大学高数函数

一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集a

M

,

a

M

,A

{a1

,

a2

,

,

an

}M

{x

x所具有的特征}若x

A,则必x

B,就说A是B的子集.记作A

B.数集分类:N----自然数集Q----有理数集Z----整数集R----实数集数集间的关系:N

Z

,

Z

Q,

Q

R.若A

B,且B

A,就称集合A与B相等.(A

B)例如A

{1,2},C

{

x

x

2

3

x

2

0},不含任何元素的集合称为空集.则A

C

.(记作

)例如,

{

x

x

R,

x

2

1

0}

规定

空集为任何集合的子集.2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.

a,b

R,且a

b.{

x

a

x

b}称为开区间,记作(a,b){

x

a

x

b}称为闭区间,记作[a,b]xo

abxo

ab{

x

a

x

b}{

x

a

x

b}称为半开区间,称为半开区间,[a,

)

{

x

a

x}xo

ao

xb记作[a,b)记作(a,b]有限区间(

,

b)

{

x

x

b}无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:

设a与

是两个实数

,

且

0.0

xaa

a

点a叫做这邻域的中心,

叫做这邻域的半径

.U

(a)

{

x a

x

a

}.

点a的去心的

邻域,

记作U

(a).U

(a)

{

x

0

x

a

}.数集{xx

a

}称为点a的

邻域,注意常量与变量是相对“过程”而言的.4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：通常用字母a,

b,

c等表示常量,用字母x,

y,t等表示变量.

a

0

a a

05.绝对值:

aa

(

a

0)运算性质:ab

a

b

;a

b

a

b

a

b

.x

a

(a

0)x

a

(a

0)

a

x

a;x

a

或x

a;a

a

;b

b绝对值不等式:因变量当x0

D时,称f

(x0

)为函数在点x0处的函数值.函数值全体组成的数集W

{y

y

f

(x),x

D}称为函数的值域.数集D叫做这个函数的定义域自变量y

f

(

x)定义

设x和

y是两个变量,

D是一个给定的数集，如果对于每个数x

D,二、函数概念()x0

)f

(

x0

)自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.(

xyDW约定:

定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.1

x2例如，

y

1

x2例如，

y

1D

:

[

1,1]D

:

(

1,1)定义:

点集C

{(

x,

y)

y

f

(

x),

x

D}

称为函数y

f

(

x)的图形.oxy(

x,

y)yWxD如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．例如，x

2

y2

a2(1)

符号函数y

sgn

x

0

1

当x

0

当x

0

1

当x

0几个特殊的函数举例xy1o-1x

sgn

x

x(2)

取整函数y=[x]-24321-3-4xy-4-3-2-1

o

-11

2

3

4

5阶梯曲线[x]表示不超过x

的最大整数

0y

D(

x)

1有理数点无理数点•1x当x是有理数时当x是无理数时yo(3)

狄利克雷函数(4)

取最值函数y

max{

f

(

x),

g(

x)}yf

(

x)og(

x)xoy

min{

f

(

x),

g(

x)}yf

(

x)g(

x)x

2x

1,f

(

x)

2

x

1,

x

0x

0例如,y

2

x

1y

x

2

1在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例1

脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间t(t

0)的函数关系式.解UtoE

2( ,

E

)

(

,0)

当t

[0,

]时,2U

E

2E

t

t;2单三角脉冲信号的电压22

当

t

( ,

]

时,2

U

0

E

0

(t

),

即U

2E

(t

)当t

(

,

)时,U

0.

