新沪科版九年级下册初中数学全册教案

第24章圆

24.1旋转

课时1图形的旋转

【知识与技能】

1.了解图形旋转的有关概念并理解它的基本性质.

2.了解旋转对称图形的概念并能顺利找出旋转中心及旋转角.

【过程与方法】

通过举例说明客观世界存在的现象，让学生讨论分析现像的本质，从而总结

出旋转的概念和性质。

【情感态度与价值观】

通过旋转的学习，体验数学与现实生活的密切联系，感受旋转变换的数学美,

初步领会数学图形变换思想.

了解图形旋转的有关概念并理解它的基本性质.

图形旋转的基本性质的归纳与运用.

多媒体课件.

教师出示多媒体课件，展示下图，提出问题：这三幅图有哪些共同特征？

【教学说明】学生感受生活中的旋转实例，一是进一步体会旋转来源于实践,

二是从中抽象出旋转的定义.

一、思考探究，获取新知

由学生根据上面的实例，尝试归纳抽象出旋转的定义，先小组内交流，形成

共识后，再班内交流.

探究1旋转的定义和性质

【教学说明】针对上述问题可给予3~5分钟时间让学生讨论，教师出示下图,

指出△是由△ABC绕点0逆时针旋转0后得到的.定点0叫做旋转中心,0

叫做旋转角.原图形上一点A旋转后成为点A，,这样的两个点叫做对应点.

【讨论结果】我们把每一片风叶当成一个图形,那么这个图形都可以绕着某

一固定点转动一定的角度.像这样，在平面内，一个图形绕着一个定点，旋转一定的

角度,得到另一个图形的变换叫做旋转；对应点到旋转中心的距离相等；两组对

应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；旋转不改变图形的大

小和形状，所以旋转前后的图形是全等的.

探究2旋转对称图形

【教学说明】教学过程中，教师可设置如下问题：

（1）画出正方形绕对角线的交点顺时针旋转90。后的图形.观察旋转后的图

形与原正方形有何关系？

（2）如图2所示，电扇的叶片转动120。、螺旋桨转动180。后会怎么样？

（3）用一张半透明的薄纸，覆盖在如图3的图形上,在薄纸上画这个图形，使

它与下面的图形重合.然后用一枚图钉在圆心处穿过,将薄纸绕着图钉旋转，观察

旋转多少度（小于周角）后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合.

【讨论结果】在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度仇0。＜。。＜

360。）后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形；

二、典例精析，掌握新知

例1下列事件中，属于旋转运动的是（）

A.小明向北走了4米；

B.小朋友们在荡秋千时做的运动；

C.电梯从1楼上升到12楼；

D.一物体从高空坠下.

【分析】A.是平移运动；B.是旋转运动；C.是平移运动；D.是平移运动.

【解】选B

例2如图，Z^ABC绕点A顺时针旋转80°得到AAEF,若NB=100°,Z

【解】:•△ABC绕点A顺时针旋转80°得到AAEF,AAABC^AAEF,

ZC=ZF=50°,NBAE=80°.又=,AZBAC=30°,Na=

ZBAE-ZBAC=50°.故选B.

例3下图中不是旋转对称图形的是（）

ARCD

【分析】A.360。+5=72°,图形旋转72。的整数倍即可与原图形重合，

是旋转对称图形，故本选项错误；B.不是旋转对称图形，故本选项正确；C.360°

+8=45°,图形旋转45°的整数倍即可与原图形重合，是旋转对称图形，故本

选项错误；D.360。4-4=90°,图形旋转90°的整数倍即可与原图形重合，是

旋转对称图形，故本选项错误.

【解】选B

【教学说明】以上三例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学

生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全

班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.

三、运用新知，深化理解

1.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转

120°后，能与原图形完全重合的是（）

®®®

ABCD

2.如图，把aABC绕点C按顺时针方向旋转35°,得到aA'B'C,A'B'

交AC于点D.若NA'DC=90°,则NA=

3.将等边三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，已知其边长为2,现

将该三角形绕点C按顺时针方向旋转90°,则旋转后点A的对应点A'的坐标

为（）

A.（l+小，1）

B.（-1,1一小）

C.（-h小一1）

D.（2,5）

4.在图中，将大写字母A绕它上侧的顶点按逆时针方向旋转90°,作出旋

转后的图案，同时作出字母A向左平移5个单位的图案.

