圆锥曲线解答题练习题

圆锥曲线解答题练习题

一、解答题

1.已知点尸(1,0),直线/:x=—1,M为直角坐标平面上的动点，过动点Af作/的垂

线，垂足为点。，且满足QF-(MQ+MF)=O,记M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)若过户的直线与曲线。交于P,Q两点，直线OP,OQ与直线x=l分别交于4,

8两点，试判断以A8为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说

明理由.

【答案】⑴/=4%；(2)是，(-1,0)和(3,0).

【解析】

【分析】

⑴设M七y)，则。(―l,y),再由Q尸《MQ+MEXO可得(2,-y7(—2x,->)=0,

化简可得所求轨迹方程；

(2)设直线PQ的方程为x=«/y+l,0(不，乂)，Q(W，%)，联立J，=4A，则

x=my+1

X4

X+%=4m,%%二-4,由题意可得直线OP的方程为y=dx=一犬，直线。。的

x\y

4(4、(4、

方程为y=—x,则A1,—,B1,—，从而可求出A3中点7的坐标T。,—2机)，

%IyjIy2)

再求出|A8|,可得圆的半径，进而可求出圆的方程，从而可得答案

【详解】

⑴设〃(x,y),.•.点*1,0),直线/：x=—l,

・•・。（-1,力

,/QF-（MQ+MF）=O.

.•.（2,_y>（_2x,_y）=-4x+y2=（）,

二C的方程为y2=4;c.

（2）设直线PQ的方程为了=my+1,P（X],y）,Q（x2,y2）,

y2=4x

联立）,

x=/ny+1

2

整理得：y-4my-4=Q,△=16>+16>0，X+%=4根，y,y2=-4,

X4

直线OP的方程为y=,x=一%,

苞乂

4

同理：直线。。的方程为y=—x,

%

44

令x=l得，A1,一,B1,—,

IyjIM

设A8中点T的坐标为（七,%），

£4

则芍=1,_乂%_2（乂+%）

力=O=

2y%

所以

吐卜近尸口5

圆的半径为r='⑹1+16.

2

试卷第2页，总115页

所以以A3为直径的圆的方程为(x—1)2+(y+2加『=4〃，+4.

展开可得(x-1)-+y2+Amy=4,

令y=0,可得(x_ly=4,解得X=3或X=—1.

从而以AB为直件的圆经过定点(-L0)和(3,0).

【点睛】

此题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查定点问

题，属于中档题

2.圆C过点A(6,0),B(l,5),且圆心在直线/:2x-7y+8=0上.

(1)求圆C的方程：

(2)P为圆C上的任意一点，定点。(8,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.

2

(11\1Q

【答案】(1)(x-3)2+(y-2)2=13；(2)x--+(y-l)2=—.

I2J4

【解析】

【分析】

(1)求得线段AB垂直平分线的方程，与直线/方程联立，求得圆心C的坐标，由|C4|

求得半径，由此求得圆C的方程.

(2)设出M点坐标，由此求得P点坐标，将尸点的坐标代入圆C的方程，化简求得M

点的轨迹方程.

【详解】

(1)直线A3的斜率A=±m=-i,

1—6

所以A3的垂直平分线〃?的斜率为L

AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=1，y=29=-.

2222

因此，直线”的方程为y—|=(x—g).即x-y-1=0.

又圆心在直线I上，所以圆心是直线m与直线/的交点.联立方程组

%—y—1=0

2x—7y+8=0

x=3

解得〈c

U=2

所以圆心坐标为C(3,2),又半径r=|C4|=JB,

试卷第4页，总115页

则所求圆的方程是（x—3）2+（y—2）2=13.

（2）设线段P。的中点M（x,y）,P（$,%）

9一

2

M为线段PQ的中点，则《

2

x=2x-8

解得《0

Jo=2），

P（2x—8,2y）代入圆（7中得（21-8-3）2+（2卜-2）2=13,

11?+（5=4

即线段PQ中点M的轨迹方程为X-------

2；4

【点睛】

本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.

3.已知动点P与平面上两定点4卜夜,0)、B(夜,0)连线的斜率的积为定值-

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)若耳(-1,0),鸟(1,0)过片的直线/交轨迹C于M、N两点，且直线/倾斜角为

45°,求gN的面积.