U

U

(t

)是一个分段函数,其表达式为

0,t

(

,

]2t

(

,

)t

[0,

]22E

t

,

2EU

(t

)

(t

),UtoE

2( ,

E

)

(

,0)2

例2

21

x

2,求函数f

(x

3)的定义域.0

x

1设f

(

x)

1解

0

x

3

1

2 1

x

3

2

f

(

x

3)

1

0

x

1

2 1

x

2

f

(

x)

1

1

3

x

2

2

2

x

1:[

3,

1]故Df三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界M-Myx无界oXx0f

(x)

M

成立,1．函数的有界性:若X

D,

M

0,

x

X

,

有则称函数f

(x)在X上有界.否则称无界.2．函数的单调性:设函数

f

(

x)的定义域为D,

区间I

D,如果对于区间

I

上任意两点

x1及

x2

,

当

x1

x2时,恒有

(1)

f

(

x1

)

f

(

x2

),则称函数f

(x)在区间I上是单调增加的;y

f

(

x

)f

(

x2

)f

(

x1

)xyoIy

f

(

x)f

(

x1

)f

(

x2

)xyoI设函数

f

(

x)的定义域为D,

区间I

D,如果对于区间

I

上任意两点

x1及

x2

,

当

x1

x2时,恒有(2)

f

(

x1

)

f

(

x2

),则称函数f

(x)在区间I上是单调减少的;3．函数的奇偶性:偶函数设D关于原点对称,

对于

x

D,

有f

(

x)

f

(

x)yxf

(

x)y

f

(

x)-x

o

xf

(

x)称f

(x)为偶函数;设D关于原点对称,

对于

x

D,

有f

(

x)

f

(

x)称f

(x)为奇函数;f

(

x)奇函数yxf

(

x)o

x-xy

f

(

x)4．函数的周期性:设函数f

(

x)的定义域为D,

如果存在一个不为零的数l

,

使得对于任一x

D,(

x

l

)

D.

则称f

(

x)为周期函数,

l称为f

(

x)的周期.

且f

(

x

l

)

f

(

x)恒成立.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.2

ll22

3l3l2直接函数

y

f

(

x

)xyoQ(b,

a)P(a,

b)反函数y

(x)直接函数与反函数的图形关于直线y

x对称.四、反函数五、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数思考题21x设

x

0

，函数值f

()

x

1

x，求函数

y

f

(

x) (

x

0)的解析表达式.思考题解答设x1

u则u2uf

u

1

1

1,u

1

1

u2故. (

x

0)x1

1

x2f

(

x)

t

t

1、若f

1

5

2t

2

,则f

(t

)

,f(t

2

1)

.

33

sin

x

,

x

1,

x

2、若

(t

)

,

6

3

则

(

)=

，

(

)=

.3、不等式

x

5

1的区间表示法是

.4、设

y

x

2

,要使

x

U

(

0,

)时，

y

U

(

0,2),须

.练习题一、填空题:二、证明y

lg

x

在(0,

)上的单调性.三、证明任一定义在区间(

a,a

)(a

0)上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.四、设f

(x)是以2为周期的函数，

x

2

,

1

x

0且

f

(

x)

,试在(

,

)上绘出

0, 0

x

1f

(x)的图形.五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数.cx

a六、证明函数y

ax

b

的反函数是其本身.e

x

e

xe

x

e

x七、求

f

(

x)

的反函数，并指出其定义域.2(t

2

1)2一、1、5t

2

,5(t

2

1)

t

23、(4,6)；；

2、1,1；4.