【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后全班同学

核对答案即可.

【答案】1.A2.55°3.A

1.知识回顾.

2.谈谈这节课你有哪些收获？

【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思

路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可

让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，

及时查漏补缺.

1.旋转的定义

图形的旋转

'中心点（确定位置），

角度“

三要素<（顺时针0”

方向臼

、【逆时针，o

2.旋转的性质

旋转的基本性质

①在旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心

的距离相等；

②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角

都相等。

③旋转不改变图形的大小和形状，由旋转得到的图形

与原来的图形全等.

3.旋转对称图形：在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度0(0°<0°

<360。)后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形

1.布置作业：从教材“习题26.1”中选取.

2.完成《少年班》P2-P3.

1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一

般的规律，降低学生理解的难度.

2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与

设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.

3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，

巩固知识.

4.对于旋转问题，要让结合实际情况多举例说明，经过思考、讨论、总结的

过程，让学生在交流中体会成功.

第24章圆

24.1旋转

课时2中心对称

【知识与技能】

1.理解认识中心对称的概念.

2.掌握中心对称的性质.

【过程与方法】

举例说明中心对称现象，通过图形让学生理解中心对称的定义，掌握中心对

称的性质.

【情感态度与价值观】

通过学习感受中心对称的数学美，初步领会数学图形变换思想.

理解中心对称的概念.

中心对称性质的归纳与应用.

多媒体课件，三角板，圆规.

剪纸，又叫刻纸，是中国汉族最古老的民间艺术之一，它的历史可追溯到公

元6世纪.如图剪纸中两个金鱼之间有什么关系呢？

【教学说明】学生感受生活中的中心对称实例，通过分析抽象出的中心对称

的定义.

一、思考探究，获取新知

由学生根据上面的实例，尝试归纳出中心对称的定义.

探究1中心对称的定义

【教学说明】请同学们把△ABC剪下，将其绕点A旋转180。,观察4ABC与

△ADE是否能够互相重合？并提出如下问题：

△ABC与^ADE是成中心对称的两个三角形，点A是对称中心.点B关于对

称中心A的对应点为，点C关于对称中心A的对应点为，点A关

于对称中心A的对应点为,AD=,AC=,ED=

【讨论结果】△ABC与AADE通过旋转后能够重合，点B关于对称中心A

的对应点为点D,点C关于对称中心A的对应点为点E,点A关于对称中心A的

对应点为点A,AD=AB,AC=AE,ED=BC.

探究2中心对称图形

【教学说明】教师提问：

（1）△AEC—ABC关于点0成中心对称吗？大:恭X

（2）你能从图中找到哪些等量关系？

（3）找出图中平行的线段.“

【讨论结果】△ABC关于点0成中心对称.

在同一直线上的三点分别有A,O,A，,B,O,B\C,OC，AO=ACy,BO=BO\CO

=C0',AB=A'B',AC=AC,BC=BC,AB//A'B',AC〃ACBC〃BC.

二、典例精析，掌握新知

例1如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心

对称，则对称中心点E的坐标是（）

A.（3,-1）B.（0,0）C.（2,-1）D.（-1,3）

【分析】连接AAi,根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称

中心点E,在坐标系内确定出其坐标.

【解】选A

例2如图，已知AAOB与△DOC成中心对称，^AOB的面积是12,AB=

3,则△DOC中CD边上的高是（）

A.3cnD

BYI

Al_\R

C.8

D.12

【分析】设AB边上的高为h,因为AAOB的面积是12,AB=3,所以gx

3Xh=12,所以h=8.又因为AAOB与△DOC成中心对称，ACOD^AAOB,

所以ADOC中CD边上的高是8.

【解】选C

【教学说明】以上两例均让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生

的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班

同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.

三、运用新知，深化理解

1.已知：如图，E(-4,2),F(-l,-1),以O为中心，作△EFO的中心对

称图形，则点E的对应点E'的坐标为.

2已知点A(m2)与点B(—1,加关于原点O对称，则钠值为一.

3.如图，已知四边形ABCD和点O,试画出四边形ABCD关于点。的对称图形

A'B'C'D'.

【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后全班同学

核对答案即可.

【答案】1.(4,-2)

1.知识回顾.