【答案】(1)y+y2=l(x^±V2)：(2)

【解析】

【分析】

(1)设点尸(x,y),则依题意有一^•—匕尸=-2，化简可得所求轨迹方程；

(2)由题意可得直线/的方程为：y=x+l,再与椭圆方程联立方程求出交点坐标，从

而可求出M巴N的面积为g恒乙卜回一%卜

【详解】

VV1X1

(1)设点P(x,y)则依题意有一'—f=---」个=-7，整理得一+丁=1,

X+A/2x—v222

由于尤工±V2,

所以所求动点P的轨迹C的方程为：'+y2=](xw±V2).

(2)直线/的斜率左=tan450=l,

故直线/的方程为：y=x+\,

与椭圆方程联立，消去x得：3/-2y-l=0,

…1

、=1或)=——.

试卷第6页，总115页

•••MEN的面积为g闺闾也_%|=£

【点睛】

此题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题

4.已知圆O:T2+）3=4与x轴的正半轴交于点4,过圆O上任意一点P作x轴的垂

线，垂足为。，线段P。的中点的轨迹记为曲线「，设过原点0且异于两坐标轴的直线

与曲线「交于B,C两点，直线AB与圆。的另一个交点为M,直线AC与圆。的另一

个交点为M设直线AB,AC的斜率分别为勺，七•

（1）求匕•用的值;

\AB\\AC\

（2）判断七招+上£是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.

【答案】（1）—（2）是定值，定值为』

44

【解析】

【分析】

（1）设线段PQ中点为D（x,y）,则P（x,2y）,将点P代入圆方程,求出曲线「方程

2

?+y2=l,设3（毛,%）,%%。0,则。（一知一%）,求出匕•右，结合3点在椭圆

上，即可得出结论；

\AB\।|AC|_|jfi|||yc|

（2）设6*）网工诩（雅》NN

IAM||加||yj

分别设直线48,4（7为》=叫，+2,x=my+2，旦町加2==T，将直线48,AC

2»V|rvA

方程分别与圆、椭圆联立,求出力,无，加，后,即可求出结果.

【详解】

解：（1）设线段尸。中点为。（x,y）,则尸（x,2y）,

代入圆方程即得D点轨迹方程为二+丁=1，

4-

2

设5(%),%),则C(—%,—%),IL寸+y：=l,

试卷第8页，总115页

。

则k\k?y_yf

xo-2一尤0-2x；-4

4

片-4

-----1-

4，

（2）分别设直线A8,AC为了=町丁+2,X=J巧y+2,

1）

且见色=^p=-4

x=仍y+24犯

=>（喈+4）y24-4町y=0=>%

x2+4y2=4m；+4

仍

x=y+2=>（喈+l"+4町'=0=%=__夫

[x2+y2=4A\7+1

4m24肛_16ml

同理可得：比=一

m;+4zn；+4'）”+16

\AB\_\yH\|人。|_1%1=1+16

"\AM\~\yM\~+|AN「|%|一4（/+4）

\AB\\AC\=5喈+20=5

加以|AM||AN|一4（叫2+4）=『

【点睛】

本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，合理应用两点间的距离

公式是解题的关键，属于中档题.

5.已知抛物线C:Y=2p），（p>0）上一点M（m,9）到其焦点下的距离为10.

（1）求抛物线C的方程;

（2）设过焦点F的的直线/与抛物线C交于A8两点，且抛物线在A8两点处的切线

分别交x轴于P,Q两点，求•忸。|的取值范围.

【答案】（I）f=4y（ID[2,4w）

【解析】

【分析】

（I）由抛物线的定义，可得到9+"=10,即可求出P,从而得到抛物线的方程；（II）

2

直线l的斜率一定存在，可设斜率为3直线/为y=丘+1,设A%,，Bx2,

y-kx^\10

由｛2/可得d一46一4=0,X]+x,=4Z,%%=-4,然后对y尤求导,

x=4y4

可得到24的斜率及方程表达式，进而可表示出|AP|,同理可得到忸0的表达式，然

后对|4尸卜|80化简可求出范围.