(0,

2].1

x七、

y

ln

1

x

,

(

1,1).练习题答案一、基本初等函数1.幂函数y

x

(

是常数)ox1yy

x

21xy

1y

xy

x(1,1)2.指数函数(a

0,

a

1)y

a

xy

a

xx1y

(

)a(a

1)(0,1)y

e

x3.对数函数(a

0,

a

1)y

log

a

xy

ln

xy

log

1

xay

log

a

x(a

1)(1,0)4.三角函数y

sin

x正弦函数y

sin

xy

cos

x余弦函数y

cos

x正切函数y

tan

xy

tan

x余切函数y

cot

xy

cot

x正割函数y

sec

xy

sec

xy

csc

x余割函数y

csc

x5.反三角函数y

arcsin

x反正弦函数y

arcsin

xy

arccos

x反余弦函数y

arccos

xy

arctan

x反正切函数y

arctan

x幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.反余切函数y

arccot

xy

arccot

x二、复合函数初等函数1.复合函数设y

u,

u

1

x

2

,

y

1

x

2定义:设函数

y

f

(u)的定义域Df

,

而函数u

(

x)的值域为Z

,

若Df

Z

,

则称函数y

f

[

(

x)]为x的复合函数.x

自变量,

u

中间变量,y

因变量,注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;例如

y

arcsin

u,

u

2

x2

;

y

arcsin(2

x

2

)2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.x例如

y

cot

,22y

u,

u

cot

v,

v

x

.2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例1,2

x

1,

x

0

x

2,

x

0,

(

x)

x,

x

1

e

x

,

x

1求f

[

(x)].设f

(x)

解

(

x)

1

(

x)

1f

[

(

x)]

(

x),

e

(

x

)

,10

当

(x)

1时,或x

0,或x

0,

(

x)

x

2

1,

(

x)

x

2

1

1,x

1;0

x

2;20当

(x)

1时,或x

0,

(

x)

x

2

1,

1

1,

1

x

0;x

2;.

1,

x

2

x2

1

x

00

x

2x

1

x

2,2

ex

1

,或

x

0,

(

x)

x

2综上所述

ex

2

,f

[

(x)]

三、双曲函数与反双曲函数2e

x

e

x双曲正弦sinh

x

y

cosh

xy

sinh

xD

:

(

,

),奇函数.2e

x

e

x双曲余弦cosh

x

D

:

(

,

),偶函数.1.双曲函数2y

1

e

x

xy

e21e

x

e

xe

x

e

x

coshxsinh

x双曲正切tanh

x

奇函数,D

:

(

,

)有界函数,双曲函数常用公式sinh(

x

y)

sinh

x

cosh

y

cosh

x

sinh

y

;cosh(

x

y)

cosh

x

cosh

y

sinh

x

sinh

y

;cosh2

x

sinh

2

x

1;sinh

2

x

2

sinh

x

cosh

x

;cosh

2

x

cosh2

x

sinh

2

x.2.反双曲函数D

:

(

,

)奇函数,在(

,

)内单调增加.x

2

ln(

x

1).反双曲正弦y

arsinh

x

;y

arsinh

xy

ar

sinh

x在[1,

)内单调增加.

1).x2

ln(

x

D

:[1,

)y

arcosh

x反双曲余弦y

arcosh

xy

ar

cosh

x

1

ln

1

x

.2 1

xD

:

(

1,1)奇函数,在(

1,1)内单调增加.y

artanh

x反双曲正切y

ar

tanh

xy

artanh

x四、小结函数的分类:函数初等函数代数函数有理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)无理函数超越函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)思考题下列函数能否复合为函数y

f

[

g(

x)]，若能，写出其解析式、定义域、值域．y

f

(u)

u,y

f

(u)

ln

u,u

g(

x)

x

x2u

g(

x)

sin

x

1思考题解答(1)

y

f

[

g(

x)]

x

x2x

D

{

x

|

0

x

1},21f

(

D)

[0,

]不能．(2)

g(

x)

sin

x

1

0g(x)的值域与f

(u)的定义域之交集是空集.一、填空题:1、幂函数，指数函数， 对数函数，三角函数和反三角函数统称

.2、函数f

(x)的定义域为[1

，3]，则函数f

(ln

x)的定义域为

.3、由函数y

eu，u

x

2

复合而成的函数为

.4、函数

y

sin

ln

2

x

由

复合而成

.5、若f

(

x)

的定义域为[0

，1

]，则

f（x

2）的定义域为

，f(sin

x)

的定义域为

，f

(

x

a)(a

0)

的定义域为

_，f

(

x

a)

f

(

x

a)

