认识无理数（分层练习）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.2认识无理数（分层练习）一、单选题1．下列实数，，，，中，无理数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列各数中属于无理数的是(

)A． B． C． D．3．下列说法不正确的是（）A．无理数是无限不循环小数B．无限小数是无理数C．任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数D．含有的数是无理数4．在…，，0，，中，这5个数中，无理数的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．下列各数中，是无理数的是（

）A． B．1.5C．面积为2的正方形的边长 D．3.14159266．下面四个数中，负数是（）A． B． C．0 D．7．下列各数中，无理数是（

）A． B． C．0.6 D．5.2121218．下列各数中，无理数是(

)A． B． C． D．9．下面的说法中，正确的是（

）A．分数包括小数 B．无限循环小数是无理数C．有理数和无理数统称实数 D．无限不循环小数可以写成分数的形式10．在实数0，，，3.415926，，1.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．写出一个比5小的正无理数是______．12．举例说明命题“两个无理数、的和一定是无理数”是假命题，________，________．13．写出一个无理数，使得，则可以是________（只要写出一个满足条件的即可）．14．请你写出两个和为1的无理数：_____．15．下列各数：0.5，0，1.26850349，，，0.21212112…（相邻两个2之间1的个数逐次加1），其中无理数有_____个．16．在﹣1、0、0.101001…、π、5.1、7的6个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是_____．17．能说明命题“两个无理数、的和一定是无理数”是假命题的一组，的值可以是______．18．公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个无理数______．三、解答题19．把下列各数的序号分别填入相应的括号里：①；②…；③；④；⑤；⑥；（1）负数集合：{

