八年级数学人教版（上册）12.3 第2课时 角平分线的判定

第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质第2课时

角平分线的判定目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点学习目标1.理解角平分线判定定理.(难点）2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.（重点）3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.新课导入ODPP到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点几何语言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴

PD=PE.ACB角的平分线上的点到角的两边的距离相等.1.叙述角平分线的性质定理不必再证全等E复习回顾新课导入2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.讲授新课典例精讲归纳总结讲授新课1角平分线的判定PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE几何语言：猜想:思考：这个结论正确吗？讲授新课已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.证明：作射线OP，∴点P在∠AOB

角的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的对应角相等）.

OP=OP（公共边），PD=PE（已知），∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOPBADOPE证明猜想判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.总结

如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求.O方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.例1

如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于

点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.

导引：要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，

即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成．例2证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.

在△BDE和△CDF中，

∠BDE＝∠CDF∠DEB＝∠DFCBE＝CF∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.

又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴AD平分∠BAC.练一练如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(

)A．线段CD的中点B．CD与过点O作CD的

垂线的交点C．CD与∠AOB的平分线的交点D．以上均不对C总结证明角平分线的“两种方法”(1)定义法：应用角平分线的定义.(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定.判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.2三角形的内角平分线活动1分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？发现：三角形的三条角平分线相交于一点活动2分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等你能证明这个结论吗？已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

证明结论想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在∠A的平分线上.

结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.这个交点叫作三角形的内心.D

E

F

A

B

C

P

N

M

练一练到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(

)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点

D．以上均不对

BMENABCPOD变式：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求点O到△ABC三边的距离和.温馨提示：不存在垂线段———构造应用答案：12解：连接OCMENABCPOD变式：如图，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.1、应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2、联系角平分线性质：距离面积周长条件知识与方法

如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为()A．110°B．120°C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.例3方法总结：由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．角的平分线的性质图形已知条件结论OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPCOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于EPC角的平分线的判定归纳总结当堂练习当堂反馈即学即用当堂练习1、在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是()A．点MB．点NC．点PD．点QA2、如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是(

)A．AF平分BCB．AF平分∠BACC．AF⊥BC

D．以上结论都正确B当堂练习3、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P(

)A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的平分线D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)D当堂练习4、如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝______________.4∶5∶6当堂练习5、如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．证明：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，

∴点D在∠EPF的平分线上．

∴∠1＝∠2．

又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．

同理，∠2＝∠4．

∴∠3＝∠4，

∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

当堂练习6、如图，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC.证明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分别为Q，M，N.∵P点在∠CBE和∠BCF的平分线上，

∴PM=PQ，PN=PQ，

∴PM=PN.NQM

又PM⊥AE，PN⊥AF，

∴AP平分∠BAC.当堂练习7、已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.证明：∵OD平分线∠POQ，∴∠AOD=∠BOD.

在△AOD与△BOD中，

∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，

∴△AOD≌△BOD.

∴∠ADO=∠BDO.

∵CM⊥A