数尸M+〃在点(1,3)处的切线斜率为2,贝碌=

〃(1+Ax)2—。

解析：”图0菽2—="盘0(a・Ax+2〃)=2a=2,

*••/z=19又3=4X1?+。，:♦b=2,即1=2.

答案：2

9.已知曲线尸卜一2上一点P(L-1),则过点尸的切线的倾斜角为.

解析：•.•尸；f—2,

T(x+Ax)2—2—(pr2—2)

/.v,=lim-------------T--------------------

JALOAX

；(Ax>+x・Ax]

=lim-------7---------=lim(X+TAX)=X.

AX-OAXAX-*O'2'

・力,Ix=l=l.

.•.点P(L—多处的切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45。.

答案：45°

三、解答题

10.求过点P(—1,2)且与曲线p=3f-4x+2在点处的切线平行的直线.

解：曲线y=3f一心+2在"(1,1)的斜率

3(1+曲2-4(1+词+2—3+4—2

A=/g=li黑。=H朋0(3Ax+2)=2.

Ax

二过点P(—1,2)直线的斜率为2,

由点斜式得y-2=2(x+l),

即2x—j+4=0.

所以所求直线方程为2x—y+4=0.

11.已知抛物线y=x?+4与直线y=x+10.求:

(1)它们的交点；

(2)抛物线在交点处的切线方程.

J=X2+4,

解：(1)由

J=X+10,

Ux=—s2或Ix=3

解得

j，=13

，抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13).

(2)"/十%

(X+AX)2+4—(X2+4)

=妈Ax

(AX)2+2X*AX,

=!蚂—=11吗(&+左)=2乂

""y'lx=-2—-4,j'|*=3=6,

即在点(一2,8)处的切线斜率为-4,在点(3,13)处的切线斜率为6.

在点(一2,8)处的切线方程为4x+y=0；

在点(3,13)处的切线方程为6r-j-5=0.

12.设函数及)=/+依2-9*一］(“<0),若曲线y=/@)的斜率最小的切线与直线12x+y=6

平行，求”的值.

解：,.•Ay=/(Xo+Ax)—/区))

32

=(X#+Ar)+a(x0+Ax)—9(x0+Ax)—1—(x；+渴一9x()—1)

23

=(3x#+2ax0—9)Ax+(3x0+a)(Ax)+(Ax),

那3x：+IOXQ—9+(3x#+a)Ax+(Ax)2.

当心无限趋近于零时，

言无限趋近于3x：+2ax0-9.

即/(XO)=3xo+2axo—9?

2

:(XO)=3(XO+1)-9-J.

2

当Xo=一：时，f(Xo)取最小值一9一全

:斜率最小的切线与12x+y=6平行，

.•.该切线季率为-12.

—9—y=—12.

解得a=±3.又a<0,

••a---3.

知能优化训练

♦♦同步测控**

1.函数的导数是()

A.3x2cosx+x3sinxB.3x2cosx—x3sinx

C.3X2COSXD.-x3sinx

解析：选=(x3cosx)/=3x2cosx+x3(—sinx)=3x2cosx—Ar3sinx,故选B.

2.已知/»=/+3/+2,若/(-1)=4,则〃的值是()

A号c16

BT

若c10

DT

解析：选D.'・"'(x)=3ar2+6x,:・f(―1)=3。—6=4.，。=号,

3.曲线y=xlnx在x=l处的切线方程为.

解析：\y=x\nx,

，，=lnx+L则切线斜率A=y'=

，切线方程为y=x-l.

答案：y=x-l

4.求下列函数的导数：

(l)j7=3x2+xco&r；(2)j=y^；(3)j=lgr-ex；

(4)ip=sin2x-cos2x.

解：(l)yr=6x+cosx—xsinx.

,1+x—x1

(2)y=71+^=(1+^-

(3»，=(l&r)z-(e)=^j^-ev.

(4)法一：y'=(sin2x—cos2x)z

=(sin2x)z—(cos2x)/=2cos2x+2sin2x

=2V2sin(2x+^).

法二：Vj=V2sin(2x—,

・力'=Vico§(2x—京)・2=2啦sin(2x+£).

♦♦课时训练♦♦

一、选择题

1.下列求导运算正确的是()

AG+5=1+3

B.(10g2»

v

C.(3)=3-log3e

D.(x2cosx)z=_2xsinx

解析：选BG+3,=1—3,(3)=3vln3,

(x2cosx)'=2xcosx-x2sinx.

