七年级数学下册讲义（北师大版）第二章第02讲 平行线的判定和性质(10类热点题型讲练)（解析版）

第02讲平行线的判定和性质(10类热点题型讲练)1．掌握同位角、内错角、同旁内角的位置关系；2．掌握利用同位角、内错角、同旁内角判定判定两条直线平行的条件，并能解决一些问题；3．掌握平行线的性质与判定的综合运用；4．体会平行线的性质与判定的区别与联系．知识点01同位角、内错角、同旁内角的概念1.同位角、内错角和同旁内角：填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB，CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）.具有这种位置关系的一对角是同位角.(2)如图，∠3和∠5，在直线AB，CD之间，在直线EF的两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角.(3)如图，∠3和∠6，在直线AB，CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角.(2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角.(3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角.知识点02平行线的定义及表示(1)定义：在同一平面内内，不相交的两条直线.(2)表示：平行用“∥”符号表示，读作“平行于”.1.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行 (2)相交2.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”.【注意】平行线的画法四字诀1.“落”：三角板的一边落在已知直线上；2.“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边；3.“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点；4.“画”：沿三角板过已知点的边画直线.知识点03平行公理及推论(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c.【注意】平行公理(1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性.(2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线.知识点04平行线的判定方法平行线的判定方法1：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)，∴AB∥CD.平行线的判定方法2：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)，∴AB∥CD.平行线的判定方法3：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)，∴AB∥CD.平行线的其他判定方法：(1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行.(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【总结】判定两直线平行的方法方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线.方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.方法三：同位角相等，两直线平行.方法四：内错角相等，两直线平行.方法五：同旁内角互补，两直线平行.方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.知识点05平行线的性质(1)文字表达：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；②简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错家相等；两直线平行，同旁内角互补；(2)几何语言表述：已知，如图所示，若AB∥CD，则①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)；②内错角：∠2=∠8(或∠3=∠5)；③同旁内角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°).题型01同位角、内错角、同旁内角的辨别【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，下列结论正确的是（

）A．与是对顶角B．与是同位角C．与是同旁内角D．与是同旁内角【答案】D【分析】本题考查同位角同旁内角、对顶角，根据同位角、同旁内角、对顶角的定义进行判断，熟练掌握各角的定义是解题的关键．【详解】A、与是对顶角，故本选项错误，不符合题意；B、与是同位角，故本选项错误，不符合题意；C、与没有处在两条被截线之间，故本选项错误，不符合题意；D、与是同旁内角；故本选项正确，符合题意；故选：D．【变式训练】1．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示，有下列五种说法：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角；⑤和是同旁内角；其中正确的是（）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤【答案】D【分析】本题考查了同位角、内错角以及同旁内角的定义，根据内错角、同位角以及同旁内角的定义寻找出各角之间的关系，再比照五种说法判断对错，即可得出结论．【详解】解：根据内错角、同位角以及同旁内角的定义分析五种说法．①和是同位角，即①正确；②和是内错角，即②正确；③和是内错角，即③不正确；④和是同位角，即④正确；⑤和是同旁内角，即⑤正确．故选：D．2．（2023下·广东河源·七年级期中）如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（

）

A．与是同位角 B．与是内错角C．与是对顶角 D．与是同旁内角【答案】B【分析】本题考查相交直线所成相关角的概念，解答关键是熟知同位角、内错角、同旁内角、对顶角的相关概念和判断方法．【详解】解：A．与是直线a、直线b被直线c所截，所得到的同位角，因此选项A不符合题意；B．与是直线a、直线c被直线b所截，所得到的同位角，因此选项B符合题意；C．与是对顶角，因此选项C不符合题意；D．与是直线b、直线c被直线a所截，所得到的同旁内角，因此选项D不符合题意；故选：B．题型02同位角相等，两直线平行【例题】根据要求完成下面的填空：如图，直线，被所截，若已知．

（______），又（已知），____________，∴____________（______）．【详解】（对顶角相等），又（已知），，（同位角相等，两直线平行），故答案为：对顶角相等，1，3，,，同位角相等，两直线平行．【变式训练】1．请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：如图，，与平行吗？为什么？

解：．理由如下：∵（已知），∴________°即________°（

）又∵（

），且（已知）∴（

）∴（

）【详解】解：．理由如下：∵（已知），∴，即（等量代换）又∵（已知），且（已知）∴（等角的补角相等）∴（同位角相等，两直线平行）．故答案为：，等量代换，已知，等角的补角相等，同位角相等，两直线平行．2．如图，已知，，，．与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空或填写理由．

