新高考数学二轮复习专题三 数列第4讲 素养提升之数列新情境、新考法专项冲刺 解析版

第4讲素养提升之数列新情境、新考法专项冲刺目录一、新情境角度1：紧跟社会热点角度2：关注经济发展角度3：聚焦科技前沿角度4：结合生产实践角度5：渗透数学文化角度6：强调五育并举二、新考法角度1：以高观点为背景角度2：以给定定义、热点信息为背景角度3：考查开放、探究精神角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养角度5：相近学科融合一、新情境角度1：紧跟社会热点1．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（

）A．18 B．19 C．21 D．22【答案】B【详解】由题意设前两站的距离为SKIPIF1<0千米，第二站与第三站之间的距离为SKIPIF1<0千米，…，第n站与第SKIPIF1<0站之间的距离为SKIPIF1<0千米，则SKIPIF1<0是等差数列，首项是SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则站点数一共有19个.故选：B.2．（2022·江苏连云港·高二期末）图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME­7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中SKIPIF1<0，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记SKIPIF1<0的长度构成的数列为SKIPIF1<0，由此数列的通项公式为SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意知，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0都是直角三角形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以1为首项，1为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0.故选：B．3．（2022·浙江衢州·高三阶段练习）衢州市某中学开展做数学题猜SKIPIF1<0密码益智活动.已知数列SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0，现将数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中所有的项混在一起，按照从小到大的顺序排成数列SKIPIF1<0，若满足SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，若该中学SKIPIF1<0密码为SKIPIF1<0计算结果小数点的后6位，则该中学的WiFi的密码为（

）A．461538 B．255815 C．037036 D．255813【答案】D【详解】由题意，数列SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0，可得数列SKIPIF1<0由数字SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0，可得数列SKIPIF1<0由数字SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时数列SKIPIF1<0前38项中有SKIPIF1<0的前32项和数列SKIPIF1<0的前6项构成，此时SKIPIF1<0SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，经验证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，不符合题意，当SKIPIF1<0SKIPIF1<0，此时首次满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以该中学的SKIPIF1<0的密码为255813.故选：D.4．（2022·广西桂林·高三开学考试（理））在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（

）A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺【答案】B【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为SKIPIF1<0，则立冬到大雪增加SKIPIF1<0，大雪到雨水先增加一个SKIPIF1<0再减少SKIPIF1<0,设大雪的晷长为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故选：B.角度2：关注经济发展1．（2022·山东烟台·高三期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设SKIPIF1<0为第n年的维修费用，SKIPIF1<0为前n年的平均维修费用，若SKIPIF1<0万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（

）A．2026 B．2027 C．2028 D．2029【答案】C【详解】设前n年的总维修费用为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即前6年可继续使用.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0计算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故从第9年起需对设备进行更新，更新的年份为SKIPIF1<0.故选：C.2．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中）冰墩墩作为北京冬奥会的吉祥物特别受欢迎，官方旗舰店售卖冰墩墩运动造型多功能徽章，若每天售出件数成递增的等差数列，其中第1天售出10000件，第21天售出15000件；价格每天成递减的等差数列，第1天每件100元，第21天每件60元，则该店第__________天收入达到最高.【答案】6【详解】设第n天售出件数为SKIPIF1<0,设第n天价格为SKIPIF1<0.由题意,SKIPIF1<0均为等差数列,设公差分别为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.假设第n天的收入为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0取最大值,即第6天收入达到最高.故答案为：6角度3：聚焦科技前沿1．（2022·陕西·虢镇中学高二阶段练习）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛bn｝：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……依次类推，其中SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D正确；故选：D角度4：结合生产实践1．（2022·山西吕梁·高三阶段练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为SKIPIF1<0，在数列SKIPIF1<0的任意相邻两项SKIPIF1<0与SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0）之间插入SKIPIF1<0个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列SKIPIF1<0．按新数列SKIPIF1<0的各项依次派遣支教学生．记SKIPIF1<0为派遣了70批学生后支教学生的总数，则SKIPIF1<0的值为（

）A．387 B．388 C．389 D．390【答案】A【详解】∵数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵在任意相邻两项SKIPIF1<0与SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0）之间插入SKIPIF1<0个3，∴其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入2个3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入4个3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入8个3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入16个3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入32个3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入64个3，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0的前70项含有SKIPIF1<0前6项和64个3，故SKIPIF1<0．故选：A.角度5：渗透数学文化1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】A【详解】设成为等差数列的其中10层的塔数为：SKIPIF1<0，由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①；又由SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，①+②得，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0观察答案，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足条件，所以，SKIPIF1<0；组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6.所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，则第11层的塔数为17.故答案选：A2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在2022年北京冬残奥会闭幕式上，出现了天干地支时辰钟表盘.天干地支纪法源于中国，不仅用于纪时纪日，也可用于纪年.天干地支具体分为十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，SKIPIF1<0，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”.橙子辅导创立于1933年（癸酉），以此类推即将迎来的九十周年校庆的2023年为（

