新高考数学二轮复习培优专题25 数学新文化综合问题（单选+多选+填空）（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题25数学新文化综合问题（单选+多选+填空）一、单选题1．（2022春·湖北·高三宜城市第一中学校联考阶段练习）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由题意求得递推关系式，进而求解数列的通项公式.【详解】由相邻层球的个数差，归纳可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0累加得SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以ABC错误，故选：D．2．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学统考阶段练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间SKIPIF1<0平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历SKIPIF1<0步构造后，SKIPIF1<0不属于剩下的闭区间，则SKIPIF1<0的最小值是（

）．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根据三分康托集的构造过程可知：经历第SKIPIF1<0步，每个去掉的开区间以及留下的闭区间的区间长度都是SKIPIF1<0，根据规律即可求出SKIPIF1<0属于SKIPIF1<0，进而根据不等式可求解.【详解】SKIPIF1<0不属于剩下的闭区间，SKIPIF1<0属于去掉的开区间经历第SKIPIF1<0步，剩下的最后一个区间为SKIPIF1<0，经历第SKIPIF1<0步，剩下的最后一个区间为SKIPIF1<0，……，经历第SKIPIF1<0步，剩下的最后一个区间为SKIPIF1<0，去掉的最后开区间为SKIPIF1<0由SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故选:A3．（2022·江苏·江苏省木渎高级中学校联考模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为SKIPIF1<0，若双曲线C以SKIPIF1<0为焦点、以直线SKIPIF1<0为一条渐近线，则C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出双曲线渐近线的方程，结合离心率的意义计算作答.【详解】依题意，以点SKIPIF1<0为原点，直线SKIPIF1<0为x轴建立平面直角坐标系，如图，点SKIPIF1<0，设双曲线C的方程为SKIPIF1<0，其渐近线为SKIPIF1<0，因直线SKIPIF1<0为一条渐近线，则有SKIPIF1<0，双曲线C的离心率为SKIPIF1<0.故选：B4．（2022·山东济南·济南市历城第二中学校考模拟预测）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为SKIPIF1<0，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，由已知渐近线方程得到SKIPIF1<0，又下焦点到下顶点的距离为1，得到SKIPIF1<0关系，结合SKIPIF1<0解出SKIPIF1<0即可.【详解】因为双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，又双曲线的一条渐近线为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，又下焦点到下顶点的距离为1，所以SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：A．5．（2022秋·山东青岛·高三统考开学考试）据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.例如表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数大于30的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据5根算筹，分为四类情况：SKIPIF1<0,逐一分类求解满足要求的两位数，即可求解概率.【详解】根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为SKIPIF1<0一共四类情况；第一类：SKIPIF1<0，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41或者81；第二类：SKIPIF1<0，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两位数可能32，36，72，76；第三类：SKIPIF1<0，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23，27，63，67；第四类：SKIPIF1<0，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为14或者18，综上可知：所有的两位数有:14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共计12个，则大于30的有32，36，41，63，67，72，76，81共计8个，故概率为SKIPIF1<0，故选:C6．（2020秋·山东威海·高三校考期中）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0（a＞0，b＞0） D．SKIPIF1<0（a＞0，b＞0）【答案】C【分析】由图形可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合CF≥OF即可得出.【详解】解：由图形可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝SKIPIF1<0，∵CF≥OF，∴SKIPIF1<0，故选：C.7．（2022秋·江苏淮安·高三校考阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（

）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别求出100年后天干为壬，地支为午，得到答案.【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于SKIPIF1<0，余数为0，故100年后天干为壬，由于SKIPIF1<0，余数为4，故100年后地支为午，综上：100年后的2122年为壬午年.故选：A8．（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是离心率为SKIPIF1<0的双曲线SKIPIF1<0的右支与SKIPIF1<0轴及平行于SKIPIF1<0轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕SKIPIF1<0轴旋转一周得到的几何体，若P为C右支上的一点，F为C的左焦点，则SKIPIF1<0与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据双曲线的离心率求得双曲线SKIPIF1<0的方程，求得双曲线右焦点到渐近线的距离，结合双曲线的定义求得所求的最小值.【详解】由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线方程为SKIPIF1<0，一条渐近线方程为SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0到渐近线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为SKIPIF1<0.故选：C9．（2022·湖南湘西·高三统考竞赛）数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉首大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图，若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线SKIPIF1<0的一部分，且点SKIPIF1<0在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据点SKIPIF1<0的坐标求得SKIPIF1<0，再化为标准方程，可得抛物线的焦点坐标.【详解】依题意SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以抛物线的焦点坐标为SKIPIF1<0.故选：D.10．（2022秋·江苏南通·高三开学考试）黄金分割〔SKIPIF1<0〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取SKIPIF1<0，就像圆周率在应用时取SKIPIF1<0一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的SKIPIF1<0处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的SKIPIF1<0处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形SKIPIF1<0的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边SKIPIF1<0倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达SKIPIF1<0芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为SKIPIF1<0其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解．【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：D．11．（2022秋·江苏南京·高三南京市第十三中学校考阶段练习）欧拉公式SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（