2.曲线7=1-3小+1在点(1,一1)处的切线方程为()

A.y=3x—4B.y=-3x+2

C.y=-4x+3D.y=4x—5

解析：选B.由，=3f—6x在点（1,—1）的值为一3,故切线方程为y+l=-3（x—l）.即y

=-3x+2.

3.（2011年高考湖南卷）曲线y=菰霍嬴一；在点M。，0）处的切线的斜率为（）

xr,、出,cosx(sinx+cosx)—(cosx-sinx)sinx1.1

解析：选叼'=---------(sinx+c。㈤2---------------=(sinx+c0s㈤?•故J'《=子

曲线在点呜，0)处的切线的斜率为今

4.函数夕=/(：0§2X的导数为()

A.y'=2xcos2x—x2sinlx

B.yr=2xcos2x—2x2sin2x

C.yr=x2cos2x—2xsin2x

D.y'=2xcos2x+2x2sin2x

解析：选B"=(X2COS2X)/

=(x2)r,COS2X+X2*(COS2X),

=2xcos2x—2x2sin2x.

5.若函数人x)=ad+&v2+c满足/(1)=2,则/(-1)=()

A.-1B.-2

C.2D.0

3

解析：选B.由题意知/(x)=4ax+2bxf若/(1)=2,即/(1)=4。+2力=2,从题中可知

/戊)为奇函数，故/(-1)=-/(1)=一4〃-25=-2,故选B.

6.若函数於)=%(-l)x2-Zr+3,则/(一1)的值为()

A.0B.一1

C.1D.2

解析：选B・・・V(x)=%(—1比2-2X+3,

，/(2=/(一1比一2.

"(―1)=/(―1)X(—1)—2・

・•・/(-1)=一1.

二、填空题

7.令人x)=f・/,则/(x)等于.

解析：/(x)=(x2Y・/+丁・(吟，=2x-ex+x2-eA=ev(2x+x2).

答案：ev(2x+x2)

8.设小0=依2—加加*,且/(0)=1,f(j)=1,KOa=,b=.

解析：,:f(x)=2«x—Acosx,

:(0)=-b—1,得b=-19

f^=3na+2=2,得。=0,

答案：0—1

9.若函数火*)=£在x=c处的导数值与函数值互为相反数，则c的值为,

解析：

e.，・x—e*eYx—1),e'(c—1)

又/(x)=-p-=-p-，(c)=-p—・

，

依题意知/(c)+/(c)=0,Ae-+c'(c—12)=0,

/.2c-1=0得c=1.

答案：;

三、解答题

10.求下列函数的导数：

(l)/(x)=In(8x)；

(2的)=(5+1)仁-1)；

(3)j=5log2(2x+l).

解：⑴因为/(x)=ln(8x)=ln8+lnx,

所以/(x)=(ln8)'+(lnx)'=:.

(2)因为y(x)=(也+1)(五-1)

“5+比T

=5方卡’

所以,⑴/…戏

(3)设j，=51og2〃，w=2x+L

则y'=5(log2")'(2x+l)'=^^=(2%+1)加2.

11.设且/(l)=e,f(―1)=；.求小〃的值.

解：由/(x)=a・e*+Mnx,

・"(x)=〃・/+§,

f(l)=ae+方=e

根据题意有一、Q」\

[r(T)=丁力晨

解味|a=l。，

所以a,6的值分别是1,0.

12.已知，(x)是一次函数，x2f(*)一(2xT)/(x)=l.求作)的解析式.

解：由/(x)为一次函数可知府)为二次函数.

设Ax)=ax+bx+c{aW0),

则7(x)=2ax+b.

把/(x),f(x)代入方程x)，(*)—(改一1小)=1得：

x2(2flx+6)—(2x—l)(flx2+6x+c)=l,

即(a—方口)+(6—2c)x+c—1=0.

要使方程对任意x恒成立，则需有a=6,b=2c,t—1=0,

解得a=2,h=2,c=l,

所以Z(X)=2X2+2X+1.

知能优化训练

♦♦同步测控**

1.已知外）=*2,则/（3）=（）

A.0B.2x

C.6D.9

答案：C

2.下列结论正确的是（）

A.若夕=。0珠,贝（J,=sinx

B.若y=sinx,则=-co&r

c.若y=5，则,=一2

D.若y=#,贝！Jy'=当

答案：C

3.若y=1*贝lly'1=I=-

解析：•.？'=10vlnl0,：.y'U=!=10lnl0.