…}；（2）无理数集合：{

…}；20．把下列各数填入它所属的集合内：，0，，，，300，，，．负数集合：{…}；非负整数集合：{…}；分数集合：{…}；(4)无理数集合：{…}．21．已知数0.101001000100001…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0．这个数是有理数还是无理数？为什么？22．两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是无理数吗？请举例说明．23．设面积为5π的圆的半径为a．(1)a是有理数吗？说说你的理由；(2)估计a的值（结果精确到0.1），并利用计算器验证你的估计；(3)如果结果精确到0.01呢？24．如图，等边三角形的边长为，高为，可能是整数吗？可能是分数吗？参考答案1．B【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数为无理数，即可解答．【详解】解：无理数有，，故选：B．【点拨】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键．2．B【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．【详解】解：在、、、中，、、是有理数，是无理数，故选：B．【点拨】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．3．B【分析】根据无理数的定义逐个判断，即可进行解答．【详解】解：无限不循环小数是无理数，故B不正确，符合题意；故选：B．【点拨】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握：无限不循环小数是无理数．4．A【分析】无理数数是无限不循环小数，根据定义判断即可．【详解】解：在…，，0，，中，…和是无理数．故选：A【点拨】此题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．5．C【分析】根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可．【详解】解：是分数，1.5、3.1415926是有限小数，均为有理数，故A、B、D不符合要求；面积为2的正方形的边长为，是无理数，故C符合要求；故选：C．【点拨】本题考查了无理数的定义．熟练掌握无理数的定义是解题的关键．6．D【分析】利用正数负数的定义判断．【详解】解：，，0，四个数中，只有是负数．故选：D．【点拨】本题考查了正数负数，解题的关键是掌握正数负数的定义．7．A【分析】根据无理数的定义判断即可．【详解】解：在，，0.6，5.212121中，无理数是．故选：A．【点拨】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括以下三方面的数：①含的，如，②开方开不尽的根式，如，③一些有规律的数，如0.010010001...．8．B【分析】根据无理数的概念“无限不循环小数”进行判断即可，常见的无理数有、根式、无限不循环小数．【详解】解：、、是有理数，是无理数，故选：B．【点拨】本题考查了无理数的概念；熟练掌握无理数的概念是解题的关键．9．C【分析】根据分数与无理数、有理数的关系即可求解．【详解】A、分数包括有限小数和无限循环小数，无限不循环小数不能化为分数，故此选项错误；B、无限不循环小数是无理数，故此选项错误；C、有理数和无理数统称实数，故此选项正确；D、无限不循环小数不可以写成分数的形式，故此选项错误；故选：C．【点拨】本题考查分数与无理数、有理数的关系，解题的关键是明确无限不循环小数不能化为分数．10．B【分析】直接根据无理数的定义判断即可．【详解】在实数0，，，3.415926，，1.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有，1.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）共2个，故选B．【点拨】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．11．（答案不唯一）【分析】根据正无理数的定义即可求解．【详解】解：∵，∴，故答案为：（答案不唯一）．【点拨】本题考查正无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．12．【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一对a、b的值即可．【详解】解：当时，是有理数，故答案为：，（答案不唯一）．【点拨】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的反例，难度不大．13．（答案不唯一）【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，根据无理数的定义写一个无理数，满足即可．【详解】解：无理数的三种形式为：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．只要写出一个满足条件的即可，比如：．故答案为：（答案不唯一）．【点拨】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的三种形式是解题的关键．14．与（答案不唯一）【分析】根据无理数加法求解即可．【详解】解：两个和为1的无理数：与，和为：，符合题意，故答案为：与（答案不唯一）【点拨】此题主要考查了无理数的加法，熟练掌握运算法则是解题关键．15．2【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】在0.5，0，1.26850349，，，0.21212112…（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数有，0.21212112…（相邻两个2之间1的个数逐次加1），一共2个．故答案为：2．【点拨】本题主要考查了无理数的定义，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．16．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵在-1、0、0.101001、π、5.1、7的6个数中，-1、0、7是整数，有理数；5.1是有限小数，有理数；无理数有0.101001…、π共2个，∴随机抽取一个数，抽到无理数的概率是，故答案为：．【点拨】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．17．，（答案不唯一）【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一组，的值即可．【详解】解：当，时，，，时，是有理数．故答案为：，（答案不唯一）．【点拨】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的反例．18．π（答案不唯一）【分析】根据无理数的定义，即可写出答案．【详解】解：由题意可得，π是无理数．故答案为：π(答案不唯一)．【点拨】此题考查了无理数的定义，关键是掌握无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，比较简单．19．（1）①⑥；（2）②④【分析】根据无理数和负数的定义进行逐一判断即可．【详解】解：①-3是有理数，是负数；②…是无限不循环小数，是无理数，是正数；③0是有理数，既不是正数也不是负数；④是正数，是无理数；⑤是正数，是有理数；⑥-9是负数，是有理数，（1）负数集合：{①⑥…}；（2）无理数集合：{②④…}．【点拨】本题主要考查了无理数和负数的定义，解题的关键在于能够熟知二者的定义．20．(1)，，(2)0，300(3)，，，，(4)，【分析】（1）根据负数定义即可得到答案．（2）写出0和正整数即可．（3）根据分数定义即可得到答案．（4）根据无理数定义即可得到答案．（1）解：负数有：，，故答案为：，，．（2）解：非负整数有：0，300故答案为：0，300．（3）解：分数有：，，，，故答案为：，，，，．（4）解：无理数有：，故答案为：，．【点拨】本题考查了实数分类，理解实数、有理数、无理数定义是解题关键．易错点总结：大于0的数叫正数，只看符号；分数容易漏掉无限循环小数，无限循环小数可以转化成分数，属于分数，也是有理数．21．无理数．因为这个数是无限不循环小数，所以它是无理数．【分析】根据无理数的定义解答．【详解】解：∵数0.101001000100001…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0，∴这个数是无理数，因为这个数是无限不循环小数，所以它是无理数．【点拨】此题考查无理数的定义：无限不循环小数是无理数．熟记定义是解题的关键．22．不一定，见解析【分析】根据无理数的特点,各举出一个反例即可．【详解】不一定，理由如下：无理数，无理数-，它们的和为：+（-）=0，是有理数；-=0，是有理数；×=2，是有理数；是有理数，∴两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果不一定还是无理数，举例不唯一．【点拨】本题考查了无理数的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．23．(1)a不是有理数，见解析(2)a≈2.2(3)a≈2.24【详解】a不是有理数．理由如下：因为πa2＝5π，所以a2＝5．因