）A．SKIPIF1<0的实部为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在复平面内对应的点在第一象限C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的共轭复数为SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据复数实部定义、复数的几何意义、模长的计算和共轭复数定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，SKIPIF1<0，则实部为SKIPIF1<0，A错误；对于B，SKIPIF1<0对应的点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对应的点位于第二象限，B错误；对于C，SKIPIF1<0，C正确；对于D，SKIPIF1<0，则其共轭复数为SKIPIF1<0，D错误.故选：C.12．（2022秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）刍(chú)甍(méng)是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为SKIPIF1<0，底边宽为SKIPIF1<0，上棱长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则它的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】计算出几何体每个面的面积，相加即可得解.【详解】设几何体为SKIPIF1<0，如下图所示：矩形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，侧面为两个全等的等腰三角形SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，两个全等的等腰梯形SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内的射影点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内作SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内作SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0中，斜高为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，同理可知，梯形SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，该几何体的表面积为SKIPIF1<0.故选：B.13．（2022秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则以下结论错误的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量为SKIPIF1<0【答案】C【分析】分别以SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴，建立的平面直角坐标系，作SKIPIF1<0，结合向量的坐标运算，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，分别以SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为正八边形SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得其余各点坐标，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于A中，SKIPIF1<0，故A正确；对于B中，SKIPIF1<0，故B正确；对于C中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C错误；对于D中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影，向量为SKIPIF1<0，故D正确.故选：C.14．（2022秋·广东肇庆·高三统考阶段练习）《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形SKIPIF1<0是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，G，F两点间的距离为SKIPIF1<0，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（

）A．9 B．4 C．3 D．8【答案】B【分析】先在SKIPIF1<0中，利用余弦定理求解SKIPIF1<0，再在SKIPIF1<0中结合勾股定理求解SKIPIF1<0，继而分析即得解.【详解】由条件可得SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴“勾股圆方图”中小正方形的边长为SKIPIF1<0，∴面积为4.故选：B15．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积总是相等，则这两个立体的体积相等.如图，两个半径均为SKIPIF1<0的圆柱体垂直相交，则其重叠部分体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】分析几何体的每层截面都是正方形，计算正方形的在上下距离中心SKIPIF1<0截面面积，再根据正方形的特点想到顶点在中心的正四棱锥（上、下两个），计算正四棱锥的上下距离中心SKIPIF1<0截面面积，通过发现面积之间的关系，结合祖暅原理即可求解.【详解】

（左）

（中）

（右）重叠部分的几何体的外接正方体如上图（左）所示，在距离中心SKIPIF1<0处的截面正方形的边长是：SKIPIF1<0，所以距离中心SKIPIF1<0处截面面积是SKIPIF1<0,而从同一个正方体的中心位置，与底面四点连线构成的正四棱锥的示意图如上图（中）所示，在距离中心SKIPIF1<0处的截面正方形的边长是：SKIPIF1<0，因为内切球的半径等于正方体棱长一半，所以，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在距离中心SKIPIF1<0处的截面正方形的边长是：SKIPIF1<0，以距离中心SKIPIF1<0处截面面积是SKIPIF1<0,又因为正方体的水平截面面积为：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以剩余部分的截面面积如上图（右）“回”形面积为SKIPIF1<0，因此根据祖暅原理：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积总是相等”，可得：左图几何体的体积加上中间图上下椎体的体积等于正方体的体积，即有：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：B.二、多选题16．（2022秋·广东·高三统考阶段练习）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（