(a

0)

的定义域为

.练

习

题二、应用图形的“叠加”作函数y

x

sin

x

的图形.x

1，x

10，x

1

，g(

x)

e

，

1，x

1三、设f

(x)

求f

[g(x)]，g[f

(x)]，并作出它们的图形.四、火车站行李收费规定如下：20

千克以下不计费，

20～50

千克每千克收费0.20

元，超出50

千克超

出部分每千克0.30

元，试建立行李收费f

(x)(元)于行李重量x

(千克)之间的函数关系，并作出图形.一、1、基本初等函数；2、[e,e

3

]；x

23、y

e

； 4、y

sin

u,

u

ln

v,

v

2

x

；5、[-1,1],[2k

,2k

],[

a,1

a],

122a

[a,1

a] 0

a

1

.

1,

x

1

1,

x

0三、f

[g(x)]

0,x

0；

1,

x

1

e

e,

x

1g[

f

(

x)]

,

x

1

1

.练习题答案

10

0.3(

x

50),

x

50

0

x

20四、y

0.2

x,20

x

501、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”播放——刘徽一、概念的引入R正六边形的面积A1正十二边形的面积A2

正6

2n

1

形的面积AnA1

,

A2

,

A3

,

,

An

,

S2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”21第一天截下的杖长为

X

1

;2222第二天截下的杖长总和为

X

1

1

;

222

2nn第n天截下的杖长总和为

X

1

1

1

;n2nX

1

1

1二、数列的定义定义:按自然数1,2,3,

编号依次排列的一列数x1

,

x2

,

,

xn

,

(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,xn

称为通项(一般项).数列(1)记为{xn

}.例如2,4,8,

,2n

,

;2

4

81

,

1

,

1

,

,

1

,

;2n{2n

}{

1

}2n注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取x1

,x2

,

,xn

,

.x2

x4x3

x1

xn2.数列是整标函数

xn

f

(n).1,

1,1,

,

(

1)n

1

,

;{(

1)n

1

}2,

,

,

,1

4

n

(

1)n

1},

;

{n

(

1)n

12

3

n

n3, 3

3,

, 3

3

3

,

观察数列{1

}当n

时的变化趋势.n(

1)n

1播放三、数列的极限问题:

当

n

无限增大时,

xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?无限接近于1.n(

1)n

1当n

无限增大时,xn

1

问题:

“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.n

x

1

(

1)n

1

1

1n

n通过上面演示实验的观察:1001

,n给定

1

,

由

1

1

,

只要

n

100时,

有

x

1

100

n

10010001给定

,只要n

1000时,,100001n有

x

1

,100001给定只要n

10000时,,10001n有

x

1

[

])时,给定

0,

只要

n

N

(

1n有

x

1

成立.定义

如果对于任意给定的正数

(不论它多么小),总存在正数N

,使得对于n

N

时的一切xn

,不等式xn

a

都成立,那末就称常数a

是数列

xn

的极限,或者称数列xn

收敛于a

,记为n

a

(n

).lim

xn

a,

或xn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：1.不等式

xn

a

刻划了xn与a的无限接近;2.N与任意给定的正数

有关.xx2

x1x

N

1x3几何解释:a

a

x

N

22

a当n

N时,

所有的点

xn都落在(a

,

a

)内,只有有限个(至多只有N个)落在其外.其中

:

每一个或任给的;

:

至少有一个或存在.

N定义:

lim

xn

a

n

0,

N

0,

使n

N时,

恒有

xn

a

.