解：与平行；与平行，理由如下：，（________）（________）（________________________）；又（________）同理可得（________）∴（________）（________）（_____________________________）．【详解】解：与平行；与平行，理由如下：，(同位角相等，两直线平行)；又同理可得(同位角相等，两直线平行)．题型03内错角相等，两直线平行【例题】如图，交于，交于，交于，，，试判断和的位置关系，并说明为什么．【详解】解：．理由：，，，，∴．【变式训练】1．推理填空：已知：如图于B，于C，，求证：．

证明：∵于B，于C（已知）∴∴与互余，与互余又∵（），∴＝（）∴（）．【详解】解：∵于B，于C（已知）∴∴与互余，与互余又∵（已知），∴（等角的余角相等）∴（内错角相等，两直线平行）．2．如图，直线交于点O，分别平分和，已知，且．(1)求的度数；(2)试说明的理由．【详解】（1）∵分别平分和，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∴．题型04同旁内角互补，两直线平行【例题】如图，已知直线被直线所截，平分，平分，，吗？为什么？解：∵平分，平分（已知），∴___________，___________，∴___________（），∵（），∴___________°，∴．【详解】解：平分，平分（已知），，，（等量代换）（已知），，．【变式训练】1．如图，．试说明，根据图形，完成下列推理：∵（已知）∴（等量代换）∴________//_________（_______________）∵相交，∴（____________）∵∴∴（___________________）【详解】∵（已知）∴（等量代换）∴(同位角相等，两直线平行）∵AB，DE相交，∴（对顶角相等）∵∴

∴(同旁内角互补，两直线平行)故答案为：，，同位角相等，两直线平行；对顶角相等；，，同旁内角互补，两直线平行．2．完成下面的证明．已知：如图，直线a，b，c被直线l所截，，．求证：．

证明：∵，∴______（______）．∵，∴______（______）．∴（______）．【详解】证明：∵，∴b（同旁内角互补，两直线平行）．∵，∴c（同位角相等，两直线平行）．∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．题型05平行线及平行公理【例题】如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：．解：因为（已知）（___________）所以___________=___________（等量代换）所以______________________（___________）又因为（已知）所以______________________（___________）【详解】解：因为（已知）（对顶角相等）所以2=3（等量代换）所以ac（同位角相等，两直线平行）又因为（已知）所以bc（平行于同一直线的两条直线互相平行）【变式训练】1．如图所示，直线相交于点O，平分，平分，，垂足为点H，与平行吗？说明理由．

【详解】解：，理由如下：∵平分，平分，∴，，∵，∴，即，∵，∴．2．如图，，，垂足分别是，，．(1)判断与的位置关系；（不需要证明）(2)求证：．【详解】（1）解：∵，，∴．（2）证明：，，（等式的性质），即，（同位角相等，两直线平行）．题型06添加一条件使两条直线平行【例题】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，写出能判定的一个条件（写出一个即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】本题主要考查了平行线的判定．要判断，要看它们的截线所构成的“三线八角”图中各角的位置关系，根据平行线的判定定理解答即可．【详解】解：∵，∴（内错角相等，两直线平行）；∵，∴（同旁内角互补，两直线平行）；∵，∴（内错角相等，两直线平行）；∵，∴（同旁内角互补，两直线平行）；故答案为：（答案不唯一）．【变式训练】1．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是．（填序号）

【答案】①②④【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断即可解答．【详解】解：①，能判断，故此选项符合题意；②，，故此选项符合题意；③，，故此选项不符合题意；④，，故此选项符合题意，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了平行线的判定条件，即内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟知上述判定条件是解题的关键．2．（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，垂足为，且，若增加一个条件使得，试写出一个符合要求的条件．

【答案】．（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可．【详解】解：可以添加条件，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．题型07根据平行线的性质求角度【例题】（2023下·新疆阿克苏·七年级校考期末）如图，，直线分别交、于点、，平分，，求的度数．

【答案】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义结合平角的定义即可求解．【详解】解：如图所示，

∵，∴∵平分∴∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质、求出是关键．【变式训练】1．（2023下·浙江金华·七年级校联考期末）如图，点在的延长线上，连接，作的角平分线分别交线段，于点，点，已知，．

