2025年高考数学一轮复习-第四章-一元函数的导数及其应用

2025年高考数学一轮复习-第四章2一元函数的导数及其应用3利用导数研究函数的极值、最值1.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则()A.x=12为函数f(x)B.函数f(x)在12C.x=2为函数f(x)的极大值点D.f(-2)是函数f(x)的最小值2.若函数f(x)=x2+2xex的极大值点与极小值点分别为a,b,A.-4 B.2 C.0 D.23.已知函数f(x)=2lnx+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为()A.2 B.-5C.3+ln2 D.-2+2ln24.函数y=xex在[0,2]上的最小值是(A.1e B.2e2 C.05.函数f(x)=ax3-6ax2+b(a>0)在区间[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29,则a,b的值为()A.a=2,b=-29 B.a=3,b=2C.a=2,b=3 D.以上都不对6.将一块直径为23的半球形石材切割成一个体积最大的圆柱,则切割掉的废弃石材的体积为()A.(23-2)π B.(43-2)πC.23-23π7.(多选题)已知函数f(x)=e2x-2ex-12x,则下列说法正确的有()A.曲线y=f(x)在x=0处的切线与直线x+12y=0垂直B.f(x)在(2,+∞)上单调递增C.f(x)的极小值为3-12ln3D.f(x)在[-2,1]上的最小值为3-12ln38.若函数f(x)=13x3-4x+m在[0,3]上的最大值为4,则m=.9.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是.

10.已知函数f(x)=lnx-ax,x∈(0,e],其中e为自然对数的底数.(1)若x=1为f(x)的极值点,求f(x)的单调区间和最大值.(2)是否存在实数a,使得f(x)的最大值是-3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.4三次函数的图象与性质1.已知函数f(x)=x3+x2-ax+a在R上为增函数,则实数a的取值范围为()A.-∞,-1C.-∞,12.已知三次函数f(x)=13x3-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在定义域R上无极值点,则实数m的取值范围是(A.m<2或m>4 B.m≥2或m≤4C.2≤m≤4 D.2<m<43.如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则函数的解析式为()A.y=3125x3-x B.y=2125x3-C.y=1125x3-35x D.y=-3125x34.(多选题)已知函数f(x)=x3-ax+1的图象在x=2处切线的斜率为9,则下列说法正确的有()A.a=3B.f(x)在x=-1处取得极大值C.当x∈(-2,1]时,f(x)∈(-1,3]D.f(x)的图象关于点(0,1)中心对称5.已知函数f(x)=ax3+bx在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-2,则f(x)的极小值为.

6.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象是中心对称图形,且对称中心为-b3a,f-b3a,若直线l与曲线y=13x3-x2-3x+1有三个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),且|AB|=|AC|,则∑7.设函数f(x)=13x3-a2x2+bx+c,其中a>0.曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=(1)确定b,c的值;(2)若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,求实数a的取值范围.8.已知函数f(x)=-13x3+x2+2ax,g(x)=12x2-(1)若函数f(x)在(0,+∞)上存在单调递增区间,求实数a的取值范围.(2)设G(x)=f(x)-g(x).若0<a<2,G(x)在[1,3]上的最小值为-13,求G(x)在[1,3]上取得最大值时,对应的x值参考答案3利用导数研究函数的极值、最值1.B2.C3.B4.C5.C6.A7.BC8.49.-310.解(1)∵f(x)=lnx-ax,x∈(0,e],∴f'(x)=1-axx,由f'(1)=0,得a=1,∴f'(x)=1-xx,∴当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,e)时,f'(x)<0,∴f(x)的增区间是(0,1),减区间是(1,e],f(x)的极大值f(1)=-1,也即f(x)(2)由(1)知f'(x)=1x-a=1①当a≤0时,f(x)在(0,e]上单调递增,∴f(x)的最大值f(e)=1-ae=-3,解得a=4e>0,舍去②当a>0时,由f'(x)=1-axx=0,解得x=1a,当0<1a<e,即a>1e时,若x∈0,1a,则f'(x)>0;若x∈1a,e,则f'(x)<0,∴f(x)的增区间是0,1a,减区间是1a,e.又f(x)在(0,e]上的最大值为-3,∴f(x)max=f1a=-1-lna=-3,解得a=e2.当e≤1a,即0<a≤1e时,f(综上,存在a符合题意,此时a=e2.4三次函数的图象与性质1.A2.C3.C4.ABD5.-2396.7.解(1)因为函数f(x)=13x3-a2x2+bx+c,所以f'(x)=x2-ax+b,又因为曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,所以f(0)=1,f'(0)=0,即b=0,c=(2)由(1)知f(x)=13x3-a2x2+1,f'(x)=x2-ax,设切点为(x0,y0),则y0=f(x0)=13x03-a2x02+1,切线的斜率k=f'(x0)=x02-ax0,所以切线方程为y-y0=k(x-x0).因为切线经过点(0,2),所以2-y0=-kx0,即2-13x03-a2x02+1=-(x02-ax0)x0,化简得,4x03-3ax02+6=0①.因为过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,所以①有三个不同的实根,即函数g(x)=4x3-3ax2+6有三个不同的零点.对g(x)求导得,g'(x)=12x2-6ax.令g'(x)=0,得x=0或x=a2(a>8.解(1)∵f(x)在(0,+∞)上存在单调递增区间,∴f'(x)=-x2+2x+2a>0在(0,+∞)上有解,即f'(x)max>0在(0,+∞)上成立,而f'(x)的最大值为f'(1)=1+2a,∴1+2a>0,解得a>-1(2)由题知,G(x)=f(x)-g(x)=-13x3+12x2+2ax+4,∴G'(x)=-x2+x+2a,由G'(x)=0,得x1=1-1+8a2,x2=1+1+8a2,则G(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.又∵当0<a<2时,x1<0,1<x2<3,∴G