2.谈谈这节课你有哪些收获？

【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思

路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可

让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，

及时查漏补缺.

I定义：旋转角为180°的特殊旋转。旋转点是对称中心.

中心对称

1——性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对

称中心，且被对称中心平分.

1.布置作业：从教材“习题26.1”中选取.

2.完成《少年班》P2-P3.

1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一

般的规律，降低学生理解的难度.

2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与

设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.

3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，

巩固知识.

4.在教学过程中，应该鼓励学.生进行自主探究，自己动手去探索中心对称的

特点，加深对新知识的认识和理解.教师在课堂上起辅助作用，引导学生自己解

决问题，注重培养学生的独立意识.

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第24章圆

24.1旋转

课时3中心对称图形

【知识与技能】

理解中心对称图形的概念，能辨别出中心对称图形.

【过程与方法】

在发现、对比的过程中感受图形的旋转与对称，体会生活中的对称图形，用

观察、类比、分类归纳的方法理性的学习各种对称图形.

【情感态度与价值观】

通过对图案的欣赏，让学生感受数学的文化价值与美学价值，激起学习的兴

趣与欲望，提高审美观，激发创造美.

认识与判断中心对称图形.

中心对称图形性质的应用.

多媒体课件.

欣赏下面的图形，这么图形有什么共性？

【教学说明】中心对称图形是轴对称图形的特例，直接给出这种特殊情况为

中心对称图形，可以强化对中心对称图形定义的记忆.

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一、思考探究，获取新知

由学生根据上面的实例，尝试归纳出中心对称的定义.

探究1中心对称图形的定义与识别

【教学说明】下图分别是三块桌布的中间图案，哪个是中心对称图形？哪个

不是中心对称图形？你根据什么来判断一个图形是不是中心对称图形？

(1)(2)(3)

【讨论结果】图1和图2是中心对称图形，图3不是。把一个图形绕某点旋

转180。,如果旋转后的图形能和原来图形互相重合，那么这个图形就是中心对称图

形.

探究2中心对称图形的性质

【教学说明】教师提问：

（1）我们知道平行四边形是中心对称图形,对角线的交点就是对称中心，现在

擦掉大部分只留下点D和点O,你能找到点B吗？

（2）在平面内把点D绕点O旋转180。后得到点8,此时称点。和点8关于

点。对称,也称点D和点B是在这个旋转下的一对对应点.

（3）如果点D和点B关于点0成中心对称，你能得到什么？

（4）通过上面的问题，你能说说中心对称图形有什么性质吗？

*D

*

0

【讨论结果】解（1）问：B点在DO的延长线上，DO=BO。总结问题后可

得出中心对称图形的性质：在中心对称图形上，每一对对应点的连线都经过对称

中心,且被对称中心平分.

二、典例精析，掌握新知

例1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

ABC

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【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形重合即是中

心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出.

【解】选C

例2如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点。的直线分

别交AD和BC于点E、F,AB=2,BC=3,试求图中阴影部分的面积.

【分析】观察图中阴影部分，可以利用中心对称图形的性质进行转化“将

复杂问题简单化.

【解】因为矩形ABCD是中心对称图形，所以ABOF与ADOE关于点O成

中心对称，所以图中阴影部分的三个三角形就可以转化到直角AADC中.又因

为AB=2,BC=3,所以RtaADC的面积为gx3X2=3,即图中阴影部分的面

积为3.

【教学说明】以上两例均让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生

的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班

同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.

三、运用新知，深化理解

1.下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

ABCD

2.如图，已知aABC和点O,画出aDEF,使4DEF和AABC关于点O成

中心对称.八

O

BA

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3.如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点0,若AE=2cm,

四边形AEFB的面积为12cm2,则CF=,平行四边形ABCD的面积为

【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后全班同学

核对答案即可.

【答案】1.B

3.2cm;24cm2

1.知识回顾.

2.谈谈这节课你有哪些收获？

【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思

路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可

让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因,

及时查漏补缺.

定义：把一个图形绕某一个定点旋转180°,如果旋转

I后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做中心

---------------对称图形，这个点就是对称中心.

中心对称图形

性质：在中心对称图形上,每一对对应点的连线都经过

对称中心,且被对称中心平分.

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1.布置作业：从教材“习题26.1”中选取.

