人教版初中数学同步讲义八年级上册第01讲 全等三角形的概念与性质（解析版）

第01讲全等三角形的概念与性质课程标准学习目标①全等形的概念②全等三角形的概念③全等三角形的性质理解掌握全等形的概念并能够判断全等图形。理解全等三角形的概念并能够判断全等三角形。掌握全等三角形的性质，并根据全等三角形的性质熟练解决相关题目。知识点01全等形的概念全等形的概念：形状和大小完全一样的两个图形叫做全等形。即能够完全重合的两个图形叫做全等形。题型考点：①概念理解。②全等形判断。【即学即练1】1．下列选项中表示两个全等的图形的是（）A．形状相同的两个图形 B．周长相等的两个图形 C．面积相等的两个图形 D．能够完全重合的两个图形【解答】解：A、形状相同的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误，不符合题意；B、周长相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误，不符合题意；C、面积相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误，不符合题意；D、能够完全重合的两个图形是全等图形，故此选项正确，符合题意；故选：D．【即学即练2】2．下列各项中，两个图形属于全等图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；故选：C．知识点02全等三角形全等三角形的概念：形状和大小完全一样的两个三角形叫做全等三角形。即能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的相关概念：如图，若△ABC与△DEF全等。则其中：能够重合的点叫做全等三角形的对应点。能够重合的边叫做全等三角形的对应边。能够重合的角叫做全等三角形的对应角。用符号“≌”连接，读作全等于。表示△ABC≌△DEF。对应点必须写在对应的位置。题型考点：①判断全等三角形的对应关系。【即学即练1】3．如图，已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，∴这两个三角形的对应边是：BC和EF，AB和DE，AC和DF；对应角是：∠ABC和∠DEF，∠ACB和∠DFE，∠BAC和∠EDF．【即学即练2】4．如图所示，已知△ABE≌△ACD，指出它们的对应边和对应角．【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∴AB的对应边是AC，BE的对应边是CD，AE的对应边是AD，∠B的对应角是∠C，∠BAE的对应角是∠CAD，∠E的对应角是∠D．知识点03全等三角形的性质全等三角形的性质：由全等三角形的性质及其相关概念可知：①全等三角形的对应边相等。对应角也相等。②全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线分别对应相等。③全等的两个三角形它们的周长和面积分别对应相等。【即学即练1】5．如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是（）A．AD＝AE B．DB＝AE C．DF＝EF D．DB＝EC【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∴AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠C，故A正确；∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝EC，故D正确；在△BDF和△CEF中∴△BDF≌△CEF（ASA），∴DF＝EF，故C正确；故选：B．【即学即练2】6．如图，△ABC≌△DEF，EF＝10cm，则BC＝cm．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，EF＝10cm，∴BC＝EF＝10cm．故答案为：10．【即学即练3】7．如图，△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上，AC、DF交于点M，∠ACB＝30°，则∠AMF的度数是°．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE＝∠ACB＝30°，∵∠AMF是△MFC的一个外角，∴∠AMF＝∠DFE+∠ACB＝60°，故答案为：60．【即学即练4】8．已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（）A．2 B．2或 C．或 D．2或或【解答】解：∵△ABC与△DEF全等，∴3+4+5＝3+3x﹣2+2x+1，解得：x＝2，故选：A．题型01利用全等三角形的性质求线段【典例1】如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝5，DE＝2，则CE等于（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【分析】根据全等三角形的性质得到BE＝AC＝5，BC＝DE＝2，结合图形计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△BDE，AC＝5，DE＝2，∴BE＝AC＝5，BC＝DE＝2，∴CE＝BE﹣BC＝5﹣2＝3，故选：B．【典例2】如图，△ABC≌△DEF，点C，D，B，F在同一条直线上，BC＝4，AC＝2，CF＝5，则BD的长为（）A．1 B．2 C．5 D．6【分析】利用全等三角形的对应边相等即可求得答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，BC＝4，AC＝2，CF＝5，∴BC＝EF＝4，DF＝AC＝2，∴BD＝CB+FD﹣CF＝4+2﹣5＝1，故选：A．【典例3】如图，△ABC≌△DCE，若AB＝6，DE＝13，则AD的长为（）A．6 B．7 C．13 D．19【分析】根据全等三角形的性质得出CD＝AB，AC＝DE，根据AD＝AC﹣CD，即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△DCE，AB＝6，DE＝13，∴CD＝AB＝6，AC＝DE＝13，∴AD＝AC﹣CD＝13﹣6＝7，故选：B．【典例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为（）A．8cm B．12cm C．12cm或6cm D．12cm或8cm【分析】分两种情况，由全等三角形对应边相等，即可解决问题．