）A．壬寅 B．壬卯 C．癸寅 D．癸卯【答案】D【详解】天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1933年到2023年经过90年，且1933年为癸酉，以1933年的天干和地支分别为首项，又SKIPIF1<0，则2023年的天干是癸又SKIPIF1<0，则2023年的地支是卯所以即将迎来的九十周年校庆的2023年为癸卯故选：D3．（2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（

）A．89 B．55 C．34 D．144【答案】C【详解】设第SKIPIF1<0行实心圆点的个数为SKIPIF1<0，由题图可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：C．4．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为SKIPIF1<0.若设明间的宽度为SKIPIF1<0，则该大殿9间的总宽度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意,设明间的宽度SKIPIF1<0为等比数列的首项,从明间向右共5间,宽度成等比数列,公比为SKIPIF1<0,同理从明间向左共5间,宽度成等比数列,公比为SKIPIF1<0,则由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0所以总宽度为SKIPIF1<0故选:SKIPIF1<05．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二阶段练习）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（

）A．63里 B．126里 C．192里 D．228里【答案】C【详解】由已知，设等比数列首项为SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0，

公比为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，等比数列首项SKIPIF1<0.故选：C.6．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二阶段练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：SKIPIF1<0，从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即SKIPIF1<0，后来人们把这样的一列数组成的数列SKIPIF1<0称为“斐波那契数列”.记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B.7．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么黑色三角形为剩下的面积（我们称黑色部分为谢尔宾斯基三角形）.用上面的方法可以无限操作下去，操作1次得到第2个图案，操作2次得到第3个图案……，若最大的三角形边长为2，则操作4次后得到的第5个图案中挖去的白色三角形个数为___________，挖去的面积为___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】观察图中黑色三角形以及白色三角形的个数，设白色三角形个数为SKIPIF1<0，黑色三角形个数为SKIPIF1<0，可以知道SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即操作4次后得到的第5个图案中挖去的白色三角形个数为40；由题意可知，设图中黑色三角形面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，每次挖去的白色三角形面积都是上一个图形中对应的黑色三角形面积的SKIPIF1<0，故每次操作后图中剩余黑色三角形的面积都是上一个图中黑色部分面积的SKIPIF1<0，故图中黑色三角形面积构成首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，故操作4次后得到的第5个图案中黑色三角形面积为SKIPIF1<0，则挖去的面积为SKIPIF1<0，故答案为：40；SKIPIF1<08．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界近代三大数学难题之一．地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的．四色定理的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”某同学在横格纸上研究填涂蓝、红、黄、绿4种颜色问题，如图，第1行有1个格子，第2行有2个格子，…，第n行有n个格子，将4种颜色在每行中分别进行涂色，每行相邻的格子颜色不同，记SKIPIF1<0为第k行不同涂色种数，则SKIPIF1<0_____，SKIPIF1<0________．【答案】

