九年级数学人教版（上册）第21章 小结与复习

第二十一章一元二次方程小结与复习目录页考点精讲课堂小结当堂练习要点梳理要点梳理教学目标教学重点要点梳理要点梳理一、一元二次方程的基本概念1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)3.项数和系数：

ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)一次项：ax2

一次项系数：a二次项：bx二次项系数：b常数项：c4.注意事项：(1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程．

二、解一元二次方程的方法一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝0各种一元二次方程的解法及使用类型三、一元二次方程在生活中的应用列方程解应用题的一般步骤：审设列解检答（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．考点精讲典例精讲归纳总结考点精讲考点精讲例1

下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x2-x（x+3）=0 B．ax2+bx+c=0C．x2-2x-3=0 D．x2-2y-1=0解析

A.将方程化简后，为一次方程；B.未限定二次项系数a不为0；D.含有两个未知数，只有C符合一元二次方程的定义，故选C.1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是

，一次项系数是

，常数项是

.4-20针对训练C考点1一元二次方程的有关概念解析根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.例2

若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，则m=

.【易错提示】求出m值有两个1和-1，由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意.-12.

（1）一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为

.（2）若x=-2是方程ax2+bx+3=0（a≠0）的一个解，则代数式1-8a+4b的值是

．（3）若x=a是方程x2-x-1=0的一个根，则-a3+2a+2020的值为_________.-120197针对训练解析

(1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；(2)先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边长，进而求得三角形周长．【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；(a-b)2与(a+b)2要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否构成三角形的好习惯.例3

(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（）A.(x-1)2=6B.(x+2)2=9C.(x+1)2=6D.(x-2)2=9(2)(易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（）

A.13B.15C.18D.13或18AA考点2一元二次方程的解法3.解方程：(1)x2-4x-1=0;针对训练(1)x2-4x-1=0;(2)(2x-1)2=(3-x)2;直接开方法：2x-1=±(3-x)，即2x-1=3-x或2x-1=-3+x，所以x1=，x2=-2．因式分解法：移项得(2x-1)2-(3-x)2=0.分解因式，得(2x-1-3+x)(2x-1+3-x)=0.即3x-4=0，或x+2=0.所以x1=，x2=-2．拓展：(x2-2x)2-5x2+10x+6=0．解：方程整理得(x2-2x)2-5(x2-2x)+6=0，设x2-2x=m，则原方程变为m2-5m+6=0，换元法解得m1=3，m2=2，当m=3时，x2-2x=3，解得x=3或-1，当m=2，x2-2x=2，解得x=1±，所以，原方程的解为x1=3，x2=-1，x3=1+，x4=1-．例4

已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.B.m<2C.m≥0D.m<0A【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a,b,c的值.解析

根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式>0,即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得,故选A.Δ考点3

一元二次方程的根的判别式的应用4.下列所给方程中，没有实数根的是（）A.x2+x=0B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0D.4x2-5x+2=05.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是

（写出一个即可）．D0针对训练例5

已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝

．25解析根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3.m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25.故填25.【重要变形】考点4一元二次方程的根与系数的关系

6.

已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等于（）A.7B.-2C.D.A针对训练

例6

某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.

(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？解析

本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.考点5一元二次方程的应用单件利润销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售432x-2032-2(x-24)150其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.解：（1）32-(x-24)×2=80-2x;（2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.解得

x1=25,x2=35.由题意x≤28,∴x=25,即售价应当为25元.【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.128例7

菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得

5（1-x)2=3.2

解得x1=1.8(舍去）,x2=0.2=20%.答：平均每次下调的百分率是20%.7.2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．针对训练（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；即a的值是25.解：由题意得256(1+a%)2=400，解得a1=25，a2=-225(舍去)，即2、3这两个月的月平均增长率为25%，（2）若农产品礼包进价为每包25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？答：当农产品每袋降价4元时，该农产品在4月份可获利4620元．解：设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元．根据题意可得(40-25-m)(400+5m)=4620，解得m1=4，m2=-69(舍去)，当堂练习练习反馈即学即用1.方程(2x＋1)(x－3)=x2+1化成一般形式为

，

二次项系数、一次项系数和常数项分别是

.2.用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的

是（

）A.x2－2x=5B.2x2－4x=5C.x2+4x=5D.x2+2x=5x2-5x-4=01，-5，-4C当堂练习3.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72

张，则这个小组共有（

）A.12人B.18人C.9人D.10人4.某超市一月份的营业额为200万元,一、二、三月份的

总营业额为1000万元,设平均每月营业额的增长率为x,

则由题意列方程为（

）A.200+200×2x=1000B.200(1+x)2=1000C.200+200×3x=1000D.200［1+(1+x)+(1+x)2］=1000CDx2－2x=0；

x2－2x+2=0.解：分解因式得：

x(x-2)=0

x=0或x-2=0

x1=0,x2=2解：x2-2x+1=-1(x-1)2=-1方程无解5.解下列方程：6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析，若以每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单