河北省沧州市沧州部分高中2024届高三上学期期中数学试题含答案

数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.3.等比数列中，每项均为正数，且，则等于（）A.5 B.10 C.20 D.404.已知函数是定义在上的单调函数，若对任意，都有，则（）A.9 B.15 C.17 D.335.已知是偶函数，且对任意，，，设，，，则（）A. B. C. D.6.如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数的一个对称中心为，若函数在上单调递减，则可取（）A. B. C.1 D.2二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（）A.若，则一定是等边三角形B.若，则一定是等腰三角形C.“”是“成立”的充要条件D.若，则一定是锐角三角形10.若函数，则（）A. B.有两个极值点C.曲线的切线的斜率可以为 D.点是曲线的对称中心11.已知函数与的定义域均为，，分别为，的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.12.已知函数，则（）A.是的极大值点B.有且只有1个零点C.存在正实数，使得对于任意成立D.若，，则第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知是定义在上的可导函数，若，则______.14.已知等比数列的前n项和（其中，），则的最小值是______.15.定义在上的可导函数满足：且，则的解集为______.16.已知函数，若任意，存在，满足，则实数t的取值范围是______.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最大值、最小值.18.（12分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，且.（1）求角A的大小；（2）求边中线长的最小值.19.（12分）已知数列满足：.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.20.（12分）已知函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）当时，恒成立，求整数a的最大值.21.（12分）已知函数有两个不同的零点，.（1）求的取值范围；（2）若，求m的取值范围.22.（12分）已知函数.（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；（2）设数列，其前n项和为，证明：.参考答案及解析一、选择题1.C2.A3.C4.C5.B6.C7.B8.A二、选择题9.AC10.BD11.ACD12.BD三、填空题13.14.415.16.四、解答题17.解：（1）易知的定义域为，可得，（2分）当时，，单调递减，当时，，单调递增，（4分）所以在上单调递减，在上单调递增.（5分）（2）由（1）知在上单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为，故在区间上的最大值为，最小值为.（10分）18.解：（1）因为，所以由余弦定理得，即，（2分）由正弦定理得，（3分）因为，所以，所以，即，（5分）又，所以.（2）由（1）知，，因为的面积为，所以，解得.（8分）由平面向量可知，所以，当且仅当时取等号，故边中线长的最小值为.（12分）19.解：（1）当时，，当时，，①，②得，所以，（4分）当时，满足通项公式，所以，.（6分）（2），，.（12分）20.解：（1）若，则，，则切点坐标为，（2分），则切线斜率，（3分）所以切线方程为，即.（4分）（2）由，得，当时，，；（5分）当时，.设，，（6分）设，，则在内单调递增，，，所以存在，使得，即.（8分）当时，，即；当时，，即，则在内单调递减，在内单调递增，，（10分）所以，因为，所以，所以整数的最大值为4.（12分）21.解：（1）的定义域为.令，得，令，则，令，可得，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.（4分）当x趋近于0时，y趋近于，当x趋近于时，y趋近于，所以m的取值范围为.（6分）（2），，两式相减得，令，则，故，.（7分）记，，则，构造函数，，所以当时，，单调递减，由于，所以当时，，所以，所以函数在区间上单调递减，故，即，（10分）而，在区间上单调递减，故，即m的取值范围为.（12分）22.（1）解：因为，故可得.当时，方程的，故因式在区间内恒为负数，故当时，恒成立，故单调递减.又，故在时恒成立，满足题意；（2分）当时，方程有两个不相等的实数根，且，故在区间内恒成立，此时单调递增，又，故在恒成立，不满足题