新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题4 圆锥曲线中的面积问题（原卷版）

专题4圆锥曲线中的面积问题一、考情分析圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题，有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的四边形面积问题，求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量，如动直线的斜率或截距表示面积，再利用函数、方程或不等式知识求解.二、解题秘籍(一)利用弦长与点到直线距离计算三角形面积若直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，一般是先利用弦长公式求出SKIPIF1<0，再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【例1】（2023届浙江省名校协作体高三上学期考试）如图，已知双曲线SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0的渐近线交于SKIPIF1<0两点（从左至右的顺序依次为SKIPIF1<0），其中SKIPIF1<0.(1)若点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0面积的最小值.【解析】设SKIPIF1<0联立直线SKIPIF1<0与双曲线方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由韦达定理可知，SKIPIF1<0联立直线SKIPIF1<0与其中一条渐近线方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则可知SKIPIF1<0的中点与SKIPIF1<0中点重合.由于SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0联立，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0由（1）知，SKIPIF1<0.或SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0到直线的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为2，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.(二)三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积若过定点Q的直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，可先求出点A，B到直线PQ的距离之和d，则SKIPIF1<0，特别的，若SKIPIF1<0与y轴垂足，SKIPIF1<0，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.【例2】（2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研）已知椭圆SKIPIF1<0上的点到左、右焦点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的距离之和为4，且右顶点A到右焦点SKIPIF1<0的距离为1.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程;（2）直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时求SKIPIF1<0的值.【解析】（1）由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为右顶点SKIPIF1<0到右焦点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0根据椭圆的对称性得SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的面积为3，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.(三)对角线互相垂直的四边形面积的计算对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的SKIPIF1<0.【例3】（2023届山东省青岛市高三上学期调研）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切，且与圆SKIPIF1<0外切，记动圆SKIPIF1<0的圆心的轨迹为SKIPIF1<0.(1)求轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)不过圆心SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴垂直的直线交轨迹SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两个不同的点，连接SKIPIF1<0交轨迹SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.（i）若直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0为一个定点；（ii）若过圆心SKIPIF1<0的直线交轨迹SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两个不同的点，且SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0面积的最小值.【解析】（1）设动圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0由题意可知：圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0；圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切，且与圆SKIPIF1<0外切，SKIPIF1<0SKIPIF1<0动圆SKIPIF1<0的圆心的轨迹SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为焦点的椭圆，设其方程为：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0从而轨迹SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0（2）（i）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0点的横坐标为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为一个定点，其坐标为SKIPIF1<0（ii）根据（i）可进一步求得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0（法一）SKIPIF1<0等号当且仅当SKIPIF1<0时取，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（法二）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0(四)把四边形分割成两个三角形求面积如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，分别表示出这两个三角形的面积再相加【例4】（2023届THUSSAT中学生标准学术能力高三9月测试）已知A、B分别为椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0）的上、下顶点，F是椭圆SKIPIF1<0的右焦点，C是椭圆SKIPIF1<0上异于A、B的点，点D在坐标平面内．(1)若SKIPIF1<0，求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求四边形CADB面积S的最大值．【解析】（1）由已知SKIPIF1<0是等边三角形，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得椭圆的标准方程为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，带回原式得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（当SKIPIF1<0时取等）所以四边形CADB面积S的最大值为SKIPIF1<0．(五)利用函数性质求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示，此时可把面积看作关于该变量的函数，若函数的单调性容易确定，可利用函数单调性求面积最值或范围.【例5】（2023届河南省名校联盟2高三上学期联考）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，左､右焦点分别为SKIPIF1<0是椭圆上关于原点对称的两点，SKIPIF1<0.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆左顶点为A，上顶点为B，直线SKIPIF1<0且交椭圆于P，Q，求SKIPIF1<0的面积最大时，l的方程.【解析】（1）由题意得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.根据对称性得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故椭圆C的方程为SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，l的方程为SKIPIF1<0，代入椭圆方程SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线l的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当t变化时，SKIPIF1<0的变化情况如下表：tSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0+-+-SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0面积取最大，此时，l的方程为SKIPIF1<0.(六)利用均值不等式求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式，若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或乘积为定值的式子，可考虑利用均值不等式求最值或范围.【例6】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知抛物线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为其焦点，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在抛物线上，且直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求抛物线SKIPIF1<0的方程；（2）过焦点SKIPIF1<0作互相垂直的两条直线，与抛物线SKIPIF1<0分别相交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，求SKIPIF1<0面积的最小值.【解析】（1）过点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别作抛物线SKIPIF1<0的准线SKIPIF1<0的垂线，垂足分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中位线，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的垂直平分线上，则点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，抛物线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别与两坐标轴垂直，则直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中有一条与抛物线只有一个交点，不合乎题意.所以，直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率均存在且不为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，故SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0.三、跟踪检测1．（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期调研）已知点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，直线l交C于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0的斜率之和为SKIPIF1<0.(1)求l的斜率;(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.2．（2023届上海市松江二中高三上学期月考）如图，已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为抛物线Γ：SKIPIF1<0的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于SKIPIF1<0.(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比数列；(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及SKIPIF1<0面积的最小值.3．（2023届浙江省嘉兴市高三上学期9月测试）已知椭圆SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)当SKIPIF1<0时，斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点在直线SKIPIF1<0的异侧），若四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．4．（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0外，且SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上横坐标大于1的一点，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆有且仅有一个交点，并与直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于M，N两点，SKIPIF1<0为坐标原点，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．5．（2023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期联考）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，椭圆上一动点SKIPIF1<0与左､右焦点构成的三角形面积最大值为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设椭圆SKIPIF1<0的左､右顶点分别为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，记直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.①求证：直线SKIPIF1<0恒过定点；②设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.6．（2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考）已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，其右焦点为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的离心率；(2)若点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，右顶点为SKIPIF1<0，且满足直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0面积的最大值.7．（2023届山东省济南市高三上学期9月考试）已知点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的公共焦点，椭圆上的点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的最大距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的两条切线，记切点分别为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值.8．（2023届河北省廊坊市三河市高三上学期段考）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求SKIPIF1<0面积的最大值．9．（2023届河南省部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，上、下顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若椭圆上有三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，证明：四边形SKIPIF1<0的面积为定值．10.（2022届河南省高三上学期联考）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，过右焦点SKIPIF1<0作两条互相垂直的弦SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）当四边形SKIPIF1<0的面积取得最小值时，求弦SKIPIF1<0所在直线的方程．11.（2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛）顺次连接椭圆SKIPIF1<0的四个顶点，得到的四边形的面积为SKIPIF1<0，连接椭圆C的某两个顶点，可构成斜率为SKIPIF1<0的直线.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点SKIPIF1<0的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0（O为坐标原点）面积的取值范围.12．（2022届广西“智桂杯”高三上学期联考）如图，已知抛物线：SKIPIF1<0