答案：lOlnlO

4.质点的运动方程是S=为求质点在，=2时的瞬时速度.

r=-

.\s|z=25X26=一歹，

即质点在，=2时的瞬时速度是一含

♦♦课时训练♦♦

一、选择题

1.y=x2的斜率等于2的切线方程为（）

A.2x—y+l=0B.2x—y+l=0或2x—y—1=0

C.2x—y—1=0D.2x—y=0

解析：选C.设切点为（x（）,jo）,yr=2x.yr|x=xo=2xo=2,xo=l,,o=l,；♦切线方程为y

—l=2（x—1）,即2x—y—1=0,故选C.

2.过曲线上一点尸的切线的斜率为-4,则点尸的坐标为（）

A.（；,2）B.（1,2）或（一；，-2）

C.（-1,-2）D.（1,-2）

解析：选B.y'=（《）'=—J=—4,x=土;，故选B.

3.已知｛x）=x",则/（-1）=-4,则〃的值等于（）

A.4B.-4

C.5D.-5

解析：选A/(x)=axa{,f(―l)=a(—1)"T=—4,〃=4.故选A.

4.给出下列结论：

®(co&r)'=sinx；②(sin夕=cosj；

③若T贝"=T④(一点’=彘.

其中正确的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B.因为(cosx)'=—sinx,所以①错误；sin^=坐，而p§)'=0,所以②错误；

6)'=(x-2)'=~2x-3,所以③错误；

T)'=(")'炭=品

所以④正确，故选B.

5.正弦曲线j，=sinx上一点P,以点尸为切点的切线为直线/,则直线/的倾斜角的范围是

()

A.[0,加印，")B.|0,JT)

C小争D.10,?U第y)

解析：选A.设切点尸的坐标为(xo,R),切线的倾斜角为a.

''y1=cosx,.Itana=y'|x=xo=co&¥o-

V—l^co&xo^L—lWtana〈L

又0<a<7t,Z.aG[0,今Un).

6.已知命题p：函数y=Hx)的导函数是常数函数；命题夕：函数)，=/)是一次函数.则命

题P是命题4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选B.常数函数的导数也是常数函数.故由p不能得分而由4能得出p.

二、填空题

7.设函数火*)=1。84，/(l)=-b贝!1。=

解析：.•/仁)=含，"(l)=i£=f

Alna=-La=~.

e

答案：3

3

8.已知HX)=X2,g(x)=x9若/(X)—g，(X)=-1,贝！Jx=.

解析：f(x)=2x,g'(x)=3x2,

A2x—3x2=—1,解得x=l或一：.

答案：1或一;

9.已知直线y=h是曲线y=l取的切线，则〃的值等于.

解析：因为=(lnx)/=：,设切点为(xo,w),则切线方程为jro=}(x—xo)，即尸:

XX0A0

x+lnx。-1.由Inx。一1—0,得Xo=e.；.A=；.

答案：;

三、解答题

10.求下列函数的导数：

(iy(x)=logVix；(26幻=2-二

i2

解:(1/(x)=(log^x)z=~^=^i•

⑵可7％,

•••/W=[(1rr=(1)vln|=-(1)'ln2.

11.求与曲线y=%2在点P(8,4)处的切线垂直于点尸的直线方程.

解：•.?=”，

=(狗，=(焉)，等三，

'•y'L=8=jx8-3=|.

即在点P(8,4)的切线的斜率为;.

•••适合题意的切线的斜率为-3.

从而适合题意的直线方程为j，-4=一3(*—8),

即3x+j-28=0.

12.设加x)=sinx,/i(x)=/'0(x)>fz(x)=fi(x),…，_4+i(x)=/“(x),"GN,试求/加2(x).

解：/i(x)=(sinx)/=cosx,

f(x)=(cosx)'=—sinx,

力(x)=(-sinx)7=-cosx,

启*)=(-cosx)'=sinx,

/5(x)=(sinx)/=/i(x),

%(x)=/i(x)，…，

Mx)=f„(x)9可知周期为4,

••/oi2(x)=«/i(x)=sinx・

知能优化训练

♦♦同步测控**

1.命题甲：对任意xG(",b),有/，(x)>0；命题乙：/(元)在(“，6)内是单调递增的.则甲是

乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A/c)=x3在(-1,1)内是单调递增的，但/(X)=3X2^0(-1<X<1),故甲是乙的充

分不必要条件，选A.