2.完成《少年班》P2-P3.

1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一

般的规律，降低学生理解的难度.

2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与

设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.

3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，

巩固知识.

4.在教学过程中，应该鼓励学.生进行自主探究，自己动手去探索中心对称图

形的特点，加深对新知识的认识和理解.教师在课堂上起辅助作用，引导学生自

己解决问题，注重培养学生的独立意识.

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第24章圆

24.1旋转

课时4图案设计

【知识与技能】

利用平移、旋转、对称进行图案设计，设计出称心如意的图案.

【过程与方法】

通过平移、对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸

怀大胆联想，设计出一幅幅美丽的图案.

【情感态度与价值观】

让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学

习热情.

设计图案.

如何利用平移、对称、•旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案.

多媒体课件.

观察下面的图案，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？

【教学说明】分析图案的形成过程应按如下步骤进行:

1.划分出组成原图案的最基本的图形；

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2.说明将该基本图形运用平移、旋转、轴对称中的哪些图形变换，通过怎样

的变换方式得到原图案.

一、思考探究，获取新知.

探究1分析图案形成过程

【教学说明】1.如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B•点

的对称点，作出线段AB,并回答，AB与CD有什么位置关系.

2.如图，已知线段CD,作出线段CD关于对称轴L的对称线段C'D',

并说明CD与对称线段C'D'之间有什么关系？

3.如图，已知线段CD,作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形,

•并说明这两条线段之间有什么关系？

【讨论结果】1.AB与CD平行且相等；

2.过D点作DELL,垂足为E并延长，使ED'=ED,同理作出C'点，

连结C'D・'，•则CD'就是所求的.CD的延长线与C'D'的延长线相交于

一点，这一点在L上并且CD=・C'D'；

3.以D点为旋转中心，旋转后CDJ_C'D',垂足为D,并且CD=C'D.

探究2图案设计

【教学说明】教师提出问题：学校在艺术周上，要求学生制作一个精美的轴

对称图形，请你用所给出的几何图形：OOA△一一（两个圆，两个等边三角形，

两条线段）为构件，构思一个独特、有意义的轴对称图形，并写上一句简要的解说

词

【讨论结果】所设计图形如图所示（答案不唯一，可供参考）：

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OO

△

▽

生活需要微笑

二、典例精析，掌握新知

例1如图，在四个图案中，不能由基本图形旋转得到的是()

AB

CD

【分析】寻找基本图形、旋转中心、旋转角、旋转次数，逐一判断.A.可由

一个基本“花瓣”绕其中心经过7次旋转，每次旋转45°得到；B.可由一个

基本“菱形”绕其中心经过5次旋转，每次旋转60。得到；C.可由一个基本图

形绕其中心旋转180°得到；D.不能由基本图形旋转得到.

【解】选D

例2把如图所示图形中左上角的图案绕着中心O旋转90°,180°,270°,

画出你所得的图案

【分析】根据旋转图形的特征，分别把如上图(1)(2)(3)所示图形中左上角的

图案绕着中心O旋转90°,180°,270°,点O的位置不动，其余各部分均

绕点。按相同的方向旋转90°,180°,270°,据此可画出各图.

【解】画出的图案如图所示：

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（1）（2）（3）

【教学说明】以上两例均让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生

的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班

同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.

三、运用新知，深化理解

1.如图，若要使这个图案与自身重合，则它至少绕它的中心旋转（）

A.45°B.90°C.135°D.180°

2.以给出的图形”。、。、△、△、==="（两个相同的圆、两个相同的三角

形、两条线段）为构件，各设计一个构思独特且有意义的轴对称图形和中心对称

图形.举例：如图，左框中是符合要求的一个图形.你还能构思出其他的图形吗？

请在右框中画出与之不同的图形.

【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后全班同学

核对答案即可.

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1.知识回顾.

2.谈谈这节课你有哪些收获？

【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思

路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可

让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，

及时查漏补缺.

图案形成过程:

1.平面图案的形成依据：平移，旋转和轴对称;

2.图形的变换不改变图形的形状和大小，只改变图形

图案设计的位置.

y

步骤：图案设计的一般步骤:

1.选择基本图案（基本图案可以是一个图案，也可

以是几个图案的结合）.