【详解】

解：（I）已知M（根,9）到焦点户的距离为10,则点M到准线的距离为1（）.

•.•抛物线的准线为y=-K,.•.9+4=10,

22

解得P=2,.♦.抛物线的方程为丁=分.

（II）由己知可判断直线/的斜率存在，设斜率为2,因为尸（0,1）,则/：y=kx+l.

，巾2，?）y=kx-\-\

2

设Axp，由｛2消去y得，x-4Ax-4=0»

x=4Ay

玉+%=4&,x]x2=-4.

试卷第10页，总115页

11r2।

由于抛物线。也是函数y无2的图象，且y，=]X,则R4：y-^-=jxl（x-xl）.

令y=0,解得X=《X],尸（；玉,0）,从而|AP|=；Jk（4+%2）

同理可得，忸°|=；内（4+々2），

222

；.|AP|•忸0=^（%,X2）（4+X1）（4+X2）

=看“中2）[16+4（西2+电2）+（中2）2]=2川+1.

•.•左220，.」明.忸。的取值范围为[2,+8）.

【点睛】

本题考查了抛物线的方程的求法，考查了抛物线中弦长的有关计算，考查了计算能力,

属于难题.

22

6.已知椭圆c：L+2L=i,点尸(0,3),直线=与椭圆c交于不同的两点

43

M,N.

(1)当左="!•时，求的面积；

2

(2)设直线与椭圆C的另一个交点为。，当M为线段PQ的中点时，求k的值.

【答案】⑴6(2)±|

2

【解析】

【分析】

(1)将直线>=(》一1与椭圆方程联立，消元得到/—万一2=0，求出”,"的坐标，

即可求出面积；

(2)”(%,%),根据中点坐标关系得。(2题,2%-3),将P,Q两点坐标代入椭圆

方程，相减，求出M点坐标，即可求出结论.

【详解】

1,

y=-X—1

解：(1)<2=>x2—%—2=0

3x2+4/=12

=>xM=-1,xN=2,所以S=；x4x|x材一%附|=6：

(2)设加(%,％)，则。(2%,2%-3),

分别代入椭圆方程可得：

豆+豆=1,片+：=],

43T3~4

R_9

两式相减得为―z_3,

-3-~4

试卷第12页，总115页

3

即为=5，,/=±1，

所以《=2史.=?5

/2

【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系，考查相交弦有关的中点问题，要注意点差法的应用,

属于中档题.

22

7.已知椭圆C:二+二=1（。＞人＞0）与直线x=—怎有且只有一个交点，点P为

ab

椭圆C上任一点，斤（一1,0），£（1,0），若尸的最小值为］.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）设直线/：丁="+6与椭圆C交于不同两点A5,点o为坐标原点，且

g（Q4+O8）,当皮2的面积S最大时，求丁=温『-21Mgi的取值范围.

0M

^£1（）[3-472,1）.

【答案】（I）+=；2

【解析】

【分析】

（1）设点P（x,y）,根据题意，得到a=J为，根据向量数量积的坐标表示，得到

P^PB,=-y2+cr-l,根据其最小值，求出。=22=啦，即可得出椭圆方程;

（2）设A（%,y）,8（马,力）,M（事,为），联立直线与椭圆方程，根据韦达定理,

由弦长公式，以及点到直线距离公式，求出AOB的面积S的最值，得到加2=2无2+1；

2

得出点M的轨迹为椭圆G:5+y2=1（y*0）,且点6,鸟为椭圆G的左、右焦点，

=温1-2|1明|=5+2/_4及，根据

记用用，则®+l）,得到了

导数的方法求出最值.

