新人教A版必修一 考点08 函数图象 教案

【考纲要求】

能用变换法作函数图象，并会运用函数图象理解和研究函数的性质.

【命题规律】

函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，对于函数图象的考查体现在两个方面：一是识图；二是

用图，即通过函数的图象，利用数形结合的思想方法解决问题.函数图象问题在选择题或填空题中会单独考

查图象的判断，在解答题中也会涉及作图用图问题。

【典型高考试题变式】

（一）根据函数的解析式判断图象

例1。【2018年浙江卷】函数y=2%in2x的图象可能是

【答案】D

【解析】令/。）=2Msin2x,因为xeRJ（-x）=2l-%in2（f）=-2团疝2%=所以

fa）=2lMsin2小奇函数，排除选项A3因为xegn）时，/（x）<0,所以排除选项C,选D.

【名师点睛】有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位

置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇

偶性,判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复

【变式I】函数"X尸ln'\x的+I大I致图像为（）

A.B.

【答案】A

【解析】当x-+wfi寸，|1心+1）|>0,x+l>0,.寸瓮）>0,故可排除c,D选项;

当x-s时，|ln（x+l）|>0,,r+l<0,<0，故可排除B选项，故选A.

【答案】B

【解析】由Ix|—ln错误！=0,得丫=错误！=错误!利用指数函数图象可知选B.

（二）已知函数图象判断图象

例2.［2012湖北卷】已知定义在区间［0,2］上的函数y=/（无）的图象如图所示，则y=-7（2-无）的图象为

【解析】特殊值法:当尤=2时，y=-/（^-2）=-/（2-2）=-/（0）=0,故可排除D项；当x=l时,

y=-/（x—2）=—=—/⑴=—1,故可排除A,C项；所以由排除法知选B。

【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：①从函数的定义域，判断图象的左右位置;从函数的值域,

判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性;

④从函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.

【变式1】已知二次函数ro）的图象如右图所示，则函数。（吗=/（幻./的图象大致为（）

-toI

1解析】由图象知，当x<-1或1时，g（x）>0;当-1<I<1时，g（x）<0故选A.

【变式2】【2014福建卷】若函数，=1。8“%（。〉0,且。。1）的图象如右图所示，则下列函数正确的是

（）

【答案】B

【解析】由函数V=log°x（a〉0,且。W1）的图象可知，。=3,所以，y=a~x,y=（—%）3=一三及

y=log3（-x）均为减函数，只有丁=%3是增函数，故选B。

（三）已知函数图象判断字母的符号

ax+b

例3。【2015安徽卷［函数〃x）=了的图象如图所示，则下列结论成立的是（

Ao〃>0,b>0,c<QB.a<0,b>0,c>0

Coa<0,b>0,c<0D.〃<0,b<0,c<0

【答案】C

ax^b/(0)=与>0,所以

【解析】由〃x）=T及图象可知，XH-C,-c>0,贝ijcv0；当x=0时,

b

i>0；当J'=0,ax+6=0,所以；v=—->0,所以avO.故a<0,b>0,c<Q,故选C.

【名师点睛】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、

值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项。本题主要是通过函数解析

式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断。，瓦c的正负关系。

【变式1】已知函数无）=log〃2，+6—1（a>0,存1）的图象如图所示，则。，6满足的关系是（）

A.0〈/1〈6<1B.0(b<a1〈1

C.0m〈a<lD.0<al〈尸<1

【答案】A

【解析】由函数图象可知，/（尤）在R上单调递增，故。>1.函数图象与y轴的交点坐标为（0,log/）,由函

数图象可知一ivlog/〈0,解得错误［<*1。综上有0〈错误！〈XI。

【变式2］已知函数/（x）的图象如图所示，则五无）的解析式可以是（）

A.7（x）=错误!B.火龙）=错误！

C.f（x）=错误！一1D./（x）=x一错误！

【答案】A

【解析】由函数图象可知，函数/(x)为奇函数,应排除B,C„若函数为/(x)=无一错误!，贝Ux-+oo时,

f(%)—»+<»,排除D,故选A。

(四)函数图象应用

2一：无wo

例4(2018全国卷I)设函数/(x)=<，则满足/(x+D</(2x)的x的取值范围是

1,x>0

A.(-oo,-l]B,(0,+oo)C.(-1,0)D.(-oo,0)

【答案】D

【解析】当x<0时，函数f(x)=2T是减函数，则/仁)>>'(0)=1,作出了(公的大致图象如图所示,

【名师点睛】该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的

问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函

数,从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组,

从而求得结果。

【变式1】【改编条件】如图，已知函数f(x)的图象为折线4cB(含端点48),其中4(一4,0)方(4,0),C(0,4),

则不等式f(久)>log2。+2)的解集是.