2.(2011年高考辽宁卷通数尺)的定义域为R，H-1)=2,对任意xGR,/(x)>2,则/(x)>2x

+4的解集为()

A.(-1,1)B.(-1,+~)

C.(—8,—1)D.(—8,H-OO)

解析：选B.设皿x)=/(x)—(2x+4),则/(x)=/戊)-2>0,・・・〃i(x)在R上是增函数.•・•

m(-1)=/(-1)-(-2+4)=0,，帆(*)>0的解集为国%>一1｝，即｛x)>2x+4的解集为(一1,

+°°).

3.函数歹=3x-d在内的单调性是.

解析：y1=3-3x2,令，vo得x>i或kv—1,

令，>0得一1VX1.

.•.原函数在上是单调递增函数.

答案：单调递增

4.求下列函数的单调区间.

(l)j=x—Inx；

(2»==

解：(1)函数的定义域为(0,+8).

其导数为=T

令1一1>0,解得x>l;再令1一；<0,解得0«<1.

因此，函数的单调增区间为(1,+8),

函数的单调减区间为(0,1).

(2)函数的定义域为(-8,0)U(0,+8).

y'=一白，所以当xWO时，V=一击<°，

而当x=0时，函数无意义，

所以y==在(-8,0),(0,+8)内都是减函数，

即、=支的单调减区间是(一8,0),(0,+°°).

♦♦课时训练♦♦

一、选择题

1.函数Hx)=(x-3)e'.的单调递增区间是()

A.(一8,2)B.(0,3)

C.(1,4)D.(2,+8)

解析：选D1(x)=(x-3)'e'+(x-3)(e")'=(x-2)e\

令/(x)>0,解得x>2,故选D.

2.函数j，=4f+5的单调递增区间是()

A.(0,+8)B.(-8,1)

C.(1,+°°)D.(1,+0°)

।8*3—1i

解析：选=8x—7=-p~>0,.\x>2»

即函数的单调递增区间为(；，+8).

3.若在区间(a,6)内，/(x)>0,且八a)20,则在(a,b)内有()

A.Av)>0B.Hx)〈0

C./(x)=0D.不能确定

解鼎选A.因/(x)>0,所以/(x)在(〃，。)上是增函数，所以

4.下列函数中，在区间(一1,1)上是减函数的是()

A.y=2—3x2B.y=lnx

C.y=J。D・y=§inx

解析：选c.对于函数J，=M，其导数，=GF〈O,且函数在区间(一I,I)上有意义，

所以函数尸=占在区间(-1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.

5.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数()

A.(J,须B.(",2n)

C.管，引D.(2jr,3”)

解析：选B.y'=cosx—xsinx—cosx=—xsinx,若y=/(x)在某区间内是增函数，只需在此

区间内，恒大于或等于0即可..•.只有选项B符合题意，当xG(7t,2兀)时，y'20恒成

立.

6.函数y=a/—x在R上是减函数，贝！J()

A.心3B.a=\

C.a=2D.aWO

解析：选D.因为，=3ax2—l,函数j=ax3—X在(一8,+8)上是减函数，

所以y'=3«?—1W0恒成立，

即3ax2^l恒成立.

当x=0时，3a恒成立，此时“GR；

当xWO时，若aWp恒成立，则aWO.

综上可得“40.

二、填空题

7.y=x%"的单调递增区间是______.

解布：力=》储，

：.y'=2xe*+x2e*=e*x(2+x)>O0xv-2或x>0.

,递增区间为(一8,—2)和(0,+8).

答案：(-8,—2),(0,+°°)

8.若函数｛2=*3+必2+"+〃的单调减区间为［—1,2］,则。=,c=.

解析：=3x2+2hx+c,由题意知［-1,2］是不等式3X2+26X+C<0的解集，

.—1,2是方程3^+2取+c=0的根，由根与系数的关系得6=一/。=-6.

答案：一号—6

9.若函数>=一1?+必有三个单调区间，则。的取值范围是.

解析：・・？'=-4x2+a,且y有三个单调区间,

二方程，=-4f+a=o有两个不等的实根，

.,.A=02-4X(-4)Xa>0,

；・〃>0.

答案：(0,+00)

三、解答题

10.求下列函数的单调区间.

3

(1)A-V)=X3+-;

(2)/(x)=siiix(l+cosx)(0^x^2n).