(1)试说明；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据平行线的性质可得；（2）根据平行线的性质可得，根据平行线的性质得出，，根据（1）的结论得出，，进而根据，即可求解．【详解】（1）解：∵平分，∴，∵∴，（2）解：∵，，∴，∵，∴，．∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2023下·贵州黔南·七年级统考期末）如图，已知，，，点E在线段上，，点F在直线上，．

(1)图中与相等的角有__________；(2)若，求的度数；(3)在（2）的条件下，点C（点C不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线的方向运动，其他条件不变，求的度数．【答案】(1)，，(2)(3)或【分析】（1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与相等的角；（2）根据，，可得，再根据，即可得到；（3）分两种情况讨论：当点C在线段上；点C在延长线上，根据平行线的性质，即可得到的度数为或．【详解】（1）解：，，，，，，，，；与相等的角为，，；（2）解：，，，，；（3）解：分两种情况进行讨论：①如图a，当点C在线段上时，点F在的延长线上，此时，，；②如图b，当点C在的延长线上时，点F在线段上．，，，综上所述，的度数为或．

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．题型08平行线的性质在生活中的应用【例题】（2023下·全国·七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是．【答案】/度【分析】首先过作，根据，可得，进而得到，，然后可求出的度数．【详解】解：如图所示，过作，，，又，，，，，故答案为：．【点睛】此题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式训练】1．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底C处射线X是光线的延长线，，，则的度数为．【答案】/17度【分析】由平行线的性质可知，再根据对顶角相等得出，最后由求解即可．【详解】解：∵，∴．∵,∴．故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等．利用数形结合的思想是解题关键．2．（2023下·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为．

【答案】/30度【分析】过点作．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论．【详解】解：过点作．，．．，．，．．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键．题型09平行线的性质与判定综合应用【例题】（2023上·吉林长春·七年级统考期末）【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为．（不需要证明）【结论应用】（3）如图③，已知，，，则°．【答案】（1）见解析；（2）；（3）20【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．（1）过点作，根据平行线的性质可求解；（2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论；（3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：如图①，过点作，则，又∵，∴，，，即；（2）解：．证明：如图②，过作，，∵，∴，，，即：．故答案为：；（3）如图③，过作，，∵，∴，，，故答案为：20．【变式训练】1．（2023上·湖南岳阳·八年级校考开学考试）如图，，，点F在的延长线上，点C在的延长线上，且平分．

(1)求证：；(2)若，求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据对顶角相等结合题意推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可判定；（2）根据平行线的性质结合题意推出，即可判定，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．【详解】（1）证明：∵（对顶角相等），又（已知），∴（等量代换），∴（同位角相等，两直线平行）；（2）解：由（1）已证可得：（两直线平行，内错角相等），又∵，∴（等量代换），∴（同位角相等，两直线平行），∴（两直线平行，内错角相等），又∵平分，∴，∴，∴．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．2．（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．

(1)与平行吗？为什么？(2)若，求的度数．【答案】(1)平行，见解析(2)【分析】（1），理由如下：由已知条件，，根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得，等量代换得到，即可得出答案；（2）结合（1）根据平行线的性质即可得解．【详解】（1），理由如下：，，，，，；（2），又，，，，．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键．题型10根据平行线的性质与判定探究角的关系【例题】（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，已知直线，且和分别交于A、B两点，点P在直线上．(1)之间的关系为；(2)如果点P在A、B两点之间运动时，之间的关系为；(3)如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，之间关系为．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题考查了平行线性质：两直线平行，内错角相等，平行于同一直线的两条直线平行．（1）过点P作，如图1，由于，则，根据平行线的性质得，，所以；（2）由（1）中的证明过程，可知之间的关系不发生变化；（3）根据题意，画出图形，分点P在延长线上和点P在延长线上两种情况；利用平行线的性质可推出之间的关系．【详解】（1）解：如图1，过点P作，∵，∴（两直线平行，内错角相等），∵（已知），∴（平行于同一条直线的两直线平行），∴（两直线平行，内错角相等），∵，∴（等量代换）；故答案为：；（2）解：由（1）的证明过程知，之间的关系不发生变化；故答案为：；（3）解：过点P作，∵，∴；当点P在延长线上时，如左图，则，，∴，即；当点P在延长线上时，如右图，∵，∴，，∴，即；综上，或．故答案为：或．【变式训练】1．（2023上·黑龙江佳木斯·八年级校考开学考试）如图，已知，，点为射线上任意一点不与点重合，，分别平分和，交射线于点，点．