【解析】在同一坐标系中作出函数),=〃幻和y=logKx+2)的图像，易知当x=2时，

/(x)=Iog2(x+2)=2,...不等式，(x)>1端(1+2)的解集是|-4.2).

【变式2】【改变结论】在直角坐标系中，如果相异两点4(助),5(-。,")都在函数丫=。)的图象上,那么称43

，71

为函数y=f(x)的一对关于原点成中心对称的点(48与为同一对).函数f(x)=，c°s齐，”-0的图象上关

log7x,x>0

于原点成中心对称的点有()

A.1对B.3对C.5对D.7对

【答案】C

【解析】因为y=log7x,x>。关于原点对称的函数解析式为y=-log7(-x),x<0,

'7T

所以函数f(x)=，C0S2X，X-°的图象上关于原点成中心对称的点的组数，

log7x,x>0

7T

就是y=cos^x,x<0与为y=-log7(^-x),x<0图象交点个数，

7T

同一坐标系内，画出y=cos*<0与y=-log7(-x\x<0图象,如图，

由图象可知，两个图象的交点个数有5个，

'71

C°S2X，X~°的图象上关于原点成中心对称的点有5组，故选C.

log7x,x>0

【数学思想】

①数形结合思想：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质;利用函

数的图象，还可以判断方程/(x)=g(X)的解的个数、求不等式的解集等.

②分类讨论思想：画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图象.

【温馨提示】

①在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的X,y变换”的原则，写出每一次的变换所

得图象对应的解析式，这样才能避免出错.

②明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称,且为偶函数,

后者是两个不同函数的对称关系.

③画函数的图象或研究函数的性质时，一定要注意定义域的限制.

④判断函数y=/(x)的奇偶性时，注意观察函数的定义域是否关于原点对称，同时注意“函数的定义域关于

原点对称''与"奇函数的图象关于原点对称”的内涵是不同的.

⑤注意对抽象函数y=/(X)的对称性与周期性的识别，如/(«+X)=和f(x+a)=f(x-a)在形

式上相近，有时难以区分，可以对比学习.

【典例试题演练】

1.12018河北保定市联考】函数/(x)=l+log2X与g(x)=2「x在同一直角坐标系下的图象大致是()

【答案】C

【解析】由g(O)=2排除B,D,由/。)=1排除A,故选C.

1x1Znlxl

2。【湖南省三湘名校教育联盟2019届一联考】函数人幻=^^」的图象大致为()

【解析】因为/(-*)=二个=&=〃£,所以是偶函数，可得图象关于)轴对称，排除CC当

x>0时，/(幻=产/(1)=0/©<0,排除B,故选A.

3.12018湖南长沙市长郡中学冲刺】已知函数y=〃x)的图象如图所示，则函数g(x)=/(〃x))的图象

可能是()

【解析】因为〃/(—x))=/(〃x))，所以去掉A,B;又g⑴=〃0)=—1,所以去掉D,故选C。

4。【云南省曲靖一中2019届质监三】已知函数f(x)的图象如图所示，则门幻的解析式可以是()

.1.exZn|x|1

A.rw=--lB./(x)=-C./(%)=—D.=

x1XX|x|

【答案】A

【解析】由题意得函数f(x)的定义域为(-sO)u(O,+s),为偶函数，且在(O.+s)上单调递减.

对于选项A,函数外月满足条件，故A正确.

对于选项B,函数f(行为非奇非偶函数，所以3不正确.

对于选项C,函数〃灯为奇函数，所以C不正确.

对于选项D,函数为偶函数，但在(O.+s)上为增函数，所以D不正确，故选A.

5。【四川省攀枝花市2019届一联考】函数-X)=%±U的大致图象为()

%+1

【解析】当XT—8时，f(%)<0,可排除选项RD；当％=-1.1时，/(%)>0,可排除选项。,故选人。

6.【广西南宁市等三市2019届摸底】函数((>)=%2+)因的图象大致为()

A.B.

C.D.