1.nn

(

1)n

1n

例1

证明lim证nx

1n

n

(

1)n

1n

1

1n任给

0,

要

xn

1

,

只要1

,

或n

1

,[

],所以,

取N

1则当n

N时,

1

nn

(

1)n

1就有

1.nn

(

1)n

1n

即lim注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.例2设xn

C

(C为常数),

证明lim

xn

C

.证xn所以,

C

C

C

0

成立,n

任给

0,对于一切自然数n

,lim

xn

C

.n

说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定

0,寻找N,但不必要求最小的N.例3证明lim

qn

0,

其中q

1.xn

0

q

,

n

ln

q

ln

,nln

q取N

[

ln

],则当n

N时,就有qn

0

,n

lim

qn

0.n

证

任给

0,

若q

0,则lim

qn

lim

0

0;n

n

若0

q

1,ln

q

n

ln

,例4n

求证

lim

xn

a

.设xn

0,且lim

xn

a

0,证n

任给

0,故lim

xn

a.n

n

lim

xn

a,

N使得当n

N时恒有

xn

a

1

,nnx

xn

a从而有

x

a

aa

axn

a

1

四、数列极限的性质1.有界性定义:

对数列xn

,

若存在正数M

,

使得一切自然数n,

恒有

xn

M

成立,

则称数列xn

有界,否则,

称为无界.

n

1nn例如,数列xn数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间[

M

,M

]上.;有界数列

x

2n

.无界定理1

收敛的数列必定有界.n

证

由定义,设

lim

xn

a,

取

1,则

N

,

使得当n

N时恒有

xn

a

1,即有a

1

xn

a

1.记

M

max{

x1

,

,

x

N

,

a

1

,

a

1

},则对一切自然数n,皆有

xn

M

,故

xn

有界.注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论

无界数列必定发散.2.唯一性定理2

每个收敛的数列只有一个极限.证

设

lim

xn

a,

又lim

xn

b,

由定义,n

n

a

;

0,

N1

,N

2

.使得当n

N1时恒有xn当n

N

2时恒有

xn

b

;

取N

max

N1

,

N

2

,则当n

N时有a

b

(xn

b)

(xn

a)

xn

b

xn

a

2

.上式仅当a

b时才能成立.故收敛数列极限唯一.例5n

1证明数列xn

(

1)

是发散的.证nn

设

lim

x

a,2由定义,

对于

1

,则

N

,

使得当n

N时,

有

x

a

1

成立,n2

2n即当n

N时,

x

(a

1

,

a

1),2区间长度为1.而xn无休止地反复取1,

1两个数,不可能同时位于长度为1的区间内.事实上,{xn

}是有界的,但却发散.3.(收敛数列与其子数列间的关系)

如果数列{xn

}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性.n

思考题

指出下列证明lim

n

n

1中的错误。证明

要使n

n

1

,只要使1

ln

n

ln(1

)n从而由1

ln(1

)

ln(1

)n得

0,ln

2

1

ln(1

)

ln

n

ln

2取N

n

当

n

N

时，必有

0

n

n

1

成立

lim

n

n

1思考题解答

n

n

1

n1

ln

n

ln(1

)（等价）证明中所采用的1

ln(1

)

ln(1

)n

ln

n

ln

2实际上就是不等式ln

2

ln

n

ln(1

)n

n即证明中没有采用“适当放大”的值nln

n仅有ln

2

ln(1

)成立，n但不是

ln

n

ln(1

)

的充分条件．nn从而

n

N

ln(1

)