）A．该人第五天走的路程为12里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里【答案】AD【分析】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为SKIPIF1<0的等比数列，且SKIPIF1<0，由此可求出首项SKIPIF1<0，然后逐个分析判断【详解】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为SKIPIF1<0的等比数列，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，对于A，因为SKIPIF1<0，所以A正确，对于B，因为SKIPIF1<0，所以B错误，对于C，SKIPIF1<0，所以C错误，对于D，该人最后三天共走的路程为SKIPIF1<0，所以D正确，故选：AD17．（2022·山东·潍坊一中校考模拟预测）阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称SKIPIF1<0为“阿基米德三角形”．已知抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，过A、B两点的直线的方程为SKIPIF1<0，关于“阿基米德三角形”SKIPIF1<0，下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．点P的坐标为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】由直线方程与抛物线方程联立，解得SKIPIF1<0两点的坐标，计算线段SKIPIF1<0的长判断A，利用导数的几何意义求得切线方程，由切线斜率关系判断B，两切线方程联立求得交点SKIPIF1<0的坐标判断C，由直线SKIPIF1<0的斜率关系判断D.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A项正确；又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故直线PA的斜率为SKIPIF1<0，直线PA的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得直线PB的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B项正确；联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故点P的坐标为SKIPIF1<0，C项错误；易知点F的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D项正确．故选：ABD.18．（2022秋·湖北恩施·高三期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为SKIPIF1<0的水车，一个水斗从点SKIPIF1<0出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过SKIPIF1<0秒后，水斗旋转到SKIPIF1<0点，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，其纵坐标满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递增C．当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0的纵坐标越来越小D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0【答案】CD【分析】利用周期求出点SKIPIF1<0所在角的终边对应的角SKIPIF1<0，根据三角函数的定义可得SKIPIF1<0，然后根据三角函数的性质逐个分析判断即可【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为旋转一周用时6秒，所以角速度SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以根据三角函数的定义可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以A错误，对于B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数在此区间上不单调，所以B错误，对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数在SKIPIF1<0上单调递减，所以点SKIPIF1<0的纵坐标越来越小，所以C正确，对于D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D正确，故选：CD19．（2022·湖北荆州·荆州中学校联考模拟预测）对于正整数SKIPIF1<0是小于或等于SKIPIF1<0的正整数中与SKIPIF1<0互质的数的数目.函数SKIPIF1<0以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．数列SKIPIF1<0为等比数列C．数列SKIPIF1<0不单调D．数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和恒小于4【答案】BCD【分析】根据欧拉函数的定义结合对数的运算判断A;由欧拉函数定义结合等比数的通项公式判断B;根据欧拉函数求出SKIPIF1<0判断C;由欧拉函数求出SKIPIF1<0，再由数列的错位相减法求和可判断D.【详解】因为7为质数，所以与SKIPIF1<0不互质的数为7，14，21，…，SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0个，所以SKIPIF1<0，故A错误；因为与SKIPIF1<0互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0个，所以SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为等比数列，故B正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0不单调递增，又因为SKIPIF1<02=SKIPIF1<0,所以数列SKIPIF1<0不单调递减，所以数列SKIPIF1<0不单调，故C正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，故D正确.故选：BCD.20．（2022·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）将SKIPIF1<0个数排成SKIPIF1<0行SKIPIF1<0列的一个数阵.如图：该数阵第一列的SKIPIF1<0个数从上到下构成以SKIPIF1<0为公差的等差数列，每一行的SKIPIF1<0个数从左到右构成以SKIPIF1<0为公比的等比数列（其中SKIPIF1<0）.已知SKIPIF1<0，记这SKIPIF1<0个数的和为SKIPIF1<0.下列结论正确的有（

）SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，及等差数列、等比数列通项公式求出SKIPIF1<0，即可判断A、C，再利用错位相减法计算B，根据等比数列和等差数列求和公式计算判断D.【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍负），即选项A正确；SKIPIF1<0，即选项C错误；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即选项B正确；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即选项D正确.故选：ABD.21．（2021秋·山东淄博·高三统考阶段练习）1202年意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，著作中收录了一个关于兔子繁殖的有趣问题：如果一对兔子每月能生1对小兔（一雌一雄），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？这便是“不死神兔的繁衍生息——神奇的斐波那契数列”，其定义是递推方式给出的，即满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数列SKIPIF1<0.针对数列SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】以累加法判断选项AB；举反例法判断选项C；递推法判断选项D.【详解】选项A：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0将上式累加得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0则SKIPIF1<0.判断正确.选项B：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0将上式累加得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0则有SKIPIF1<0.判断正确.选项C：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不成立.判断错误.选项D：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.判断正确.故选：ABD22．（2022·山东济南·统考一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点P满足SKIPIF1<0，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（