【解答】解：当△BCA≌△PAQ时，∴AP＝BC＝6cm，当△BCA≌△QAP时，∴PA＝AC＝12cm，∴AP的值是6cm或12cm．故选：C．题型02利用全等三角形的性质求角度【典例1】如图，△ABC≌△ADE，∠B＝28°，∠E＝95°，∠EAB＝20°，则∠BAD为（）A．77° B．62° C．57° D．55°【分析】根据全等三角形的对应角相等得到∠D＝∠B＝28°，根据三角形内角和定理求出∠EAD，进而求出∠BAD．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝28°，∴∠D＝∠B＝28°，∴∠EAD＝180°﹣∠E﹣∠D＝180°﹣95°﹣28°＝57°，∴∠BAD＝∠EAB+∠EAD＝57°+20°＝77°，故选：A．【典例2】如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．71° B．59° C．49° D．50°【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是a、b边的夹角，然后写出即可．【解答】解：∵三角形内角和是180°，∴a、b边的夹角度数为：180°﹣71°﹣50°＝59°，∵图中的两个三角形全等，∴∠α等于59°，故选：B．【典例3】已知△AEC≌△ADB，​若∠A＝50°，∠ABD＝40°，则∠1的度数为（）A．40° B．25° C．15° D．无法确定【分析】由全等三角形的性质可得AB＝AC，由等腰三角形的性质可求∠ABC的度数，即可求解．【解答】解：∵△AEC≌△ADB，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝65°，∴∠1＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣40°＝25°，故选：B．【典例4】如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，DF与BC交于点G．若∠A＝26°，∠CGF＝83°，则∠E的度数是（）A．34° B．36° C．38° D．40°【分析】根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝26°，根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵CD平分∠BCA，∴，∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝26°，又∵∠CGF＝∠D+∠BCD，∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝83°﹣26°＝57°，∴∠BCA＝2×57°＝114°，∴∠B＝180°﹣26°﹣114°＝40°，∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝40°，故D正确．故选：D．题型03全等三角形的面积与周长【典例1】已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12cm，面积为6cm2，则△DEF的周长为cm，面积为cm2．【分析】利用全等三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴△ABC与△DEF的面积相等，周长相等，∵△ABC的周长为12cm，面积为6cm2，∴△DEF的周长为12cm，面积为6cm2，故答案为12，6．【典例2】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝6，DO＝2，平移距离为4，则阴影部分面积为（）A．20 B．24 C．28 D．30【分析】根据平移性质得到阴影部分面积等于梯形ABEO的面积，然后利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：由平移性质得△ABC≌△DEF，BE＝4，DE＝AB＝6，AB∥DE，∴S△ABC＝S△DEF，OE＝DE﹣DO＝4，∠ABC＝∠DEF＝90°，∴S阴影面积＝S△DEF﹣S△OEC＝S△ABC﹣S△OEC＝S梯形ABEO＝＝20，故选：A．【典例3】如图，若△ABC≌△EBD，且BD＝4，AB＝8，则阴影部分的面积S△ACE＝．【分析】根据“全等三角形的对应边相等”推知AB＝EB＝8，BC＝BD＝4，然后结合三角形的面积公式作答．【解答】解：∵△ABC≌△EBD，BD＝4，AB＝8，∴AB＝EB＝8，BC＝BD＝4，∴EC＝EB﹣BC＝8﹣4＝4．∴S△ACE＝EC•AB＝＝8．故答案为：8．【典例4】如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，E是BD上一点，若△BAD≌△CED，AB＝10，AC＝14，则△CED的周长为（）A．22 B．23 C．24 D．26【分析】直接利用全等三角形的性质得出AB＝EC，AD＝ED，BD＝DC，进而得出答案．【解答】解：∵△BAD≌△CED，∴AB＝EC，AD＝ED，BD＝DC，∵AB＝10，AC＝14，∴AD+DC＝ED+DC＝14，∴△CED的周长为：ED+DC+EC＝AC+EC＝10+14＝24．故选：C．【典例5】如图，△ABC≌△A'B'C′，其中AB＝3，A′C′＝7，B′C′＝5，则△ABC的周长为．【分析】根据全等三角形的性质求解即可．【解答】解：∵△ABC≌△A'B'C′，A′C′＝7，B′C′＝5，∴AC＝A′C′＝7，BC＝B′C′＝5，∵AB＝3，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝15，故答案为：15．【典例6】如图，若△ABC≌△DEF，AC＝4，AB＝3，EF＝5，则△ABC的周长为．【分析】根据全等三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE＝3，AC＝DF＝4，BC＝EF＝5，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3+4+5＝12，故答案为：12．题型04方格中的全等【典例1】如图，在2×3的正方形方格中，每个正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（）A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝180°【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：如图，在△ABC与△BED中，，∴△ABC≌△BED（SAS），∴∠1＝∠DBE．