2025高考数学一轮复习-8.2.1.2-离散型随机变量的概率分布-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-8.2.1.2-离散型随机变量的概率分布-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．设X是一个离散型随机变量，则下列不能成为X的概率分布列的一组数据是()A．0，eq\f(1,2)，0,0，eq\f(1,2) B．0.1,0.2,0.3,0.4C．p,1－p(0≤p≤1) D.eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，…，eq\f(1,7×8)2．设离散型随机变量X的概率分布列如表：X1234Peq\f(1,10)xeq\f(3,10)eq\f(1,10)则x等于()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)3．已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：X012345P0.10.1a0.30.20.1则P(1≤X≤3)等于()A．0.4 B．0.5C．0.6 D．0.74．已知随机变量X的分布列为X－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)若P(X2<x)＝eq\f(11,12)，则实数x的取值范围是()A．4≤x≤9 B．4<x≤9C．4≤x<9 D．4<x<95．若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为()X0123Peq\f(1,4)aeq\f(1,4)bA.eq\f(1,24) B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,4)6．随机变量X的分布列为X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)7．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(c,kk＋1)，c为常数，k＝1,2,3,4，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))的值为()A.eq\f(4,5) B.eq\f(5,6)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)8．(多选题)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的有()A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3二、填空题9．已知随机变量ξ的分布列如表，则x＝.ξ012Px2xeq\f(1,4)10．某科技小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则P(X＝2)＝.11．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k，k＝1,2,3，则m的值为.三、解答题12．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件甲，乙，丙需要调整的概率分别为0.1,0.3,0.4，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列．13.某大学宣传部组织了这样一个游戏项目：甲箱子里面有3个红球，2个白球，乙箱子里面有1个红球，2个白球，这些球除了颜色以外，完全相同．每次游戏需要从这两个箱子里面各随机摸出两个球．(1)设在一次游戏中，摸出红球的个数为X，求X的分布列；(2)若在一次游戏中，摸出的红球不少于2个，则获奖．求一次游戏中，获奖的概率．14．(多选题)设随机变量ξ的分布列如表：ξ123…20202021Pa1a2a3…a2020a2021则下列说法正确的是()A．当{an}为等差数列时，a2＋a2020＝eq\f(2,2021)B．数列{an}的通项公式可能为an＝eq\f(2022,2021nn＋1)C．当数列{an}满足an＝eq\f(1,2n)(n＝1,2，…，2020)时，a2021＝eq\f(1,22021)D．当数列{an}满足P(ξ≤k)＝k2ak(k＝1,2，…，2021)时，(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2)15．已知随机变量ξ的分布列为ξ－2023Peq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)a若P(ξ2≤x)＝eq\f(3,4)，则实数x的取值范围是.16．在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1,2,3的三个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|x－y|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；(2)求随机变量ξ的分布列．2025高考数学一轮复习-8.2.1.2-离散型随机变量的概率分布-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．设X是一个离散型随机变量，则下列不能成为X的概率分布列的一组数据是(D)A．0，eq\f(1,2)，0,0，eq\f(1,2) B．0.1,0.2,0.3,0.4C．p,1－p(0≤p≤1) D.eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，…，eq\f(1,7×8)解析：根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，而eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,7×8)＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8)，所以D选项不能作为随机变量的分布列的一组概率取值，故选D.2．设离散型随机变量X的概率分布列如表：X1234Peq\f(1,10)xeq\f(3,10)eq\f(1,10)则x等于(D)A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析：由离散型随机变量X的分布列知：eq\f(1,10)＋x＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,10)＝1，解得x＝eq\f(1,2).故选D.3．已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：X012345P0.10.1a0.30.20.1则P(1≤X≤3)等于(C)A．0.4 B．0.5C．0.6 D．0.7解析：因为0.1＋0.1＋a＋0.3＋0.2＋0.1＝1，所以a＝0.2，所以P(1≤X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6.故选C.4．已知随机变量X的分布列为X－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)若P(X2<x)＝eq\f(11,12)，则实数x的取值范围是(B)A．4≤x≤9 B．4<x≤9C．4≤x<9 D．4<x<9解析：由随机变量X的分布列知，X2的可能取值为0,1,4,9，P(X2＝0)＝P(X＝0)＝eq\f(1,3)，P(X2＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,3)，P(X2＝4)＝P(X＝－2)＋P(X＝2)＝eq\f(1,12)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)，P(X2＝9)＝P(X＝3)＝eq\f(1,12)，因为P(X2<x)＝eq\f(11,12)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，所以实数x的取值范围是4<x≤9.故选B.5．若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为(C)X0123Peq\f(1,4)aeq\f(1,4)bA.eq\f(1,24) B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,4)解析：由分布列性质可知a＋b＝eq\f(1,2)，故a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)＝eq\f(1,8)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,4)时，等号成立．故选C.6．随机变量X的分布列为X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于(D)A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，所以b＝eq\f(1,3)，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3)，故选D.7．