时，ln

2反而缩小为ln

2一、利用数列极限的定义证明:n

2n

1

21、lim

3n

1

3

；2、lim0.999....9

1n

二、设数列xnn

有界，又lim

yn

0，n

证明：lim

xn

yn

0.练习题1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入观察数列{1

}当n

时的变化趋势.n(

1)n

1三、数列的极限观察数列{1

}当n

时的变化趋势.n(

1)n

1三、数列的极限观察数列{1

}当n

时的变化趋势.n(

1)n

1三、数列的极限观察数列{1

}当n

时的变化趋势.n(

1)n

1三、数列的极限观察数列{1

}当n

时的变化趋势.n(

1)n

1三、数列的极限观察数列{1

}当n

时的变化趋势.n(

1)n

1三、数列的极限观察数列{1

}当n

时的变化趋势.n(

1)n

1三、数列的极限观察数列{1

}当n

时的变化趋势.n(

1)n

1三、数列的极限观察数列{1

}当n

时的变化趋势.n(

1)n

1三、数列的极限观察数列{1

}当n

时的变化趋势.n(

1)n

1三、数列的极限观察数列{1

}当n

时的变化趋势.n(

1)n

1三、数列的极限观察数列{1

}当n

时的变化趋势.n(

1)n

1三、数列的极限观察数列{1

}当n

时的变化趋势.n(

1)n

1三、数列的极限x观察函数sin

x

当x

时的变化趋势.播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限问题:函数

y

f

(

x)在x

的过程中,

对应函数值

f

(

x)无限趋近于确定值

A.f

(x)

A

表示f

(x)

A

任意小;x

X

表示x

的过程.当

x

无限增大时,

f

(

x)

sin

x

无限接近于

0.通过上面演示实验的观察:x问题:

如何用数学语言刻划函数“无限接近”.定义

1

如果对于任意给定的正数

(不论它多么小),总存在着正数X

,使得对于适合不等式

x

X

的一切x,所对应的函数值

f

(

x)都满足不等式

f

(

x)

A

,那末常数A就叫函数

f

(

x)当x

时的极限,记作lim

f

(

x)

A

或

f

(

x)

A(当x

)x

1.定义:"

X

"定义

0,

X

0,

使当

x

X时,

恒有

f

(

x)

A

.x

lim

f

(

x)

A

10

.x

情形:

0,

X

0,使当x

X时,恒有f

(x)

A

.20

.x

情形:x

lim

f

(

x)

Ax

lim

f

(

x)

A2.另两种情形:x

x

x

0,

X

0,使当x

X时,恒有f

(x)

A

.定理:

lim

f

(

x)

A

lim

f

(

x)

A且lim

f

(

x)

A.3.几何解释:

XX当x

X或x

X时,

函数

y

f

(

x)图形完全落在以直线y

A为中心线,

宽为2

的带形区域内.y

sin

xx

Axsin

xy

xx

例1

证明lim

sin

x

0.证x

xx

sin

x

0

sin

x

1X

1

,

0,

取

X

1

,则当

x

X时恒有xsin

x

0

,xx

故lim

sin

x

0.定义:

如果lim

f

(

x)

c,则直线

y

c是函数y

f

(

x)x

的图形的水平渐近线.二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:函数

y

f

(

x)在

x

x0

的过程中,对应函数值

f

(

x)无限趋近于确定值

A.xx0x0

f

(

x)

A

表示

f

(

x)

A

任意小;0

x

x0

表示x

x0的过程.

x0

点x0的去心

邻域,

体现x接近x0程度.定义

2

如果对于任意给定的正数

(不论它多么小),总存在正数

,使得对于适合不等式0

x

x0

的一切x

,对应的函数值f

(x)都x

x0满足不等式f

(x)

A

,那末常数A就叫函数f

(x)当x

x0时的极限,记作lim

f

(

x)

A

或

f

(

x)

A(当x

x0

)1.

定义:"

"定义

0,

0,

使当0

x

x0

时,恒有f

(x)

A

.y

f

(

x)A

AA

x0

x0

x0

xyo2.几何解释:当x在x0的去心

邻域时,函数y

f

(x)图形完全落在以直线y

A为中心线,宽为2

的带形区域内.注意：1.函数极限与f

(x

)在点x0是否有定义无关;2.

与任意给定的正数

有关.显然,找到一个

后,

越小越好.例2证明lim

C

C

,(C为常数).x

x0f

(

x)

A

C

C

0

成立,

limC

C

.x

x0证

任给

0,

任取

0,当0

x

x0

时,例3x

x0证明

lim

x

x0

.任给

0,取

,证

f

(

x)

A

x

x0

,当0

x

x0

时,f

(

x)

A

x

x0

成立,

lim

x

x0

.x

x0例4

2.

