辽宁省沈阳市郊联体2025届高三数学上学期期末考试试题理含解析

PAGE21-辽宁省沈阳市郊联体2025届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）第I卷选择题（共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，则复数的虚部是（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】因为,所以的虚部是，故选B.2.已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为2，则此直线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得直线的斜率和截距，由斜截式可得答案．【详解】解：∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为k＝tan45°＝1，由斜截式可得方程为：y＝x+2，故选D．【点睛】本题考查直线的斜截式方程，属基础题．3.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算的的观测值为，又已知，，则下列说法正确的是（）A.有的把握认为“X和Y有关系”B.有的把握认为“X和Y没有关系”C.有的把握认为“X和Y有关系”D.有的把握认为“X和Y没有关系”【答案】A【解析】【分析】依据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出结论.【详解】解：因为，所以，所以有以上的把握认为“X和Y有关系”，故选：A【点睛】此题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.4.圆的圆心到直线的距离为1，则（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】本题首先可将圆的方程化为标准方程并求出圆的圆心，然后依据点到直线距离公式即可列出方程并求出的值.【详解】因为可转化为，所以圆的圆心为，半径为，因为圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选：B【点睛】本题考查依据圆方程求圆心以及点到直线距离公式的应用，可通过将圆的方程化为标准方程来求圆的圆心，考查计算实力，是简洁题.5.据统计2024年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X听从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1700的概率为（）附：，，，A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据正态分布的对称性得出，从而可求出.【详解】解：因为X听从正态分布，且所以，所以，所以，故选：D【点睛】此题考查了正态分布的对称性，属于基础题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的诞生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的祥瑞物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜爱牛和马，乙同学喜爱牛、狗和羊，丙同学哪个祥瑞物都喜爱，假如让三位同学选取礼物都满足，则选法有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】B【解析】【分析】先分状况甲选牛共有，甲选马有，得出结果.【详解】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种随意选，所以共有若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种随意选，所以共有所以共有种故选B【点睛】本题主要考查了排列组合，分状况选择是解题的关键，属于较为基础题.7.绽开式中项的系数为（）A.30 B.40 C.60 D.120【答案】D【解析】【分析】将看成5个因式，分3步分析的取法，由分步计数原理以及多项式乘法分析可得答案.【详解】绽开式中的项可以看成5个因式中，其中2个取，剩下的3个因式中2个取，最终一个取，即得到.所以绽开式中项的系数为.故选：D【点睛】本题考查三项绽开式中指定项系数，以及排列组合，计数原理，属于基础题型，本题的关键是理解绽开式中如何生成项.8.若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则（）A.4 B.6 C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】分别表示出抛物线的焦点与双曲线的右焦点，进而构建等式求解即可.【详解】在抛物线中焦点坐标为，在双曲线中，即右焦点为，由题可知，故选：D【点睛】本题考查由抛物线与双曲线共焦点求参数，属于基础题.9.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事务“取出的两个球颜色不同”，事务“取出一个红球，一个白球”，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：事务A的选法有种，事务B的选法有，所以．故选B．考点：条件概率点评：求条件概率，只要算出事务B和事务A的数量，然后求出它们的商即可．10.从分别标有1，2，……，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算出全部状况总数，及满足条件的状况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案.【详解】解：从分别标有1，2，……，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，基本领件总数，而其中抽到的2张卡片上的数奇偶性相同的基本领件个数，则抽到的2张卡片上的数奇偶性相同的概率，故选：B【点睛】此题考查概率的求法，考查古典概型等学问，考查运算求解实力，属于基础题.11.已知椭圆，点A，B分别是它的左，右顶点.一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，又当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，则直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则，写出直线和直线的方程，利用消去和即可得到结果.【详解】设，则，则，因为，，当时，所以直线的方程为：直线的方程为：，所以，又，所以，即，当时，也符合上式，所以直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是.故选：B.【点睛】本题考查了由椭圆的标准方程求顶点坐标，考查了直线方程，考查了交轨法求动点的轨迹方程，属于基础题.12.已知抛物线，直线与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线方程与直线方程联立得到，利用韦达定理求得圆心和弦长，再依据以AB为直径的圆与x轴相切，由求解.【详解】由抛物线，与直线联立得：，由，解得，设，所以，，设圆心为，则，，因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以，即，解得.故选：D【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的实力，属于中档题.第II卷非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为__________.【答案】【解析】【分析】干脆求出点关于直线的对称点，即可求出圆的标准方程.【详解】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心的坐标为，又圆的半径为1，所以圆的标准方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查圆的标准方程，同时考查求点关于直线的对称点，属于基础题.14.已知数列的通项公式为，则其前n项和______．【答案】【解析】【分析】利用错位相减法可求得答案．【详解】由得：，，得，．故答案为．【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应留意以下几点：①驾驭运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时留意最终一项的符号；③求和时留意项数别出错；④最终结果肯定不能遗忘等式两边同时除以.15.已知直线,相互垂直，则实数的值是.【答案】或【解析】【详解】【分析】解：因为直线,相互垂直，