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(c,kk＋1)，c为常数，k＝1,2,3,4，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))的值为(B)A.eq\f(4,5) B.eq\f(5,6)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：由题意知，eq\f(c,2)＋eq\f(c,6)＋eq\f(c,12)＋eq\f(c,20)＝1，解得c＝eq\f(5,4)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(c,2)＋eq\f(c,6)＝eq\f(5,6).故选B.8．(多选题)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的有(ABD)A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3解析：因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；由分布列知，P(X≥2)＝0.4＋0.2＋0.1＝0.7，P(X≥3)＝0.2＋0.1＝0.3，P(X≤1)＝0.1＋0.2＝0.3，故B、D正确，C错误．故选ABD.二、填空题9．已知随机变量ξ的分布列如表，则x＝eq\f(1,2).ξ012Px2xeq\f(1,4)解析：由x2＋x＋eq\f(1,4)＝1即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝0，解得x＝eq\f(1,2)或x＝－eq\f(3,2)，因为0≤x≤1，所以x＝eq\f(1,2).10．某科技小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则P(X＝2)＝eq\f(15,56).解析：由题意知，从5名男生、3名女生中任选3名同学参加活动，选出女生的人数为2的概率P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56).11．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k，k＝1,2,3，则m的值为eq\f(27,38).解析：P(X＝1)＝eq\f(2m,3)，P(X＝2)＝eq\f(4m,9)，P(X＝3)＝eq\f(8m,27)，由离散型随机变量的分布列的性质知，P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即eq\f(2m,3)＋eq\f(4m,9)＋eq\f(8m,27)＝1，解得m＝eq\f(27,38).三、解答题12．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件甲，乙，丙需要调整的概率分别为0.1,0.3,0.4，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列．解：(1)用A，B，C分别表示事件“设备在一天的运转中，部件甲，乙，丙需要调整”，则P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，P(C)＝0.4.用D表示事件“设备在一天的运转中，部件甲，乙中至少有1个需要调整”，则D＝Aeq\x\to(B)∪Beq\x\to(A)∪AB，P(D)＝P(Aeq\x\to(B)∪Beq\x\to(A)∪AB)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(B)P(eq\x\to(A))＋P(A)P(B)＝0.1×0.7＋0.3×0.9＋0.1×0.3＝0.37.所以部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率为0.37.(2)X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝0.9×0.7×0.6＝0.378，P(X＝1)＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C))＋P(Beq\x\to(A)eq\x\to(C))＋P(Ceq\x\to(A)eq\x\to(B))＝0.1×0.7×0.6＋0.3×0.9×0.6＋0.4×0.9×0.7＝0.456，P(X＝2)＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝0.1×0.3×0.6＋0.1×0.7×0.4＋0.9×0.3×0.4＝0.154，P(X＝3)＝P(ABC)＝0.1×0.3×0.4＝0.012，所以X的分布列为X0123P0.3780.4560.1540.01213.某大学宣传部组织了这样一个游戏项目：甲箱子里面有3个红球，2个白球，乙箱子里面有1个红球，2个白球，这些球除了颜色以外，完全相同．每次游戏需要从这两个箱子里面各随机摸出两个球．(1)设在一次游戏中，摸出红球的个数为X，求X的分布列；(2)若在一次游戏中，摸出的红球不少于2个，则获奖．求一次游戏中，获奖的概率．解：(1)X可以为0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))·eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))·eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,3))＋eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))·eq\f(C\o\al(1,1)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(8,30)＝eq\f(4,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))·eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,3))＋eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))·eq\f(C\o\al(1,1)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))·eq\f(C\o\al(1,1)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(6,30)＝eq\f(1,5)，故X的分布列为X0123Peq\f(1,30)eq\f(4,15)eq\f(1,2)eq\f(1,5)(2)由题意知，一次游戏中获奖的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(7,10).14．(多选题)设随机变量ξ的分布列如表：ξ123…20202021Pa1a2a3…a2020a2021则下列说法正确的是(ABD)A．当{an}为等差数列时，a2＋a2020＝eq\f(2,2021)B．数列{an}的通项公式可能为an＝eq\f(2022,2021nn＋1)C．当数列{an}满足an＝eq\f(1,2n)(n＝1,2，…，2020)时，a2021＝eq\f(1,22021)D．当数列{an}满足P(ξ≤k)＝k2ak(k＝1,2，…，2021)时，(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2)解析：对于A，因为{an}为等差数列，所以S2021＝eq\f(2021a1＋a2021,2)＝1，则有a2＋a2020＝a1＋a2021＝eq\f(2,2021)，故A正确；对于B，若数列{an}的通项公式为an＝eq\f(2022,2021nn＋1)＝eq\f(2022,2021)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，则S2021＝eq\f(2022,2021)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,2021)－\f(1,2022)))＝eq\f(2022,2021)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2022)))＝1，故B正确；对于C，因为an＝eq\f(1,2n)，所以S2021＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,22020))),1－\f(1,2))＋a2021＝1－eq\f(1,22020)＋a2021＝1，则有a2021＝eq\f(1,22020)，故C错误；对于D，令Sk＝P(ξ≤k)＝k2ak，则ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)2ak＋1－k2ak，故eq\f(ak＋1,ak)＝eq\f(k,k＋2)，所以eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n＋1)(n≥2)，即(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2)，故D正确．故选ABD.15．已知随机变量ξ的分布列为ξ－2023Peq\f(1,4)eq