2.对基本图案进行变换（变换可以是单纯的平移,

旋转或轴对称，也可以是多种变换）.

3.对图案进行修饰.

1.布置作业：从教材“习题26.1”中选取.

2.完成《少年班》P2-P3.

1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一

般的规律，降低学生理解的难度.

2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与

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设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.

3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，

巩固知识.

4.在教学过程中，让学.生进行自主探究，自己动手去感知图案设计的魅力,

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第24章圆

24.2圆的基本性质

课时1圆

【知识与技能】

探索圆的两种定义，理解掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，并能

够从图形中识别；理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量关系.

【过程与方法】

从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念.利

用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴.

【情感态度与价值观】

.在解决问题的过程中，使学生体会数学知识在生活中的普遍性.

掌握圆各部分的名称及圆的特征.

点与圆的各种位置关系，点到圆心的距离与半径r的关系.

多媒体课件，圆规，三角板.

在我们日常生活中常常可以看到有许多圆形物体，例如茶碗的碗口、锅盖、

太阳、车轮、射击用的靶子等都是圆的，怎样画出一个圆呢？木工师傅是用一根

黑线来画圆的，给你一根细绳、一个图钉和一支铅笔，你能画出一个圆吗？

【教学说明】利用实际生活场景,不仅能够顺利引入圆的定义，而且提高学

生的学习兴趣.

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一、思考探究，获取新知

通过动手尝试画圆，培养学生动手动脑的习惯，同时通过画圆使学生经历圆

的形成过程，在操作中感受定点与动点的关系，进一步认识圆.

探究1圆的描述性定义

【教学说明】教师展示画圆的方法：一端固定，另一端固定在标枪上.类比

得到，用细绳和钢笔在纸上画圆.提出问题：

（1）观察画圆的过程，总结出圆的形成过程.

（2）圆的两个要素是什么？

（3）圆的表示方法是什么？

【讨论结果】在平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，则另

一个端点A所形成的封闭曲线叫做圆.固定的端点。叫做圆心，线段0A的长

为图中，叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“。0”，读作“圆0”.

探究2圆的集合性定义

【教学说明】教师设置如下问题：

体育课上，体育老师让全班50名同学沿着界线站成一排做套圈游戏，如图,

你认为老师这样设计游戏公平吗？若不公平，你认为怎样设计才更加公平呢？

目标

*

界线

【讨论结果】总结圆的集合性定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的

所有点的集合.

探究3点和圆的位置关系

【教学说明】教师设置如下问题：

问题1:观察图中点P,点P2,点P3与圆的位置关系.

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问题2：设。。的半径为，，说出点Pl、点P2、点P3与圆心0的距离d与

半径「的关系；

问题3：反过来，已知点P到圆心0的距离d和圆的半径r,能否判断点和

圆的位置关系？

.•尸3•P1

尸2

【讨论结果】1.点与圆的三种位置关系：点在圆上、点在圆外、点在圆内.

2.点到圆心的距离d与半径r之间的数量关系有三种：d>r,d=r,d<r.

3.d>r0点在圆外；d=r=点在圆上；dOo点在圆内.

二、典例精析，掌握新知

例1有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直

径；④半圆是弧，.但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴.其中

错误的说法个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断.半径确定了，只能说明圆

的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；圆的对称轴

是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，所以①③.⑤的说法是错误

的.

【解】选C

例2如图所示，OA、0B是。。的,半径，点C、D分别为OA、0B的中点,

求证：AD=BC.

【分析】先挖掘隐含的“同圆的半径相等”“公共角”两个条件，再探求证

明AAOD丝aBOC的第三个条.件，从而可证出△AODgABOC,根据全等三角

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形对应边相等得出结论.

【解】：0A、OB是。0的半径，...OAMOB...•点C、D分别为OA、OB

的中点，.，,OC=|oA,OD=|oB,，OC=OD.又•.•NO=NO,/.AAOD^A

BOC(SAS),/.BC=AD.

例3如图所示，AB是G)O的直径，CD是。O的弦，AB,CD的延长线交

于点E.已知AB=2DE,ZE=18°,求NAOC的度数.

【分析】要求NAOC的度数，由图可知NAOC=NC+NE,故只需求出N

C的度数，而由AB=2DE知DE与。。的半径相等，从而想到连接OD构造等

腰AODE和等腰AOCD.