故有，解得或,所以答案为或16.中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点、，P为与在第一象限的交点，且，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的范围是__________.【答案】【解析】【分析】由于P为与在第一象限的交点，，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案.【详解】设椭圆：与双曲线：，因为P为与在第一象限的交点，，所以焦点三角形是以为底边的等腰三角形，即在椭圆中有①；同理，在双曲线中有②，由①②可知，，因为，且，由不等式的性质可知，.故答案为：【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.函数的最小正周期为π.（1）求的单调递增区间；（2）是锐角三角形，三个内角A，B，C对应边分别为a，b，c，若，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由协助角公式整理原函数，再由求得原函数解析式，最终由正弦函数性质求得单调递增区间；（2）由已知关系求得角B，再由正弦定理将边ac转化为角AC的关系，再由三角函数求值域方式求得答案.【详解】（1），∵，∴，∴.由正弦函数性质令，∴.故增区间为.（2），∵，∴，∴，∴.由正弦定理得，，所以.∵锐角三角形，∴，，∴，∴，∴【点睛】本题考查三角恒等变换化简整理三角函数并由正弦函数性质求单调区间，还考查了利用正弦定理边化角并求三角函数的值域，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.（1）若为的中点，求证：面；（2）若二面角为，设，试确定的值.【答案】(1)证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，交于，连接．证明．利用直线与平面平行的判定定理证明平面．

（2）以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系．

求出平面的法向量，平面法向量，利用二面角为，求解的值，得到答案.【详解】（1）证明：连接，交于，连接．

∵且，四边形为平行四边形，且为中点，

又∵点是棱的中点，所以．

∵平面，平面.

∴面.(2)，为的中点，∴．

∵平面平面，且平面∩平面，

∴平面．

∵，为的中点，∴四边形为平行四边形，∴．

∵,∴

即以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系.则则平面的法向量为设设平面的法向量为则即可取由二面角为所以化简得：，解得：或（舍）所以，则所以.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明和利用二面角确定点的位置得到参数的值，属于中档题.19.是指大气中直径小于或等于微米颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国标准采纳世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2024年上半年每天的监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.（1）在这15天的日均监测数据中，求其中位数；（2）从这15天的数据中任取2天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列及数学期望；（3）以这15天的日均值来估计该市下一年的空气质量状况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.【答案】（1）45；（2）分布列见解析，；（3）219.【解析】【分析】（1）由茎叶图从小到大找到第8个数，即为中位数；（2）由于假设记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出2天，超标的有6天，未超标的有9天，听从超几何分布，求出分别取的概率，列出分分列，求出数学期望；（3）先计算一年中每天空气质量达到一级或二级的概率，则一年中空气质量达到一级或二级的天数为听从二项分布，依据二项分布的期望公式求出期望．【详解】（1）由茎叶图可得中位数是45.（2）依据条件，听从超几何分布：其中，，，的可能值为，，，，所以的分布列为：012P.（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为，一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则，，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.【点睛】本题考查了已知详细数据求中位数，超几何分布的概率公式，分布列，期望，二项分布的期望，属于中档题.20.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别是和，以为圆心，3为半径的圆与以为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程.（2）设椭圆，P为椭圆C上随意一点，过点P的直线交椭圆E于A、B两点，射线OP交椭圆E于点Q.①推断是否为定值？若是定值求出该定值，若不是定值说明理由.②求面积的最大值.【答案】（1）；（2）①为定值，定值为2；②.【解析】【分析】(1)设两圆的一个交点为P，则，，由椭圆的定义可求出，又离心率为求出，从而可得椭圆C的方程;(2)①设P（x0，y0），，可得,将其代入椭圆的方程可得结果;②设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线与椭圆E的方程联立,利用根与系数的关系表示出弦长，同时直线与两椭圆都有交点，两个判别式大于0，到直线的距离将到直线的距离表示出来，再将面积表示出来求最值可求得结果.【详解】（1）设两圆的一个交点为P，则，，由P在椭圆上可得，则，，得，则，故椭圆方程为.（2）①椭圆方程，，则，在射线上，，，代入可得，，=2.②直线为，由①可得为的中点，在直线上，则到直线的距离与到直线的距离相等，则，，，联立，，则，，=，联立，得，∴，∴，，当时，面积的最大值为.【点睛】本题考查了利用求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的交点问题，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系等基本技巧，考查了三角形的面积公式,二次函数求最值,换元法，还考查了分析实力，运算实力，难度较大.21.已知函数，，.（1）当时，若对随意均有成立，求实数k的取值范围；（2）设直线与曲线和曲线均相切，切点分别为，，其中.①求证：；②当时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.【解析】【分析】（1）对随意均有成立，等价于，所以只要使和，对恒成立，所以构造函数求最小值大于等于零，求其最大值，即可求出k的取值范围；（2）①由题可知，为曲线和曲线的公切线，则两切点处导数相等，且与连线斜率也相等，再结合，即可证明；②恒成立等价于，在恒成立，所以构造函数求得其最大值为，而，代换后可求出a的取值范围.【详解】（1）当时，，由，知：，①令，对恒成立，,，，当，，成立，当，，，，，∴，不成立，∴.②设，∴，当时，；当时，，∴，∴.故：实数k的取值范围是.（2）由已知：，，①由得：，由得：，故，∵，∴，∴，故：.②，在恒成立.设，，∴在为减函数，∴，，∵，∴，∴.【点睛】此题孝琳是函数恒成立问题，综合性强，对分析问题解决问题的实力要求较高，属于难题.请考生在22，23题中任选一题作答，假如多做