(1)图中；(2)当时，；(3)随点位置的变化，图中与之间的数量关系始终为，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)不变，：【分析】（1）根据角平分线的定义只要证明即可；（2）想办法证明即可解决问题；（3）不变．可以证明，．【详解】（1）解：，，又，分别平分和，，故答案为：．（2），，又，，，，，故答案为：．（3）不变．理由如下：，，，又平分，，即：：．故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图，已知直线与直线，直线分别交于点E，F，平分交直线于点M，且．

(1)求证：；(2)点G是射线上的一个动点(不与点M，F重合)，平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设．①点G在点F右侧，且，求的度数；②点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出结论．【答案】(1)见解析(2)①；②或【分析】（1）由角平分线的定义即得出，结合题意可证明，即得出；（2）①平分和，可得，从而得到，再由，可得，即可求解；②分两种情况讨论：当点G在点F的右侧，当点G在点F的左侧时，即可求解．【详解】（1）证明：∵平分，∴．又∵，∴，∴；（2）解：①如图1，

∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得．②和之间的数量关系为或．理由如下：当点G在点F的右侧，由（2）得，当点G在点F的左侧时，如图2，

∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，综上所述，和之间的数量关系为或．【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．一、单选题1．（2023下·云南昭通·七年级统考阶段练习）如图，下列条件不能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的判定定理，对各项逐一进行判断即可．【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不符合题意；B、，对顶角相等，不能判定，故此选项符合题意；C、，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，此选项不符合题意；D、，根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．2．（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图所示，以下说法错误的是（

）

A．与是同位角 B．与是同位角C．与是内错角 D．与是同旁内角【答案】C【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可．【详解】解：A、与是同位角，正确，不符合题意；B、与是同位角，正确，不符合题意；C、与不是内错角，错误，符合题意；D、与是同旁内角，正确，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角，解答的关键是理解定义：如果两条直线被第三条直线所截所形成的的角，在两条被截直线之间且在截线两侧的两个角互为内错角；在两条被截直线同一方且在截线同侧的两个角互为同位角；在两条被截线之间且在截线同侧的两个角互为同旁内角．3．（2023上·陕西铜川·八年级统考期末）如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（

）A．∵，（两直线平行，同旁内角互补）B．，（两直线平行，同旁内角互补）C．，（内错角相等，两直线平行）D．，（同位角相等，两直线平行）【答案】A【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，利用平行线的判定方法与性质逐一分析即可得到答案，熟记平行线的判定方法与平行线的性质是解本题的关键．【详解】解：∵，（两直线平行，同旁内角互补），故A符合题意；，（两直线平行，同旁内角互补），故B不符合题意；，（内错角相等，两直线平行），故C不符合题意；，（同位角相等，两直线平行），故D不符合题意；故选A4．（2023上·陕西榆林·八年级校考期末）如图，直线，直线与直线a相交于点P，与直线b相交于点Q，于点P，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了平行线性质，根据两直线平行，同位角相等，平角的定义计算即可．【详解】如图，∵，，∴，∵，∴，故选A．5．（2023上·四川宜宾·七年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，即，①∵，，∴，故①正确；②∵，∴，∴，即，∵，∴，即，故②正确；③由①可得，∴，∴，即，又，∴，即，将代入，化简可得：，故③正确；④∵，，∴，∵，∴，故④正确；正确的个数共有4个，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键．二、填空题6．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图所示的四个图形中，和是同位角的是．（填序号）

【答案】①②④【分析】根据同位角的定义，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】解：①∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；②∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；③∠1与∠2分别是四条直线中的两对直线的夹角，不符合同位角的定义，故它们不是同位角；④∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查同位角的定义，掌握同位角的定义：“两条直线被第三条直线所截，在两条直线的同侧，在第三条直线的同旁的两个角，叫做同位角”，是解题的关键．7．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，直线DE经过点A，请添加一个条件使直线，则该条件可以是．

【答案】＃＃【分析】根据“内错角相等，两直线平行”，可得出答案．【详解】解：由“内错角相等，两直线平行”得：当或时，都有【点睛】本题考查平行线的判定定理．熟记相关定理时解决此题的关键．8．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，，．若，则的度数为．【答案】/度【分析】由对顶角相等可得，再由平行线的性质可求得，，结合已知条件可求得，即可求解．【详解】解：如图，