【解】连接OD,'.'AB是。O的直径，OC,OD是。O的半径，AB=2DE,

/.OD=DE,ZDOE=ZE=18°,ZODC=ZDOE+ZE=36°,VOC=

OD,.,.ZC=ZODC=36°,ZAOC=ZC+ZE=36°+18°=54°.

例4如图，已知矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm.

(1)以点A为圆心，4cm为半径作。A,则点B,C,D与。A的位置关系

如何？

(2)若以点A为圆心作。A,使B,C,D三点中至少有一点在圆内且至少

有一点在圆外，则。A的半径r的取值范围是什么？

【解】（D：AB=3c.mV4cnL,.,.点B在G）A内.VAD=4cm,.,.点D在。

A上.VAC=^/32+42=5cm>4cm,.•.点C在G)A外；

(2)由题意得，点B一定在圆内，点C一定在圆外，...BcmVrV5cm.

【教学说明】以上四例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学

生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全

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班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.

三、运用新知，深化理解

1.下列说法中，错误的是（）

A.直径相等的两个圆是等圆

B.长度相等的两条弧是等弧

C.圆中最长的弦是直径

D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能相等

2.在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,CP,CM分别是AB边

上的高和中线，如果OA是以点A为圆心，半径为2的圆，那么下列判断正确

的是（）

A.点P,M均在OA内

B.点P,M均在。A外

C.点P在OA内，点M在OA外

D.点P在。A外，点M在。A内

3.00的半径为5cm,点A到圆心0的距离0A=3cm,则点A与。0的

位置关系为（）

A.点A在圆上B.点A在圆内

C.点A在圆外D.无法确定

【教学说明】让学生当堂完成上述练习，加深学生对所学知识的理解运用，

在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，使学生思维得到拓展、能力得以提升.

最后全班同学核对答案即可.

【答案】1.B

2.如图所示.•.•在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,.*.AB=

5.VCP,CM分别是AB边上的高和中线，，AB・CP=AC-BC,AM=AB=2.5,

ACP=2.4.AAP=1.8.VAP=1.8<2,AM=2.5>2,.•.点P在。A内，点M在

3.B

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1.知识回顾.

2.谈谈这节课你有哪些收获？

【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思

路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可

让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，

及时查漏补缺.

-o®®

描述性定义：在平面内，线段绕固定一个端点旋转一周，

/则另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆.

1.圆的定义

集合性定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有

点的集合.

2.点和圆的位置关系：点在圆外；4=r=点在圆上；点在圆内.

1.布置作业：从教材“习题26.1”中选取.

2.完成《少年班》P2-P3.

1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一

般的规律，降低学生理解的难度.

2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与

设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.

3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，

巩固知识.

4.教学过程中，应鼓励学生自己动手画圆，探究圆形成的过程，同时小组讨

论、交流各自发现的圆的有关性质，使学生成为课堂的主人，进一步提升学生独

立思考问题的能力及探究能力.

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第24章圆

24.2圆的基本性质

课时2垂径分弦

【知识与技能】

1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理.

2.能够利用径定理解决相关的实际问题.

【过程与方法】

在探索问题的过程中培养学生动手操作的能力，使学生感受圆的对称性，体

会圆的性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程.

【情感态度与价值观】

使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极

参与的精神.

垂径定理的及其证明.

利用垂径定理解决实际问题.

多媒体课件，三角板，圆规.

你知道赵州桥吗？它是1400多年前我国建造的,是我国古代人民勤劳与智慧

的结晶，它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到

弦的距离）为7.2m,你能求出桥拱所在圆的半径吗？

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【教学说明】结合赵州桥资料向学生进行爱国主义教育和美育渗透,并引入

新知识.

一、思考探究，获取新知

通过上面问题引导学生探究、发现垂径定理，初步感知.

探究1垂径定理

【教学说明】如果。0的直径CD垂直于弦AA，，垂足为M,那么点A和点

A，是对称点，把。。沿着直径CD折叠时，点A与点A，重合，你能发现图中有

哪些相等的线段和弧？为什么？

D

【讨论结果】归纳总结垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这

条弦所对的两条弧.

几何语言：•••CDLAATCD是。0的直径，

/.AM=MA,,AC=A^C,AD=A^D.