【详解】

（1）设点P（x,y）,由题意知a=回,C:x2+2y2=a2,则

2222

PP.PP2=x+y-l=-y+«-l,

试卷第14页，总115页

当y=±匕时，取得最小值，即=

222

l=g=>a=2,6=0故椭圆。的标准方程为三+工=1：

2242

（2）设4（石,y］）,8（孙％），”（瓦,%），则

由《x+2y4得（2左2+1卜2+电依+2病一4=0

y=kx^m'7

4mk2m2-4

=…"Ri'中2=kF

\m\

则点O到直线/：y=丘+根的距离d=f-

VFTT

4mk、“2m2-4

S=；4|AB|=；.-4——；—

2k2+l,2k2+1

加2+（4左2+2一加2）

+2-m2

5/2•

2^713/I=五

S取得最大值0，当且仅当加2=4公+2一加2即加2=2/+［,①

%,+x22mk2k,2A21

此时x%=KXQ+加=------F〃2=—,

02~~2k1+\~~~mmm

1,m

即机二一，k=-=-普代入①式整理得至+城

Xq=1（%力0）1

2九2%

y02

即点M的轨迹为椭圆C：］+y2=i(yN0),

且点耳,£为椭圆C的左、右焦点，即四用+|M鸟|=20

记f=|幽,则闻+

从而丁=曲-2眼闾=/2（2&—）="+2—40,则T，=2-5

令T'iO可得121,即在T在（血一U）单调递减，在（1,a+1）单调递增，

且T（1）=3_40,T（&_1）=I>T（^+1）=5_4&,

故T的取值范围为［3-40,1）.

【点睛】

本题主要考查求椭圆的方程，考查求椭圆中的范围问题，熟记椭圆的方程，椭圆的简单

性质即可，属于常考题型.

试卷第16页，总115页

(2Ji也、22

8.已知点M——在椭圆C：「+与=1(a>h>0)上，且点M到C的左、

(33Ja2b2

右焦点的距离之和为20.

(1)求C的方程；

(2)设。为坐标原点，若C的弦A6的中点在线段(不含端点。，M)上，求

的取值范围.

45

【答案】(1)y+/=l；(2)

35

【解析】

【分析】

(1)本小题根据已知条件直接求出a=0，6=1,再求出椭圆方程即可.

(2)本小题先设A、B两点，再将Q4.O8转化为只含由的表达式，最后根据机的范

围确定OA-05的范闺，即可解题.

【详解】

（273也、r2V2

解：（1）♦.•点M+，一在椭圆C：=+4=1（a>b>0）上,

133Ja2b2

41,„r-

・•彳+方=1'乂2a=2日

••ci=>/2»b—\-

・•・椭圆C的方程:一+/二1

2

(2)设点A、8的坐标为A(M，X),B(x2,y2),则A5中点(一；&,X；%.)在线

段OM上，且左OM=(,则王+/=2(y+%)，

又、+y：=1,=1，两式相减得Q---当」----）+（乂-%）（乂+%）=°，

y.-y,x.+x,,

易知玉一%工0，yt+y2^O,所以丫_；=_2（.+.；）=—'则心8=一1・

设48方程为〉=一%+机，代入]+丁=1并整理得3/—4小+2加2一2=0.

x+x2/7?（2、

由△=8（3—加2）>0解得加2<3,又由I2=e0,-广，则0<加<6.

23VV3J

1

।士E,口.4机2（tn-1）

由韦达定理得X|+X2=，X1-X2=--------，

故OA-O3

二王/+弘必

=4%2+（—%+m）（—%2+m）

=2%%2-m^+工2）+机2

4（/一1）4m22

=-------------+m

33

.4

="T——

3

又：.0</n<>/3

•e•OA-OB的取值范I同是（一1,§].

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程，相交弦的中点等问题，是偏难题.

试卷第18页，总115页

22/O且离心率为且.

9.已知椭圆C:*+3=1（〃＞力＞o）过点

2

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若点p与点。均在椭圆。上，且RQ关于原点对称，问：椭圆上是否存在点M

（点M在一象限），使得为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

【答案】（1）—+/⑵存在,d噜智］

4

【解析】

试题分析：（1）根据己知条件，列出不等式组，求解。=2力=1,即可求解椭圆的椭圆

的方程；（2）设直线的斜率为左，则直线0W:y=乙，代入椭圆的方程，解得M

点的坐标，同理可得直线P2的方程，代入求解所以X”=2等,="5,即可

求解点M的坐标.

试题解析：（1）由题意，c,解得a=2,b=L

I—=—

a2

a2=b2+c2

2

所以椭圆。的标准方程为三+y2=i.