，，∵，，，，，，．故答案为：【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，如果第一次拐的角是（即），那么第二次拐的角（）是度．【答案】136【分析】此题考查了平行线的性质定理，解题的关键是读懂题意，掌握平行线的性质定理．根据两条直线平行，内错角相等就可以求解．【详解】解：根据题意，所以第二次拐的角是136度，故答案为：136．10．（2023上·黑龙江大庆·八年级大庆一中校考期中）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板如图放置，，，固定的位置不变，将沿方向平移至点F正好落在直线上，再将绕点F顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动当经过t秒时，线段与的一条边平行，则t的值．

【答案】或或【分析】本题考查了平行线的性质．分类讨论、、三种情况，根据平行线的性质确定旋转角的大小即可求解．【详解】解：①当时，如图所示：

∴秒②当时，如图所示：

∵，∴∴秒③当时，如图所示：

∴秒综上所述：t的值为或或三、解答题11．（2023上·新疆克孜勒苏·七年级统考期末）如图，已知，，试判断与的大小关系，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由．解：．理由如下：∵（已知），（_______），∴（_______），∴_______（_______），∴（_______），∵（已知），∴∠______________（_______），∴______________（_______），（_______）．【答案】平角的定义；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等：；B；等量代换；；，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据证明的思路，把证明过程填写完整即可．【详解】．理由如下：∵（已知），（平角的定义），∴（等量代换），∴（内错角相等，两直线平行），∴（两直线平行，内错角相等），∵（已知），∴（等量代换），∴（同位角相等，两直线平行），∴（两直线平行，同位角相等）．故答案为：平角的定义；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等：；B；等量代换；；，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．12．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）在下列解答中，填空（理由或数学式）．如图，已知直线，，．(1)求的度数；(2)求证：直线．解：（1）∵（已知），且（），∴（）．∵（已知），∴（）．∴（等量代换）．证明：（2）∵（），∴（）．又∵（已知），∴（）．【答案】(1)对顶角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；(2)已知；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行【分析】此题考查了平行线的判定与性质．（1）根据对顶角相等求出，再根据“两直线平行，同位角相等”求解即可；（2）根据“内错角相等，两直线平行”推出，再根据“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”即可得解．【详解】（1）解：（已知），且（对顶角相等），（等量代换），∵（已知），（两直线平行，同位角相等），（等量代换）．故答案为：对顶角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；；（2）证明：（已知），∴（内错角相等，两直线平行）．又∵（已知），∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．故答案为：已知；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．13．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，已知，与相交于点E，从点E引一条射线交线段于点F，若，，求证：．证明：∵（已知），∴（两直线平行，同旁内角互补），又∵（已知），∴（____________________），∴__________（____________________），∴__________（____________________），∵（已知），∴（____________________），∵（已知），∴（____________________）．【答案】见解析【分析】本题考查平行线的性质与判定，根据题目已知条件及现有步骤结合平行线的判定和性质定理，即可得到答案．【详解】证明：（已知），∴（两直线平行同旁内角互补），又∵（已知），∴（同角的补角相等）；∴（同位角相等，两直线平行），∴（两直线平行，同位角相等），∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等），∴（已知），∴（等量代换），故答案为：同角的补角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换．14．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）已知：如图，在中，点在边上，分别交，于点，，平分，，

(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【详解】（1）证明：∵，∴．∵．∴．∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，又∵，∴．15．（2023上·四川遂宁·七年级射洪中学校联考阶段练习）如图1，直线，点分别在和上，，平分．(1)试说明：；(2)如图2，若于点，请问与有何数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到；（2）依据，可得，进而得出，再依据即可得证．【详解】（1）解：，，，，平分，，，；（2）解：，理由如下：，，，，，，，．16．（2023上·吉林·七年级东北师大附中校考期末）【感知】如图①，若，平分，求证：．请将下列证明过程补充完整：证明：∵平分，（已知），∴___________（角平分线的定义），∵（已知），∴___________（两直线平行，内错角相等）∴（等量代换）．【探索】如图②，平分，，点在射线上，点在线段上，若，求证：．【拓展】如图③，将【探索】中的点移动到线段的延长线上，其他条件不变，若，请直接写出的度数．

【答案】感知：；；探索：见解析；拓展：【分析】感知：根据角平分线定义和平