探究2垂径定理的推论

【教学说明】教师针对垂径定理提出问题：

1.垂径定理是由几个条件得到几个结论？

2.把垂径定理条件中的“垂直”和“平分”互换，是否仍然成立呢？

【讨论结果】1.①直径；②直径垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分优

弧；⑤平分劣弧，垂径定理由①②推出③④⑤.

2.成立.得出垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分

弦所对的两条弧.

二、典例精析，掌握新知

例11.下列命题中错误的有（）

①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的对称轴是直

径.

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A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】圆的对称轴是直径所在的直线.

【解】选A

例2如图所示，。0的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径0B的中点,

CD=6cm,则直径.AB的长是（）

A.2小cm

B.36cm

C.4gcm

D.4小cm

【分析】•.•直径ABLDC,CD=6cm,...DPLBcm.连接OD,..1是OB的

中点，设OP为x,则OD为2x,在.RtaDOP中，根据勾股定理列方程32+X2

=(2x)2,解得x=^.；.0D=2Scm,；.AB=4小cm.

【解】选D

例3如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的@）,点0,是这段弧的圆

心，C是最上一点，OC_LAB,垂足为D,AB=300m,CD=50m,则这段弯路

的半径是m.

【分析】本题考查垂径定理的应用，AB,AB=300m,AAD=150m.

设半径为R,在RtZSADO中，根据勾股定理可列方程R2=（R—50）2+1502,解

得R=250.

【解】250

例4如图所示，。。的弦AB、AC的夹角为50°,M、N分别是@、R的

中点，则NMON的度数是（）

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A.100°

B.110°

C.120°

D.130°

【分析】已知M、N分别是@、R的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧

所对的弦”得OM_LAB、ON1AC,所以NAEO=NAFO=90°,而NBAC=

50°,由四边形内角和定理得NMON=360°-ZAEO-ZAFO-ZBAC=

360°-90°-90°-50°=130°.

【解】D

【教学说明】以上四例均让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生

的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班

同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.

三、运用新知，深化理解

1.如图1,如果AB为。。的直径，弦CDLAB,垂足为E,那么下列结论

中，错误的是().

A.CE=DEB.BC=BDC.ZBAC=ZBADD.AC>AD

(1)(2)(3)

2.如图2,。。的直径为10,圆心。到弦AB的距离OM的长为3,则弦

AB的长是()

A.4B.6C.7D.8

3.如图3,在。O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列

结论中不正确的是()

A.AB±CDB.ZAOB=4ZACDC.AD=BDD.PO=PD

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4.绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m,桥拱

半径0C为5m,则水面宽AB为（）

【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后全班同学

核对答案即可.

【答案】1.D2.D3.D4.D

1.知识回顾.

2.谈谈这节课你有哪些收获？

【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思

路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可

让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，

及时查漏补缺.

定义：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所

I------对的两条弧.

垂径定理

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦

所对的两条弧.

1.布置作业：从教材“习题26.1”中选取.

2.完成《少年班》P2-P3.

1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一

般的规律，降低学生理解的难度.

2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与

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设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.

3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，

巩固知识.

4.在教学过程中，引导学生探究垂径定理及其推论时，强调垂径定理的得出

跟圆的轴对称密切相关.在练习过程中，引导学生结合实际运用垂径定.理，使

学生养成良好的思维习惯.

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第24章圆

24.2圆的基本性质

课时3圆心角、弧、弦、弦心距间的关系

【知识与技能】

1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性.

2.掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理，并能运用其解答问题.

【过程与方法】

1.通过观察、分析圆心角、弧、弦、弦心距的关系，发展学生的合情推理能

力和演绎推理能力.

2.通过教具的演示，使学生感受圆的旋转不变性，发展学生观察、分析的能

力.

【情感态度与价值观】

引导学生对图形进行观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识

解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心.

圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理及灵活运用.

“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解

及定理的证明.

多媒体课件，圆规，三角板.

(I)在两张透明纸上，作两个半径相等的。0和。0',沿圆周分别将两

圆剪下；

(2)在。0和。0'上分别作相等的角NA0B和NA'O'B',作0M_L

AB于M,O'M'_LA'B'于M',如图①所示.

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注意:在画NAOB与NA'O'B'时，要使0B相对于0A的方向与O'B'

相对于O'A'的方向一致，否则当0