4.4.1对数函数的概念4.4.2对数函数的图象和性质课件高一上学期数学人教A版

第四章指数函数与对数函数对数函数的概念

对数函数的图象和性质人教A版

数学必修第一册1.通过具体实例,了解对数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).课程标准基础落实·必备知识一遍过知识点1

对数函数1.对数函数的概念(1)一般地,函数

叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是

.

(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换.2.两种特殊的对数特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lgx;称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数,记作y=lnx.y=logax(a>0,且a≠1)(0,+∞)名师点睛1.判断一个函数是不是对数函数的依据:(1)形如y=logax;(2)底数a满足a>0,且a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数.2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x,由指数函数的性质可知在对数函数中,有a>0,且a≠1,x>0,y∈R.思考辨析函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象有什么关系?提示

关于直线y=x对称.自主诊断1.下列函数表达式中,对数函数的个数为(

)①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=lnx;⑤y=logx(x+2);⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1).A.1

B.2

C.3

D.4B解析

由于①中自变量出现在底数上,所以①不是对数函数;由于②中底数a∈R不能保证a>0,且a≠1,所以②不是对数函数;由于⑤⑦的真数分别为(x+2),(x+1),所以⑤⑦也不是对数函数;由于⑥中log4x的系数为2,所以⑥也不是对数函数.只有③④符合对数函数的定义.故选B.2.[人教B版教材例题改编]函数y=lg(4-x)的定义域为

.

(-∞,4)解析

由题意4-x>0,所以x<4,所以函数的定义域为(-∞,4).知识点2

对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质a的取值范围a>10<a<1图象

性质(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:R(3)过定点(1,0),即x=1时,y=0(4)当x>1时,y>0;0<x<1时,y<0(4)当x>1时,y<0;0<x<1时,y>0(5)在(0,+∞)上是增函数.当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大(5)在(0,+∞)上是减函数.当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大名师点睛1.对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.2.当底数a>1时,图象在第一象限内越接近x轴,a越大;当底数0<a<1时,图象在第四象限内越接近x轴,a越小.3.分析对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,需找三个关键点:(a,1),(1,0),思考辨析对数函数y=logax的图象都在y轴的右侧,这反映了函数的哪条性质?提示

函数的定义域为(0,+∞).自主诊断1.下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是(

)A.y=5x

B.y=lgx+2C.y=x2+1 D.2.若对数函数的图象过点P(9,2),则此对数函数的解析式为

.

Dy=log3x解析

设该对数函数为y=logax(a>0,且a≠1),∴2=loga9,∴a=3,∴此对数函数的解析式为y=log3x.3.函数f(x)=loga(x-2)-2x的图象必经过定点

.

4.[人教B版教材习题]求函数y=log2x,x∈[8,+∞)的值域.(3,-6)解

函数y=log2x在[8,+∞)上单调递增,所以当x=8时,y取得最小值3,所以函数的值域为[3,+∞).重难探究·能力素养速提升探究点一对数函数的概念【例1】

(1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)logmx,则m=

.

2解析

由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.解

①由题意设f(x)=logax(a>0,且a≠1),②方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.规律方法1.对数函数是一个形式定义:2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可求出.变式训练1(1)(多选题)下列函数中为对数函数的是(

)CD解析

对于A,真数是-x,故A不是对数函数;对于B,y=log4x2=log2|x|,真数是|x|,不是x,故B不是对数函数;对于C,ln

x的系数为1,真数是x,故C是对数函数;(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=

.

解析

设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,探究点二与对数函数有关的定义域问题{x|x>0,且x≠1}∴x>0且x≠1.∴函数的定义域为{x|x>0,且x≠1}.(2,3)∪(3,5]解析

已知函数f(x2+1)的定义域为[1,2],所以x∈[1,2],x2+1∈[2,5],所以函数f(x)的定义域为[2,5],又x-2>0,且x-2≠1,解得x>2,且x≠3,所以g(x)的定义域为(2,3)∪(3,5].规律方法求解与对数函数有关的函数的定义域的方法(1)求与对数函数有关的函数的定义域时,除遵循前面已学过的求函数定义域的方法外,还要根据对数函数自身的特点满足以下要求:一是要对数的真数大于零;二是要注意对数的底数;三是根据底数的取值结合函数的单调性,转化为关于真数的不等式求解.(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.变式训练2求下列函数的定义域:探究点三指数函数与对数函数关系的应用【例3】

已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))=(

)A.1 B.2C.3 D.4B解析

∵g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=2x.∵g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=log24=2.规律方法涉及指数和对数函数互为反函数问题,一定注意前提是“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象关于直线y=x对称,则这两个函数互为反函数.变式训练3函数f(x)与g(x)=互为反函数,则f(4x-1)的定义域为

.

探究点四对数函数的图象【例4】

(1)如图所示的曲线是对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象,则a,b,c,d,1的大小关系为(

)A.b>a>1>c>d B.a>b>1>c>d

C.b>a>1>d>c D.a>b>1>d>cC解析

由图可知a>1,b>1,0<c<1,0<d<1.作直线y=1(图略),则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c,d,a,b,显然b>a>1>d>c.故选C.(2)作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.解

先画出函数y=lg

x的图象(如图①).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).规律方法求解与对数函数有关的函数图象问题,首先应明确对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象特征,结合函数解析式以及函数图象的变换规律求解.(1)一般地,函数y=f(x±a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分关于x轴对称.变式训练4(1)[2024江西南昌高一期中]若0<b<1<a,则函数y=logb(x+a)的图象不经过(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限A解析

∵0<b<1<a,∴y=logbx在(0,+∞)上单调递减,且其图象过第一、第四象限,图象向左平移a个单位长度,得到y=logb(x+a)的图象,故函数y=logb(x+a)的图象不经过第一象限.故选A.(2)画出下列函数的图象,并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调区间:①y=log3(x-2);②f(x)=log5|x|.解

①函数y=log3(x-2)的图象如图①.其定义域为(2,+∞),值域为R,在区间(2,+∞)上单调递增.②∵f(x)=log5|x|,∴f(x)是偶函数,其图象如图②所示.其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为R,函数的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).探究点五利用对数函数的性质比较大小【例5】

(1)下列不等式一定成立的是(其中a>0,且a≠1)(

)B解析

对于选项A,因为a和1的大小关系不确定,无法确定对数函数的单调性,故A不一定成立;对于选项B,因为以

为底的对数函数是减函数,又2.1<2.2,故B成立;对于选项C,因为以1.1为底的对数函数是增函数,又a+1>a,故C不成立;对于选项D,log32.9>0,log0.52.2<0,故D不成立.故选B.(2)[人教B版教材例题]已知log0.7(2m)<log0.7(m-1),求m的取值范围.规律方法比较两个对数式大小的常用方法(1)当底数相同、真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行比较.(2)当底数不同,真数相同时,可根据图象与底数的关系所反映出的规律比较,常数形结合.(3)当底数和真数都不相同时,可考虑引进第三个数(常用“0”或“1”)分别与之比较,然后通过第三个数的传递进行比较.变式训练5比较下列各组中两个值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;解

(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)<f(2),即log31.9<log32.解

(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).解

(分类讨论法)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπ>loga3.141;当0<a<1时,函数y=logax在定义域内是减函数,则有logaπ<loga3.141.综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141;当0<a<1时,logaπ<loga3.141.学以致用·随堂检测促达标1234561.已知函数y=f(x)是函数y=10x的反函数,则f(10)=