解：(1)函数的定义域为(一8,0)U(0,+8),

3

X

由/(x)>o,解得X<—1或

由，(x)<0,解得一IVWl且xWO,

・•・/(*)的递增区间为(一8,-1),(1,+8),

递减区间为(一1,0),(0,1).

(lyf(x)=cosx(l+cosx)+sinx(—sinx)

=2COS2X+COSX-1

=(2cosx—l)(cosx+1).

•.•OWXWZTT,

rr

；・由/(X)=O得X]=3，%2=加，

5

%3=§力

则区间［0,2可被分成三个子区间：如表所示:

n5

X0冷藏7T，于)(郅,2加)27r

(。,1)3m铲

f(X)+0——0—0+

於)77

•••/(x)=sinx(l+cosx)(0WxW27t)的单调递增区间为［0,?，［争r，2?t|,单调递减区间为阜|

7rL

11.已知函数/12=*2./-1+“*3+凉，且x=—2和*=1是/(x)=0的两根.

⑴。,6的值;

(2处)的单调区间.

解：(1)(x)=ev1(2x+x2)+3ax2+2bx

=xe*T(x+2)+M3ox+2b),

又x=-2和x=l为/(x)=0的两根，

:•/(-2)=r(i)=o,

J-6a+26=0

故有1_3+3a+2b=0'

解方程组得b=-l.

(2)a=­b=—1>

(x)=x(x+2)(ev-1—1),

令/(X)=O得Aj=-2,X2=0,%3=1,

当xG(-2,0)U(L+8)时，/(x)>0；

当xe(—8,-2)U(0,1)时，f(x)<0,

.•./(x)的单调递增区间为(一2,0)和(1,+8),

单调递减区间为(一8,-2)和(0,1).

12.已知函数./)=心一21nx(a20),若函数./(x)在其定义域内为单调函数，求。的取值

范围.

要使函数4)在定义域(0,+8)内为单调函数，

只需/(x)在(0,+8)内恒大于o或恒小于0.

2

当。=0时，/(x)=—QV0在(0,+8)内恒成立；

当”>0时，要使/(*)=“(!一»+〃一恒成立,

.•.〃一解得

综上，4的取值范围为或0=0.

知能优化训练

♦♦同步测控,♦

1.设X。为可导函数质)的极值点，则下列说法正确的是()

A.必有/(xo)=O

B./(xo)不存在

C.，3))=0或/(X。)不存在

D.f(xo)存在但可能不为0

答案：A

2.函数心)=*3+如2+3*—9,已知.")在x=-3时取得极值，贝Ua=()

A.2B.3

C.4D.5

解析：选D,(x)=3x2+2ax+3,

；/(x)在x=-3处取得极值，

:(-3)=0,即27—6a+3=0

：.a=5.

3.j=x3—6x+«的极大值为.

解析：y'=3f—6=0,得当x<一啦或心々i时，y'>0；当一小时,y'<0.

函数在*=一观时，取得极大值。+4啦.

答案：«+4^2

4.求函数Xx)=x+；的极值.

解：函数的定义域是(一8,0)U(0,+8),

/(2=T=^±^，

令/(x)=0,得M=-1,x2=l.

当X变化时，/,J的变化情况如下表:

(0,1

X(―0°,—1)-1(-1,0)1(1,+8)

)

y'+0——0+

y/极大值一2极小值2/

因此，当x=-1时，7有极大值，且y极大值=A—1)=­2,当x=l时，y有极小值，且y极

小值=/(1)=2.

♦♦课时训练♦♦

一、选择题

1.“函数y=/(x)在一点的导数值为0”是“函数尸外)在这点取极值”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不笳分也不必要条件

解析：选B.对于/(x)=*3,/(2=3x2,，(0)=0,不能推出/(X)在x=0处取极值，反之成

立.故选B.

2.下列函数存在极值的是()

A.y=~B.j=x-e'

C.J=X3+X2+2X—3D.j=x3

解析：选B.A中/(*)=—5，令，(x)=0无解，，A中函数无极值.B中/(x)=l—e",

令/(x)=0可得x=0.当x<0时，f(x)>0,当x>0时，

f(x)〈O..\p=/(x)在x=0处取极大值，｛0)=—1.

C中/(x)=3f+2x+2,A=4-24=-20<0.

...y=/(x)无极值.D也无极值.故选B.

3.函数_/(x)的定义域为开区间(a,b),导函数/(x)在(a,与内的图象如图所示，则函数/(*)

在开区间(。，加内的极小值点有()

A.1个