1x

1x

2x

1证明lim证

1x

2

f

(

x)

A

任给

0,只要取

,当0

x

x0函数在点x=1处没有定义.x

1

2

x

1要使f

(x)

A

,

2

,

1x

1x

2

时,

就有

2.

1

limx

1x

2x

1

limx

x00x0

},当0

x

x00证

f

(

x)

A

x

x

x

x0

,

时,

就有x

x0

.,0x

x

x0任给

0,

要使

f

(

x)

A

,只要

x

x0

x0

且不取负值.

取

min{

x0

,x

x0

.x

x0x

xx

x0例5

证明:

当x0

0时,

lim3.单侧极限:例如,2

x

0x

1,

x

0证明lim

f

(x)

1.设f

(x)

1

x,x

0分x

0和x

0两种情况分别讨论x从左侧无限趋近x0

,

记作x

x0

0;x从右侧无限趋近x0

,

记作x

x0

0;ox1yy

1

xy

x

2

1左极限

0,

0,使当x0

x

x0时,右极限

0,

0,

使当x0

x

x0

时,恒有f

(x)

A

.

{

x

0

x

x0

}

∪

{

x

x

x0

0}0(

x

x

)恒有f

(x)

A

.记作

lim

f

(

x)

A

或

f

(

x0

0)

A.x

x0

00注意:{

x

0

x

x0

}(

x

x

)记作

lim

f

(

x)

A

或

f

(

x0

0)

A.x

x0

0

0)

A.

0)

f

(

x0x

x0定理:

lim

f

(

x)

A

f

(

x0xx

0yx1

1oxx

0x

0

xlim

x

lim

xx

0左右极限存在但不相等,

lim

f

(

x)

不存在.例6

验证

lim

x

不存在.证

lim

(

1)

1x

0xx

0

x

x

0lim

x

lim

x

lim

1

1x

0三、函数极限的性质有界性定理

若在某个过程下,

f

(

x)

有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后

f

(

x)有界.唯一性定理 若lim

f

(

x)存在,则极限唯一.推论则

0,

x

U

0

(

x

,

),有f

(

x)

g(

x).0设lim

f

(

x)

A,

lim

g(

x)

B,且A

Bx

x0

x

x03.不等式性质定理(保序性)若

0,

x

U

0

(

x

,

),有f

(

x)

g(

x),则A

B.0设lim

f

(

x)

A,

lim

g(

x)

B.x

x0

x

x0x

x0则

0,当x

U

0

(

x

,

)时,

f

(

x)

0(或f

(

x)

0).0若lim

f

(

x)

A,且A

0(或A

0),定理(保号性)0x

x0f

(x)

0(或f

(x)

0),则A

0(或A

0).若lim

f

(

x)

A,且

0,当x

U

0

(

x

,

)时,推论4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)设在过程x

a(a可以是x

,

x

,或x

)中0

0

0有数列xn

(

a),使得n

时xn

a.则称数列

f

(xn

)

,即f

(x1

),f

(x2

),

,f

(xn

),

为函数f

(x)当x

a时的子列.定义n

x

a时的一个子列,则有lim

f

(xn

)

A.若lim

f

(x)

A,数列f

(xn

)是f

(x)当x

a定理

时,恒有

0,

0,

使当0

x

x0证

lim

f

(

x)

Ax

x0x

对上述

0,

N

0,

使当n

N时,

恒有0

xn

x0

.从而有

f

(

xn

)

A

,

故

lim

f

(

xn

)

A.n

f

(

x)

A

.又

lim

xn

x0

且

xn

x0

,xsin

xy

1xsin

x例如,

limx

0nlim

n

sin

1

1,n

1nlim

n

sin

1,n

lim

sin2

1nn

1n2n

n

1函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.1xy

sin例7证明lim

sin

1

不存在.xx

0证

n

n取

x

1

,n

lim

xn

0,21

,

且xn

0;

