九年级数学人教版（上册）22.1.2二次函数y=ax²的图象与性质课件

22.1.2二次函数y=ax2的图象与性质

1.二次函数的定义

一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.2、一次函数的图象是一条

。当

时，y随x的增大而增大；当

时，y随x的增大而减小。直线k>0k<03.画一次函数图象的基本步骤是：

、

、

。

列表

描点

连线学习目标（1分钟）1.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，并概括出图象的特点.2.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用.自学指导一（10分钟）阅读课本P29-P30，1、画出二次函数y=x2和y=-x2的图象；2、观察y=x2和y=-x2的图象，思考图象的特征。(观察图象的形状，开口方向，对称性，增减性，与x轴交点，最小值）x…-3-2-10123…y=x2…

…

9410194（1）

列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：1、作二次函数y=x2的图象（-3,9）（-2,4）（-1,1）(0,0)（1,1）（2,4）（3,9）…24-2-4o369xy（2）描点：（3）连线：在连接时必须用光滑的曲线；在连接时必须依次连接；画图时要体现图形的无限延伸性。y=x2

二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.（-3,9）（-2,4）（-1,1）(0,0)（1,1）（2,4）（3,9）…24-2-4o369xy对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.y=x21.y＝x2是一条抛物线;2.开口向上；

3.图象关于y轴(直线x=0)对称;4.图象有最低点，即顶点（0,0）5.最小值为0，即当x=0时，y=06.x＜0时，y随x增大而减小；x＞0时，y随x增大而增大。

思考：说说你发现的y=x²图象的性质(观察图象的形状，开口方向，对称性，与x轴交点及最小值，增减性）作二次函数y=-x2的图象.y24-2-40-3-6-9xx…-3-2-10123…y=-x2…-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

…

图象特点：1.y＝-x2是一条

;2.开口

；

3.图象关于

对称;4.顶点为

，图象有最

点;5.X＜0时，y随x增大而

；X＞0时，y随x增大而

。抛物线向下减小增大（0,0）y轴（直线x=0）高y＝ax2a>0例：y=x²a<0例：y=-x²图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方关于y轴对称，对称轴是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减yOxyOx归纳二次函数y=ax2图象的特点：抛物线y=x2与y=-x2有什么关系？1、二次项系数互为相反数；2、开口相反；3、大小相同，4、它们关于x轴对称.xyOy=x2y=-x2点拨运用（2分钟）适用于抛物线y=mx2与y=-mx2吗？（m＞0）自学检测一（5分钟）2、函数y=－3x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

，顶点是抛物线的最

点1、函数y=4x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

;

向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)高3、已知y=(m+1)x

是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式m2+m3、已知y=(m+1)x

是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式m2+m解:依题意有:m+1>0①m2+m=2②解②得:m1=－2,m2=1由①得:m>－1∴m=1此时,二次函数为:y=2x2.分别在两个直角坐标系中，画出下列两组函数的图象．并观察与函数y=x²的相同点和不同点。

自学指导二（3分钟）解：分别填表，画出（1）组函数的图象，如图x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········820.5084.520.54.54.5820.5084.520.5xyO

－222464－48x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5xyO－22－2－4－64－4－8分别填表，画出（2）组函数的图象，如图观察下图，说说开口大小与a的大小有什么关系？对于抛物线

y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越

．小当a>0时，a越大，开口越小.当a＜0时，a越大，开口越大.1．把图中图象的序号填在与它相应的函数表达式后面．(1)y＝－2x2的图象是

；(2)y＝

x2的图象是

；(3)y＝x2的图象是

；(4)y＝－

x2的图象是

.③②①④自学检测二（3分钟）对于抛物线

y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．课堂小结（1分钟）y＝ax2a＞0a＜0图象开口对称性顶点增减性开口向上开口向下|a|越大，开口越小关于y轴对称顶点坐标是原点（0，0）顶点是最低点顶点是最高点OOx<0时，y随着x的增大而减小x>0时，y随着x的增大而增大x<0时，y随着x的增大而增大x>0时，y随着x的增大而减小当堂训练（15分钟）1、如右图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是

.xyk>1O2.关于抛物线y=x²和y=-x²的异同点，下列说法中错误的是（）A.抛物线y=x²和y=-x²都有相同的对称轴y轴B.抛物线y=x²和y=-x²关于x轴和y轴对称C.抛物线y=x²和y=-x²的开口方向相反D.点（-1,1）既在抛物线y=x²上，又在抛物线y=-x²上D

3.若抛物线y=ax2（a≠0），过点（-1，2）.

（1）则a的值是

；

（2）对称轴是

，开口

.

（3）顶点坐标是

，顶点是抛物线上的最

值.抛物线在x轴的

方（除顶点外）.(4)若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0,

则y1

y2.2y轴向上（0,0）小上>4.

已知二次函数y＝2x2.(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和为

．<165、已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．解：由题意得解得所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.∴S△ACO＝·CO·4＝8，S△BOC＝×4×1＝2，∴