4-

（2）由题意知直线PQ经过坐标原点。，假设存在符合条件的点M，则直线OM的

斜率存在且大于零，。河_LPQ,10Ml=①

设直线的斜率为左，则直线=日,

联立方程组｛尤2241+4/'“J+4A2

所以QM=2.

1+45

同理可得直线PQ的方程为y=-LX\OP\=2/上左③

k11U2+4

将②③代入①式得2口+叱=3（1+£）,

'1+4/\/+4

化简得11公一1=0,所以左=巫

11

综上所述，存在符合条件的点用

考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解

答中涉及到椭圆的几何性质的应用、函数与方程思想等知识点的综合考查，着重考查了

学生的推理与运算能力以及转化与化归思想的应用，此类问题的解答中把直线的方程与

圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根与系数的关系、判别式和韦达定理的应用是解答

的关键，试题运算量大，有一定的难度，属于难题.

试卷第20页，总115页

10.已知椭圆E:二+二=1（4>。〉0）的上顶点为8,左、右焦点分别为片，F2,

ah

离心率e=@,△8耳月的面积为百.

2

（1）求椭圆E的标准方程；

⑵直线/:丁=依+加伊贡1）与椭圆E相交于点P,Q,则直线BP，BQ的斜

率分别为匕，白，且，k\+k1=t,其中f是非零常数，则直线/是否经过某个定点A?

若是，请求出A的坐标.

【答案】⑴^+/=1；（2）直线/经过定点

【解析】

【分析】

（1）由题可得bc=G,e=正，再结合即可求解椭圆标准方程；

2

（2）联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，求出&+&，结合韦达定理可得上与m

2k

的代换式——=t,代入丁二丘+机整理成点斜式即可求解

m+1

【详解】

（1）因为3（0,。），6鸟的面积s=，x2cxb=%=百，且e=£=走，

2a2

故解得。=2,c—>/3»b=1,则a?=4,Z?2=1»

则椭圆E的标准方程为三+V=1.

4-

（2）假设P（玉，y）,。（9,必），

X22

,消去y整理得（4左2+1）%2+8knx+4>-4=0,

直线与椭圆联立得《L

y=kx+m,

-8km4m2-4

则Xj+X又因为8(0,1),

2赤Fi=kT

,y—1i%—1

所以匕=以一，％2=二一，则

玉X2

y1-ly-l_(kx+m-l)x+(kx+m-l)x_

KiI-I2—i22l—Iy

%X2

2

n74m-4(八-8k〃

即23+(叱l)(西+w)”代入韦达定理得」EH"")心”

x,x24m~-4

4/C2+1

即2M4病4)+(mT)(8板)化简得也纥

4m2-4m~~l

2k

因为加w±l,则-----=t,

722+1

2k2，2、

即2Z=r(m+l),——1=加代入直线得y=履+：%—1=上［尤+7)-1,

所以恒过(一：一1),故直线/经过定点A1/,一1).

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求解，由直线与椭圆的位置关系求证直线过定点问题，韦达定

理的使用，考查了数学运算的核心素养，属于中档题

试卷第22页，总115页

11.Ft,B分别是椭圆E：0+*=l(a>O〉O)的左、右焦点，忻闾=4,M是E

上一点，加工与x轴垂直，S.\MF^3\MF2\.

(1)求E的方程；

(2)设4，B,C,。是椭圆E上的四点，AC与3。相交于工，且AC_L8O,

求四边形A8CZ)的面积的最小值.

r2V264

【答案】(1)—+^-=1；(2)—.

849

【解析】

【分析】

(1)结合椭圆的定义以及已知条件求出I吗|=学，转化求解。，。得到

椭圆方程.

(2)设直线AC的斜率为2,4%，y),。(马，期)，则直线AC的方程为y=%(x—2),

22

联立三+工=1及y=A(x-2)得(1+2左2口2一8二工+822—8=o,利用韦达定理，弦

84

长公式，结合直线斜率，求出BO,然后推出四边形的面积，利用基本不等式求解最值

即可.

【详解】

解：(1)由于眼制+四用=2a,则用=]■,|M用=£,

又忻以之，得/=8.

