【开学考数学试卷】2025届新高三开学数学摸底考试卷（2025届新高考） 数学试卷01（新高考）01（答案及评分标准）

2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）01数学·答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678DCCBAABC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BCDACDAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12． 13．14．6四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）【详解】（1）由题意，则，因为，所以，（1分）因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，（2分）因为平面，所以，（3分）且平面，所以平面，（4分）又平面，所以平面平面；（5分）（2）如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，（7分，建系、设点各一分）所以，，设平面的一个法向量，则，令，得，（9分）设平面的法向量，则，令，得，（11分）设平面与平面的夹角为，则，（12分）所以平面与平面夹角的正弦值为．（13分）16．（15分）【详解】（1）易知，所以根据正态分布区间公式有，（3分）即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为，则，（4分，不写不扣分）所以：；（6分）（2）因为，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：，，（8分）所以，（10分）则，（12分）由公式可知，（14分）即.（15分）17．（15分）【详解】（1）设，则，因为的重心，故有：，（2分）解得，代入，化简得，（4分）又，故，所以的轨迹方程为.（5分）（2）因为的垂心，故有，又，所以，（7分）故设直线的方程为，与联立消去得：，（8分）由得，（9分）设，则，（10分）由，得，所以，（12分）所以，所以，化简得，（13分）解得（舍去）或（满足），（14分）故直线的方程为.（15分）18．（17分）【详解】（1）由题意得，，则，（1分）由，解得．（2分）显然，若，则当时，单调递增，当时，单调递减；（3分）若，则当时，单调递减，当时，单调递增．（4分）综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增．（5分）（2）（i）由，得，设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减，（6分）又，当时，，且当时，，（8分）所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是．（9分）（ii）不妨设，则，且．（10分）设，，则，（11分）所以在区间内单调递增，又，所以，即．（13分）又，所以，（14分）又在区间内单调递减．所以，即，（16分）又，所以，得证．（17分）19．（17分）【详解】（1）存在，理由如下：由已知得，，，（1分）（2分）即（3分）对，当正整数时，存在，使得成立，即数列为“阶可分拆数列”；（4分）（2），当时，，（5分）当时，，（6分）（i）若数列为“阶可分拆数列”，则存在正整数使得成立，当时，，即，解得，（7分）当时，，即，（8分）因，所以，又，（9分）故方程无解.综上所述，符合条件的实数a的值为.（10分）（ii）证明：，当时，