）A．曲线C与y轴的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．曲线C关于x轴对称C．SKIPIF1<0面积的最大值为2 D．SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，由SKIPIF1<0判断A；由曲线方程对称性判断B；取特值计算判断C；求出SKIPIF1<0的范围计算判断D作答.【详解】设点SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，对于A，当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0，即曲线C与y轴的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A正确；对于B，因SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0换SKIPIF1<0方程不变，曲线C关于x轴对称，B正确；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0在曲线C上，SKIPIF1<0，C不正确；对于D，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，D正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：曲线C的方程为SKIPIF1<0，(1)如果SKIPIF1<0，则曲线C关于y轴对称；(2)如果SKIPIF1<0，则曲线C关于x轴对称；(3)如果SKIPIF1<0，则曲线C关于原点对称.23．（2022春·湖北·高三校联考开学考试）祖暅（公元5—6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为SKIPIF1<0，高皆为SKIPIF1<0的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面SKIPIF1<0上，用平行于平面SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0距离为SKIPIF1<0的平面截两个几何体得到SKIPIF1<0及SKIPIF1<0两截面，可以证明SKIPIF1<0总成立，若椭半球的短轴SKIPIF1<0，长半轴SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．椭半球体的体积为30πB．椭半球体的体积为15πC．如果SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为球心的球在该椭半球内，那么当球SKIPIF1<0体积最大时，该椭半球体挖去球SKIPIF1<0后，体积为SKIPIF1<0D．如果SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为球心的球在该半球内，那么当球SKIPIF1<0体积最大时，该椭半球体挖去球SKIPIF1<0后，体积为SKIPIF1<0【答案】AC【分析】由题可得SKIPIF1<0，可判断AB，利用椭圆的性质可得球F的最大半径为1，进而可判断CD.【详解】由题意知，短轴SKIPIF1<0，长半轴SKIPIF1<0的椭半球体的体积为SKIPIF1<0，∴A正确，B错误；椭球的轴截面是椭圆，它的短半轴长为3，长半轴长为5，所以半焦距为4，由于SKIPIF1<0，所以F椭圆的焦点，因此FD是椭圆的最小焦半径，即球F的最大半径为1，该椭半球体挖去球F后，体积为SKIPIF1<0，故C正确，D错误.故选：AC.24．（2022·广东惠州·统考一模）近年来，纳米晶的多项技术和方法在水软化领域均有重要应用.纳米晶体结构众多，下图是一种纳米晶的结构示意图，其是由正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为n的几何体，则下列说法正确的有（

）A．该结构的纳米晶个体的表面积为SKIPIF1<0B．该结构的纳米晶个体的体积为SKIPIF1<0C．该结构的纳米晶个体外接球的表面积为SKIPIF1<0D．二面角A1−A2A3−B3的余弦值为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】对于A：该几何体是由4个正三角形和4个正六边形构成，代公式计算即可.对于B：棱长为a的正四面体的高为SKIPIF1<0，根据割补法代公式计算.对于C：设外接球球心为O，三角形SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，正六边形SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，则O在SKIPIF1<0上，计算可得；对于D：二面角SKIPIF1<0是原正四面体侧面和底面成角的补角，计算可得.【详解】对于A：该几何体是由4个正三角形和4个正六边形构成，所以表面积SKIPIF1<0，故A正确；对于B：棱长为a的正四面体的高为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；对于C：设外接球球心为O，三角形SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，正六边形SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，则O在SKIPIF1<0上，几何体上下底面距离为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，计算整理得SKIPIF1<0，因此该几何体的外接球表面积为SKIPIF1<0，故C错误；对于D：二面角SKIPIF1<0为是原正四面体侧面和底面成角的补角，如图，过正四面体的顶点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0于SKIPIF1<0点，易知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中心，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0点，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，设正四面体的棱长为2，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即为所求侧面SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成二面角的平面角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以侧面与底面所成二面角的平面角的余弦值为SKIPIF1<0，所以二面角A1−A2A3−B3的余弦值为SKIPIF1<0，故D正确.故选：ABD.25．（2022·广东汕头·统考三模）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列SKIPIF1<0说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是奇数C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【分析】选项ACD通过递推关系SKIPIF1<0分析即可．选项B通过奇数偶数特性分析可得出是奇数偶数是周期出现的．【详解】易知，数列SKIPIF1<0满足递推关系SKIPIF1<0．选项A：SKIPIF1<0；故A正确；选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，SKIPIF1<0，恰好能被3整除，且SKIPIF1<0为偶数，所以SKIPIF1<0也为偶数，故B错误；选项C：若选项C正确，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依次类推，可得SKIPIF1<0，显然错误，故C错误；选项D：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故D正确；故答案为：AD．26．（2022·广东广州·统考二模）我们常用的数是十进制数，如SKIPIF1<0，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数SKIPIF1<0，等于十进制的数13．把m位n进制中的最大数记为SKIPIF1<0，其中m，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为十进制的数，则下列结论中正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根据问题背景的介绍，可以得到m位n进制中的最大数的书写方法，进而得到选项中最大数的式子，再进行大小比较即可.【详解】对于A：SKIPIF1<0即是：SKIPIF1<0，A正确；对于B：SKIPIF1<0即是：SKIPIF1<0SKIPIF1<0即是：SKIPIF1<0，B正确；对于C、D：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即是：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即是：SKIPIF1<0构造函数：SKIPIF1<0，求导得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0即是：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D正确.故选：ABD【点睛】本题考查背景知识的从特殊到一般的转化过程，对获取信息从而抽象成数学问题的能力有一定的要求，随后需要用数列求和得出需要的结果，再从构造函数的角度考查了导数在函数中的应用，运用函数的性质进行大小比较，对学生来说是一个挑战，属难题.三、填空题27．（2022·广东韶关·统考一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两点间的直线距离，即SKIPIF1<0.切比雪夫距离是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即SKIPIF1<0