∵∠DBE+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°．故选：C．【典例2】如图所示的2×2的小正方形方格中，连接AB、AC、AD．则下列结论错误的是（）A．∠1+∠2＝∠3 B．∠1+∠2＝2∠3 C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2+∠3＝135°【分析】根据题意知，△ACT≌△ABE，△ACF≌△BAE，所以由全等三角形的对应角相等进行推理论证即可．【解答】解：如图，△ACT≌△ABE，△ACF≌△BAE，则∠4＝∠2，∠1＝∠5．A、∠1+∠2＝∠1+∠4＝90°＞∠3，故符合题意．B、∠1+∠2＝2∠3＝90°，故不符合题意．C、∠1+∠2＝∠1+∠4＝90°＞∠3，故不符合题意．D、∠1+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠3＝90°+45°＝135°，故不符合题意．故选：A．【典例3】如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（）A．180° B．150° C．90° D．210°【分析】根据SAS可证得△ABC≌△EDC，可得出∠BAC＝∠DEC，继而可得出答案．【解答】解：由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠BAC＝∠1，∴∠1+∠2＝180°．故选：A．【典例4】如图，是一个4×4的正方形网格，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于（）A．585° B．540° C．270° D．315°【分析】根据正方形的轴对称性得∠1+∠7＝180°，∠2+∠6＝180°，∠3+∠5＝180°，∠4＝45°．【解答】解：由图可知，△ABO≌△CDO（SAS），∴∠1＝∠OCD，∵∠OCD+∠7＝180°，∴∠1+∠7＝180°，同理得，∠2+∠6＝180°，∠3+∠5＝180°．又∠4＝45°，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝585°．故选：A．1．与如图全等的图形是（）A． B． C． D．【分析】根据全等形的定义逐个判定即可得到答案；【解答】解：由题意可得，A、图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；B、图形与题干图形形状一样，故符合题意；C、图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；D、图形与题干图形形状不一样，故不符合题意．故选：B．2．下列说法中，正确的有（）①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A＝∠D，AB＝EF．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质判断即可．【解答】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误；全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确；若△ABC≌△DEF，∠A的对应角为∠D，所以∠A＝∠D，AB的对应边为DE，所以AB＝DE，故④说法错误；说法正确的有③，共1个．故选：A．3．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3的度数为（）A．90° B．105° C．120° D．135°【分析】根据对称性可得∠1+∠3＝90°，∠2＝45°．【解答】解：观察图形可知，∠1所在的三角形与∠3所在的三角形全等，∴∠1+∠3＝90°，又∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝135°，故选：D．4．如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（）A．FC＝BD B．EF平行且等于AB C．AC平行且等于DE D．CD＝ED【分析】利用全等三角形的性质进行推理即可．【解答】解：A、∵△ABC≌△EFD，∴FD＝CB，∴FD﹣CD＝BC﹣CD，即FC＝BD，故此选项不合题意；B、∵△ABC≌△EFD，∴∠F＝∠B，EF＝AB，∴EF∥AB，故此选项不合题意；C、∵△ABC≌△EFD，∴∠FDE＝∠BCA，∴AC∥DE，AC＝DE，故此选项不合题意；D、不能证明CD＝ED，故此选项符合题意；故选：D．5．如图，在△ABC中，在边BC上取一点D，连接AD，在边AD上取一点E，连接CE．若△ADB≌△CDE，∠BAD＝α，则∠ACE的度数为（）A．α B．α﹣45° C．45°﹣α D．90°﹣α【分析】根据全等三角形的性质可得∠ADB＝∠CDE，AD＝CD，∠DCE＝∠BAD，进一步可得∠CDE＝90°，∠ACD＝45°，即可求出∠ACE的度数．【解答】解：∵△ADB≌△CDE，∴∠ADB＝∠CDE，AD＝CD，∠DCE＝∠BAD，∵∠ADB+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝90°，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∵∠BAD＝α，∴∠DCE＝α，∴∠ACE＝45°﹣α，故选：C．6．如图，N，C，A三点在同一直线上，N，B，M三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM的度数等于（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A＝30°，∠BCA＝100°，∠ABC＝50°，根据全等三角形的性质得出∠NCM＝∠ACB＝100°，∠N＝∠ABC＝50°，BC＝NC，求出∠NBC＝∠N＝50°，求出∠BCN的度数即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝30°，∠BCA＝100°，∠ABC＝50°，∵△MNC≌△ABC，∴∠NCM＝∠ACB＝100°，∠N＝∠ABC＝50°，BC＝NC，∴∠NBC＝∠N＝50°，∴∠BCN＝180°﹣∠N﹣∠NBC＝80°，∴∠BCM＝∠ACB﹣∠BCN＝100°﹣80°＝20°，故选：B．