22

又恒用=2c=4,则c=2,于是从=4,故£的方程为£+(=1.

(2)当直线AC的斜率存在且不为零时，设宜线AC的斜率为3

A(玉,yj,ax?,%)，则直线AC的方程为丁=%(％—2),

22

联立亍+\=1及y=&(x-2)得(1+2/b2一8k2%+8k2-8=o,

8A:?8女2—8

所以X1+々=

1+2&②1+2公

+

1+2公

由于直线BD的斜率为J，用-器代换上式中的k可得\BD\=R1+")

k+2

116(1+A:2)-

VAC1BD,四边形ABCD的面积为S=-\AC\-\BD\=，—'，八.

2(k+2)(l+2kI

由(1+2巧伊+2)«

所以SN—,当1+2左2=炉+2时，即&=±1时取等号.

9

当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=8，

64

综上可得，四边形ABCD面积的最小值为一.

9

【点睛】

本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力,

属于中档题.

试卷第24页，总115页

12.已知A、B分别是椭圆C：5+4=l（a〉b>0）的左、右顶点，P为椭圆C的下

a*b'

顶点，F为其右焦点•点M是椭圆C上异于A、B的任一动点，过点A作直线1_|_*轴・

以线段AF为直径的圆交直线AM于点A、N,连接FN交直线1于点H.点G的坐标为

（-b,0）,且|PF|JPG|=2«,椭圆C的离心率为;.

（1）求椭圆C的方程；

（2）试问在x轴上是否存在一个定点T,使得直线MH必过该定点T?若存在，求出点

T的坐标，若不存在，说明理由.

22

【答案】（1）_+y_=i；（2）见解析

43

【解析】

【分析】

a-'/lb=2>/6

（1）根据题意可得｛c_1，解得即可；（2）假设在x轴上存在一个定点T（t,O）,

.1~2

设动点M（Xo，yo）,根据直线与直线的垂直的斜率的关系以及直线的斜率公式即可求

出.

【详解】

（1）山题意得|PF|=a,|PG|=J^b,

a-\[2b=2>/622

•.」c1，，2=21=百，二所求椭圆的方程为三+上=1.

—=—43

.a2

（2）假设在x轴上存在一个定点T（t,O）,使得直线MH必过定点T（t,O）,

设动点M（Xo，yo）,由于M点异于A,B,故丫（尸0,

22

由点M在椭圆上，故有包+%=1，

43

・•力丁・①

又由⑴知A（—2,0）,F（l,0）,

直线AM的斜率k.=

又点N是以线段AF为直径的圆与直线AM的交点，FN

X。+2/I、

.,•直线FN的方程y=一一5—（X-1）,

y。

y=（-2-1）（3（x0+2）^1

・•.<y0，,即H-2,-^L

v__o\y。,

3（x°+2）

,-.M.H两点连线的斜率=,°y0=y；-3（x0+2）,②

MH-x°+2-y°（x°+2）

——-3（x0+2）

将①式代入②式，并整理得kMH=—~,

4yo

又P,T两点连线的斜率卜口=

若直线MH必过定点T（t,O）,则必有kMH=kPT恒成立,

3x+2

n|J-（o）,Yo

即A-，

4yox0-t

整理得4y；=-3（x0+2）（xo-1）,（3）

试卷第26页，总115页

将①式代入③式，

得4乂3(3：。)=-3(x0+2)(x°—t)，

解得t=2,故直线MH过定点(2,0).

【点睛】

本题主要考查椭圆的方程，主要考查直线与桶圆的位置关系，意在考查学生对这些知识

的理解掌握水平和分析推理计算能力.

13.在平面直角坐标系中，有定点F(O,1),例(―5,-1),动点P满足|PF\^PM-OF\.

(1)求动点P的轨迹「的方程；

(2)过点。(0,4)作直线，交曲线「于两点A，B,以A，8为切点作曲线「的切线，

交于点P,连接。4,OB,OP.

(i)证明：点P在一条定直线上；

(ii)记5,邑分别为AOP,ABOP的面积，求，+$2的最小值.

2

【答案】(1)x=4y;(2)(i)证明见解析；(ii)16.