【答案】A

1

【解析】函数/(%)=/+加因是偶函数，排除选项B,C;当x>0时，/(%)=/+m％,f'(x)=2x+->0,

・•・/(%)在(0,+8)上单调递增，排除D,故选A

l/ix+1

7。【河北省武邑中学2019届三调】设函数y=a/与函数y=|-----1的图象恰有3个不同的交点，则实数a的

ax

取值范围为()

A.冬,0B.(_£e,0)U(0,£e)C.(0,1e)D.(。1)U{fe}

【答案】C

【解析】令ax'l与”得a;x5=Inx-l,显然a>0,x>。，作出y=a：x：和y=lnx-l的函数图象，如图所示，

设2=a：)时，y=a?x3和y=lnx-l的函额图象相切，切点为(x”y0),

'3a2x2=—

则°°"，解得x()=e-=，丫0=>即=T，...当口《学寸，y=a*和y=lnxT的函数图

明=%+133

象有三个交点，故选：C.

【答案】A

【解析】/(-X)=-=•=-f(X),所以不选B:

e**-11-e**

e'-lHO=xwO,x—>。时j—>0:x—>+x时j—>0:,所以选A.

9。【北京市朝阳区2019届上学期期中】已知函数/㈤=0当;W团<|时，方程f(%)=-|x+m

的根的个数为0

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

10.【辽宁省丹东市2019届高三10月底测】如图，阴影部分由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3

的两矩形所构成.设函数S=S(a)(aK))是图中阴影部分介于平行线y=0,及y=a之间的那一部分的面积,

则函数S(a)的图象大致为()

【答案】A

【解析】根据图象可知在［0口上面积增长的速度变慢，在图形上反映出切线的斜率在变小，可排除

在［1,2］上面积增长速度恒定，在［2,3］上面积增长速度恒定，而在［1,2］上面积增长速度大于在［2,3］上面积增长

速度，可排除C,故选A。

X2

11.【山东省济南市历城二中2019届11月考】已知函数/'(%)=/+2--(x<0)与g(%)=%+log2(x+a)的

图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()

A.(-8,_衣)B.(-OO)A/2)C.(-00,272)D.卜2",雄)

【答案】B

r

【解析】由题意可知f(-x)=9(x应(0.+S)上有解，即(一x>2+2--y=^+log2(x+a宙(0.+co)上

有解，所以1咤2。+。)=弓尸一：有正数解，作出j=log式x+a)与y=4)，—：的函数图象，则两图象在

(0.+8)上有交点，

显然，当aWO时，两图象在(0,+8)上恒有交点，当a〉0时，若两图象在(0,+8)上有交点，则

1

log2a<-=log2^2,解得0Va<的,综上a<M，故选B.

12.函数/(尤)=尤a满足/(2)=4,那么函数抵%)=|1。8式X+1)|的图象大致为()

【答案】C

【解析】由函数=满足与2)=4,即尸=4:a=2J(x)=x一则g(x)=|log[x+1)|即

g(x)=|log,(x+l)|,将函数〃(x)=log：x的图像向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x轴下方

的图像折上去，即可知选C.

13.若函数/(%)=与处的图象如图所示，则根的范围为()

厂+m

A.(-oo,-l)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)

【答案】D。

【解析】由图可知，/(x)定义域为R,所以冽〉0,又因为％f+8时，/(x)〉0,所以2-机〉On机＜2,

_(2-m)x_2-m

又因为y(x)是奇函数，所以x〉0时，x2+mm，所以/(x)在(0,而)上单调递

XH

X

增，(而,+oo)上单调递减，所以赤〉1=＞机〉1，综上，实数机的范围是(L2),故选D.

14。【江西省南昌市2018届二轮复习测试】函数f(x)="(l-x)向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大

致图像为()

【解析】将函数八幻=In(l-x)向右平移1个单位，得到函数为j=ln[(l-(x-l)]=ln(2-x),再向上

平移2个单位可得函额为y=ln(2-x)+2,根据复合函数的单调性可知y=ln(2-x)+2在(-s,2比为单

调减函数，目恒过点(1,2〉故C正确，故选C.

15。【山东省郸城一中2019届第一次月考】已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是()

【答案】D

X

【解析】题中所给函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数，函数y=2百，y=不是偶函数，则选项

AC错误；当x=0时，2国—2=20—2=-1<0,与所给的函数图像矛盾，选项3错误，故选D

16。.【湖南省澧县一中2018届高三一轮复习第一次检测】点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动,M

是CD的中点，则当P沿A-B-C-M运动时，点P经过的路程x与AAPM的面积y的函数y=f(x)的图

B

【答案】A

11

【解析】①当点P在AB上时,如图：y=，x%Xl=，％(0<x<l)

•••PB=x-1,PC—2-x,・••y=S正方形△ADM~S△ABP~