7．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝96°，则∠BAC的度数的值为（）A．84° B．42° C．48° D．60°【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，根据等腰三角形的性质得出∠ABD＝∠ADB＝96°，求出∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝42°，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠ADB，求出∠BAC＝∠ADB即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝96°，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝42°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝ADB，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＝∠ADB＝42°，故选：B．8．如图，△ABC≌△ADE，D在BC上，连接CE，则以下结论：①AD平分∠BDE；②∠CDE＝∠BAD；③∠DAC＝∠DEC；④AD＝DC．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由△ABC≌△ADE，推出AB＝AD，AC＝AE，∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，再由等腰三角形的性质，可以求解．【解答】解：AC和DE交于O，∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE，∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，∴∠B＝∠ADB，∠BAD＝∠CAE，∠ACE＝∠AEC，∴∠ADB＝∠ADE，∠ACE＝∠ADB＝∠ADE，∴AD平分∠BDE，∵∠AOD＝∠EOC，∴∠DAC＝∠DEC，∵∠CDE+∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，由条件不能推出AD＝DC，∴①②③正确．故选：C．9．如图，Rt△ABC≌Rt△EDC，且点B，C，E共线，若△ABC的面积为6，BE＝7，则AD＝．【分析】设AC＝b，BC＝a且b＞a，根据Rt△ABC≌Rt△EDC得EC＝AC＝b，DC＝BC＝a，则BE＝EC+BC＝b+a＝7，由△ABC的面积为6得ab＝12进一步得到（b﹣a）2＝1，即可得到答案．【解答】解：设AC＝b，BC＝a且b＞a，∵Rt△ABC≌Rt△EDC，∴EC＝AC＝b，DC＝BC＝a，∴BE＝EC+BC＝b+a＝7，∵△ABC的面积为6，∴，∴ab＝12，∵（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab＝72﹣4×12＝1，∴．故答案为：1．10．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝7，DP＝3，平移距离为4，则阴影部分的面积为．【分析】根据平移的性质分别求出BE、DE，根据题意求出PE，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：由平移的性质知，BE＝4，DE＝AB＝7，∴PE＝DE﹣DP＝7﹣3＝4，根据题意得：△ABC≌△DEF，∴S△ABC＝S△DEF，∴S阴影＝S梯形ABEP＝，故答案为：22．11．如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE，成立的有个．【分析】根据全等三角形的性质得出AC＝BE，CD＝BC，∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE，根据以上结论即可推出AC＜BC，∠D≠∠BED，∠ACB＝90°，AD+DE＝CD＝BC＞BE，即可判断各个小题．【解答】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC，∴AC＝BE，∵在Rt△BEC中，BE＜BC，∴AC＜BC，∴①错误；∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD，∴∠D≠∠BED，∴AD和BE不平行，∴②错误；∵Rt△ACD≌Rt△EBC，∴∠ACD＝∠CEE，∠D＝∠BCE，∵∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BDE＝90°，∴③正确；∵Rt△ACD≌Rt△EBC，∴AD＝CE，CD＝BC，CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC，∵BE＜BC，∴AD+DE＞BE，∴④错误；故答案为：1．12．如图，CA⊥AB于点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为秒．【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC＝BE，AB＝BE进行计算即可．【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8﹣4＝4，∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8+4＝12，∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，AE＝8+8＝16，点E的运动时间为16÷2＝8（秒），故答案为：2，6，8．13．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB边上，DE与AC相交于点F．（1）若AE＝2，BC＝3，求线段DE的长；（2）若∠D＝35°，∠C＝50°，求∠AFD的度数．​【分析】（1）由△ABC≌△DEB，得到BE＝BC＝3，DE＝AB，而AB＝AE+BE＝2+3，即可得到DE＝5；（2）由△ABC≌△DEB，得到∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝50°，由三角形外