4n

1n取

x

0,n

lim

xn且x

n

0;xnn

n

2n

x

nn

而limsin

1

limsin

4n

1

lim1

1,n

二者不相等,

故limsin

1

不存在.xx

0而limsin

1

limsin

n

0,四、小结函数极限的统一定义lim

f

(n)

A;n

lim

f

(

x)

A;x

lim

f

(

x)

A;x

lim

f

(

x)

A;x

lim

f

(

x)

A;0

0lim

f

(

x)

A;x

x

x

x

0lim

f

(

x)

A.x

x

恒有f

(x)

A

.lim

f

(x)

A

0,

时刻,从此时刻以后,(见下表)过

程n

x

x

x

时

刻N从此时刻以后n

Nx

Nx

Nx

Nf

(

x)f

(

x)

A

过

程x

x0x

x

0x

x

0时

刻

从此时刻以后0

x

x0

0

x

x0

x

x0

0f

(

x)f

(

x)

A

思考题

1

5

x

2

,

x

0

x

sin

x

,试问函数f

(x)

10,

x

0x

0

在x

0

处的左、右极限是否存在？当x

0时，f

(x)的极限是否存在？思考题解答x

0

lim

f

(

x)

lim

(5

x2

)

5,x

0

左极限存在,x

0

xlim

f

(

x)

lim

x

sin

1

0,x

0

右极限存在,

lim

f

(

x)

lim

f

(

x)x

0

x

0

x

0

lim

f

(

x)不存在.

3

1x

2x

2

1，问当

z

取

2、当x

时，y

y

4

0.001

.只要

0

x

2

，必有时，只要

x

z，必有

y

1

0.01

.二、用函数极限的定义证明2

2x2

x

11

4

x

2x

x

12、lim

sin

x

01、lim练习题一、填空题:1、当

x

2

时，y

x

2

4，问当

取

时三、试证:函数f

(x)当x

x0

时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.在x

0

时的极限是否xx四、讨论：函数

(x)

存在?2、397

.一、1、0.0002；四、不存在.练习题答案x观察函数sin

x

当x

时的变化趋势.一、自变量趋向无穷大时函数的极限x观察函数sin

x

当x

时的变化趋势.一、自变量趋向无穷大时函数的极限x观察函数sin

x

当x

时的变化趋势.一、自变量趋向无穷大时函数的极限x观察函数sin

x

当x

时的变化趋势.一、自变量趋向无穷大时函数的极限x观察函数sin

x

当x

时的变化趋势.一、自变量趋向无穷大时函数的极限x观察函数sin

x

当x

时的变化趋势.一、自变量趋向无穷大时函数的极限x观察函数sin

x

当x

时的变化趋势.一、自变量趋向无穷大时函数的极限x观察函数sin

x

当x

时的变化趋势.一、自变量趋向无穷大时函数的极限x观察函数sin

x

当x

时的变化趋势.一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、无穷小f

(x)都满足不等式f

(

x)

,那末称函数f

(x)当x

x0

(或x

)时为无穷小记作lim

f

(

x)

0

(或lim

f

(

x)

0).x

x0

x

1.定义:极限为零的变量称为无穷小.定义1如果对于任意给定的正数

(不论它多么小),总存在正数

(或正数X

),使得对于适合不等式

0

x

x0

(或x

X

)的一切x

,对应的函数值例如,x

0

limsin

x

0,

函数sin

x是当x

0时的无穷小.x

x

lim

1

0,1

函数 是当x

时的无穷小.xn(

1)nn

lim数列{

0

,}是当n

时的无穷小.n(

1)n注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系:x

x0设

lim

f

(

x)

A,

令

(

x)

f

(

x)

A,x

x0则有lim

(x)

0,

f

(

x)

A

(