第06讲 函数的单调性与最值（解析版）

第06讲函数的单调性与最值1．增函数与减函数一般地，设函数的定义域为：(1)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数．(2)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数．2．函数的最大值与最小值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：(1)对于任意的，都有；存在，使得，那么，我们称是函数的最大值．(2)对于任意的，都有；存在，使得，那么我们称是函数的最小值．3．函数单调性的两个等价结论设则(1)(或在上单调递增。(2)(或⇔f(x)在上单调递减．考点一函数的单调性1．（江西省靖安中学高一月考）已知函数是上的减函数，若则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于函数是在上的减函数，且，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A2．（海淀·北京市八一中学高三开学考试）下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】对于A，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，且，则，因为，且，所以，即，所以在上为增函数，所以A正确，对于B，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以B错误，对于C，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以C错误，对于D，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以D错误，故选：A3．（太原市第五十六中学校高二月考（文））函数的单调增区间为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】二次函数，开口向下，对称轴为，所以单调增区间为.故选：A4．（黑龙江哈尔滨三中高三月考（理））已知奇函数在上是增函数，又，则的解集是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【详解】∵在上是增函数，且为奇函数，∴在上是增函数，又，即，∴要使，则或，∴的解集为或.故选：B5．（巴楚县第一中学（理））函数的单调区间为（）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增【答案】D【详解】的对称轴为，开口向上，所以在在单调递减，在单调递增，故选：D6．（全国高一专题练习）若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】函数的对称轴为，由于在上是减函数，所以.故选:A7．（全国高一专题练习）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：函数的图像的对称轴为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D8．（全国高一课时练习）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数，总有成立，则必有（）A．在上是增函数 B．在上是减函数C．函数先增后减 D．函数先减后增【答案】A【详解】由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.故选：A.9．（全国高三专题练习）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围（）A． B． C． D．【答案】A【详解】偶函数在区间上单调递增，则在区间上单调递减，若满足，则，可得，∴，即.故选：A.10．（陕西省黄陵县中学高一期末）设函数是上的增函数，则有（）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数是R上的增函数,则，即故选：A11．（怀仁市第一中学校高三月考（文））函数在单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数为开口向上的抛物线，对称轴为函数在单调递增，则，解得.故选：A.12．（福建宁德·高一期末）已知定义域为的奇函数在单调递减，且，则满足的取值范围是（）．A． B．C． D．【答案】B【详解】为奇函数，且在单调递减，，，且在上单调递减，可得或或，即或或，即，故选：B.13．（全国高一课时练习）函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是（）A．(﹣∞，﹣3) B．(0，+∞)C．(3，+∞) D．(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞)【答案】C【详解】解：∵函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）f（﹣m+9），∴2m﹣m+9，解得m3，故选：C．14．（全国高一）定义在上的函数对任意两个不等的实数，，总有成立，则必有（）A．函数在上是奇函数 B．函数在上是偶函数C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数【答案】D【详解】，当时，，当时，，所以函数在上是减函数．故选：D．考点二函数的最值1．（全国）如果奇函数在上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（）A．增函数且最小值为 B．减函数且最小值为C．增函数且最大值为 D．减函数且最大值为【答案】C【详解】因为奇函数在上是增函数且最小值为5，而奇函数的图像关于原点对称，所以在区间上增函数且最大值为，故选：C.2．（上海高一专题练习）已知函数，则的最大值为（）．A． B． C．1 D．2【答案】D【详解】因为在上单减，所以在上单减，即在上单减，所以f(x)的最大值为.故选：D3．（宁夏银川·贺兰县景博中学高二期末（文））已知函数，则（）A．是单调递增函数 B．是奇函数C．函数的最大值为 D．【答案】C【详解】A：由解析式知：是单调递减函数，错误；B：由，显然不关于原点对称，不是奇函数，错误；C：由A知：在上，正确；D：由A知：，错误.故选：C.4．（合肥一六八中学高一期末）若奇函数在区间上单调递减，则函数在区间上（）A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值【答案】C【详解】根据奇函数的图象关于原点对称，所以其在y轴两侧单调性相同，因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，所以在区间上有最大值，最小值,故选：C5．（玉林市育才中学（文））已知函数，则在区间上的最大值为（）A． B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】在单调递减，.故选：C.6．（浙江高一单元测试）若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（）A．-1 B．1 C．3 D．1或3【答案】B【详解】解：当时，在区间上为增函数，则当时，取得最大值，即，解得；当时，在区间上为减函数，则当时，取得最大值，即，解得舍去，所以，故选：B7．（全国高一）如果奇函数在区间上单调递增且有最大值6，那么函数在区间上（）A．单调递增且最小值为﹣6 B．单调递增且最大值为﹣6C．单调递减且最小值为﹣6 D．单调递减且最大值为﹣6【答案】A【详解】因为为奇函数，则在对称区间上单调性相同，所以在上为单调递增函数，根据的图像关于原点对称，且所以在上的最小值为，故选：A8．（福建三明一中高三学业考试）函数在[2，3]上的最小值为（）A．2 B．C． D．－【答案】B【详解】y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，故选：B.9．（全国高一专题练习）若，都有不等式，则的最小值为（）A．0 B． C． D．【答案】D【详解】