【解析】

【分析】

(1)利用数量积的坐标表示和向量的模的坐标公式即可化筒IPEHPATOFI，求得

动点尸的轨迹「的方程；

(2)(i)由过。(0,4)的直线与曲线「相交有两个点，可设直线方程为丁="+4,

将直线方程与曲线「的方程联立可得玉+々=4攵，玉々=-16,再利用导数的几何意

义求出以A，3为切点的切线方程，即可联立解出点P的坐标，从而得出点尸在一条

定直线上；(过)根据51+52=5k.-5徵"，求出弦长|AB|以及O,P到直线AB的

距离，即可得到其表达式，再根据函数的单调性即可得到4+§2的最小值.

【详解】

(1)设点P(x,y),则尸尸=(-x,l-y),OF=(0,1).

由|PFRPMOF|,得Jx2+(y_i『=1]_力整理得「：x2=4y.

(2)(i)设43：y=kx+4,A(XQJ,8(々,%)，P(%,%)，则x；=4y,x；=4%，

y=Ax+4,

联立直线AB与抛物线「：《I=>X2-4^-16=0,所以玉+々=4%,

[x=4y

试卷第28页，总115页

xtx2=-16；

2

由y='%2,求导得y'=，x,切线Q4：y-X="-xJ，即y='x_+

-42

2

同理，切线P8：）=区》一三,

-24

联立Q4,必可得与=与&%=牛=一4,即尸（2幺④，所以，点p在

条定直线y=T上.

（ii）因为|AB|=J1+左2归一%|=4,1+公］A?+4,设。，尸到直线A3的距离为

,4■「为+4|_2（：+4）所以

4,则4=%

Jl+产Vi+F2

5+52=5,厂5.8=5.|(4-4)=：4"不

，即鸟+52=4-公+4.（炉+2）,其关于k2递增，显然，当左=0时，取得最小值

"2"6.

【点睛】

本题主要考查数量积的坐标表示，向量的模的坐标公式，直线与抛物线的位置关系的应

用，导数几何意义的应用，以及抛物线中的面积问题的解法，意在考查学生的数学运算

能力和转化能力，综合性强，属于较难题.

2V2I

14.已知椭圆c：二v+4=1（。＞。＞0）,。为坐标原点，长轴长为4,离心率e=—.

a2b22

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线/的方程为：y=A（x—l）,点A为椭圆。在*轴正半轴上的顶点，过点A

作AB，/,垂足为M,点3在椭圆上（不同于点A）且满足：2〃B=5AM，求直

线/的斜率&.

【答案】（1）£+二=1；⑵后=±矩.

433

【解析】

【分析】

（1）由长轴长为4求〃，再由离心率e=』求c,根据椭圆的性质求b,从而得到椭圆

2

方程.

（2）椭圆C的右顶点A为（2,0）.宜线/：x=」y+l,直线A6的方程为了=-@+2,

k

分别与椭圆方程联立，求出的纵坐标，利用向量关系，转化求解直线的斜率即可.

【详解】

（1）由椭圆的离心率6=,，长轴长为4可知a=2,c=l,，b2=3，

2

22

椭圆。的方程为二+匕=1.

43

（2）椭圆。的右顶点A为（2,0）.

由题可知左。0,直线/：x='y+l,直线AB的方程为％=—6+2,

K

1,

x=­y+lk

由Jk，可知丁用二至一^，

x=-Ay+2+

试卷第30页，总115页

由得W+4））J2@"则犷

7、-/、、/12kk、5k

则铲丁目

；2MB=5AM，；.2（%-y”）=5（%-0）,2=777T

yDK十4/v।17K।1

•：k^0,：.k2=~,解之，左=±3叵.

33

【点睛】

本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,

同时考查了平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于综合题.

15.已知点A(xi,_yi),D(X2,”)其中(xi<X2)是曲线炉=%-(这0).上的两点，

A,。两点在x轴上的射影分别为点B,C且|BC|=3.

(I)当点B的坐标为(1,0)时，求直线AO的方程：

S,

(II)记AA。。的面积为0,梯形A8CO的面积为S2,求U的范围

【答案】(I)y=x+2；(ID

【解析】

【分析】

(I)根据A8和C,。