324

SKIPIF1<0【详解】由分步计数原理知每行的第一个格子有4重涂法，其余每个格子均有3种涂法，故SKIPIF1<0种，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①，所以SKIPIF1<0②，①-②得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案为：324，SKIPIF1<0角度6：强调五育并举1．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二期中）图1是中国古代建筑中的举架结构，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是举，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是相等的步，相邻桁的举步之比分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成公差为0.1的等差数列，且直线SKIPIF1<0的斜率为0.725，则SKIPIF1<0（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】B【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，依题意，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：B2．（2022·福建三明·高二阶段练习）定义各项为正数的数列SKIPIF1<0的“美数”为SKIPIF1<0.若各项为正数的数列SKIPIF1<0的“美数”为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为各项为正数的数列SKIPIF1<0的“美数”为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，满足式子SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·全国·高三专题练习）在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，得到如图所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设第n个正三角形的边长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由勾股定理知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首项为243，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故最小的正三角形的面积为SKIPIF1<0.故选：A4．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）如图，SKIPIF1<0是一块半径为SKIPIF1<0的半圆形纸板，在SKIPIF1<0的左下端剪去一个半径为SKIPIF1<0的半圆后得到图形SKIPIF1<0，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…，记第SKIPIF1<0块纸板SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______，如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，那么SKIPIF1<0的取值范围是______．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【详解】第一块纸板的面积为SKIPIF1<0，第二块纸板的面积为SKIPIF1<0，第三块纸板的面积为SKIPIF1<0，……，第SKIPIF1<0块纸板的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，要使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，只需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.5．（2022·江苏无锡·模拟预测）“刺绣”是一门传统手工艺术，我国已有多种刺绣列入世界非遗文化遗产名录．有一种刺绣的图案由一笔画构成，很像汉字“回”，称为“回纹图”（如图）．某刺绣工在方格形布料上用单线针法绣回纹图，共进行了SKIPIF1<0次操作，每次操作在前一次基础上向外多绣一圈(前三次操作之后的图案分别如下图)．若第SKIPIF1<0次操作之后图案所占面积为SKIPIF1<0（即最外围不封口的矩形面积，如SKIPIF1<0），则至少操作_______次，SKIPIF1<0不少于SKIPIF1<0；若每横向或纵向一个单位长度绣一针，称为“走一针”，如图①共走了SKIPIF1<0针，如图②共走了SKIPIF1<0针，如图③共走了SKIPIF1<0针，则其第SKIPIF1<0次操作之后的回纹图共走了______________针（用SKIPIF1<0表示）．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【详解】由题意得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故至少操作5次；由图形可以看出，第1次操作之后的回纹图共走的针数为SKIPIF1<0，第2次操作之后的回纹图共走的针数为SKIPIF1<0，第3次操作之后的回纹图共走的针数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0第n次操作之后的回纹图共走的针数为SKIPIF1<0故答案为：5，SKIPIF1<06．（2022·全国·高三专题练习（文））某校在研究民间剪纸艺术时，经常会沿着纸的某条对称轴把纸对折，规格为SKIPIF1<0的长方形纸，对折一次可以得到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种规格的图形，他们的周长之和为SKIPIF1<0，对折二次可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三种规格的图形，他们的周长之和为SKIPIF1<0，以此类推，则折叠SKIPIF1<0次后能得到的所有不同图形的周长和SKIPIF1<0为___________SKIPIF1<0，如果对折SKIPIF1<0次后，能得到的所有图形的周长和记为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________SKIPIF1<0.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【详解】对折三次可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四种规格的图形，对折四次可得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0五种规格的图形，对折五次可得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0六种规格的图形，周长和SKIPIF1<0为：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由累加法可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.二、新考法角度1：以高观点为背景1．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为牛顿数列，如果SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为牛顿数列，设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】依题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依题意SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，两边取对数得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A2．（2022·广东广州·高二期中）对于数列SKIPIF1<0定义：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），称数列SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的SKIPIF1<0阶差分数列.如果SKIPIF1<0（常数）（SKIPIF1<0），那么称数列SKIPIF1<0是SKIPIF1<0阶等差数列.现在设数列SKIPIF1<0是2阶等差数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为_________.【答案】SKIPIF1<0【详解】根据题意：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<03．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二阶段练习）对给定的数列SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的一阶商数列；记SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的二阶商数列；以此类推，可得数列SKIPIF1<0的P阶商数列SKIPIF1<0，已知数列SKIPIF1<0的二阶商数列的各项均为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：由数列SKIPIF1<0的二阶商数列的各项均为SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0是以1为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<04．（2022·上海·高二期中）定义:对于任意数列SKIPIF1<0,假如存在一个常数SKIPIF1<0使得对任意的正整数SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则称SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的“上渐近值”．已知数列SKIPIF1<0有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数,且SKIPIF1<0）,它的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0,并且满足SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,记数列SKIPIF1<0的“上渐近值”为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的值为_____．【答案】SKIPIF1<0##-0.5【详解】解:当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0,根据累乘法:SKIPIF1<0;满足n=1情况，故而数列SKIPIF1<0是首项为0,公差为SKIPIF1<0的等差数列,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<05．（2022·四川资阳·高一期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，通常是一个粗糙或零碎的几何形状，并可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状，即具有自相似的特征．如图，有一列曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…，且SKIPIF1<0是边长为1的等边三角形，SKIPIF1<0是对SKIPIF1<0进行如下操作而得到：将曲线SKIPIF1<0的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉SKIPIF1<0记曲线SKIPIF1<0的周长依次为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0.【详解】由题意可知，第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的SKIPIF1<0，第3个图形的边长又是第2个图形边长的SKIPIF1<0，……，所以各个图形的边长构成首项为1，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以第SKIPIF1<0个图形的边长为SKIPIF1<0，由图可知，各个图形的边数构成首项为3，公比为4的等比数列，所以第SKIPIF1<0个图形的边数为SKIPIF1<0，所以第SKIPIF1<0个图形的周长为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0角度2：以给定定义、热点信息为背景1．（2022·山东聊城·高三期中）若函数SKIPIF1<0使得数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为递增数列，则称函数SKIPIF1<0为“数列保增函数”．已知函数SKIPIF1<0为“数列保增函数”，则a的取值范围为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意，对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0恒成立，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）对于数列SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的“好数”，已知某数列SKIPIF1<0的“好数”SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：由题意，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0对上式也成立，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为等差数列，故SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立可化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D．3．（2022·河南三门峡·高三阶段练习（文））定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的和构成一个等比数列，则称该数列为“和等比”数列。已知“和等比数列SKIPIF1<0的前三项分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前11项和SKIPIF1<0________．【答案】1365【详解】依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此等比数列SKIPIF1<0的首项是2，公比为2，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：13654．（2022·福建宁德·高三期中）对于数列{SKIPIF1<0}，若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则称该数列{SKIPIF1<0}为“凸数列”．设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是凸数列，则实数m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是“上凸数列”，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，取最小值SKIPIF1<0故SKIPIF1<0又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：D5．（2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第19项为（

）A．290 B．325 C．362 D．399【答案】B【详解】设该数列为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…可知该数列逐项差数之差SKIPIF1<0成等差数列，首项为1，公差为2，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，上式相加，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：B.角度3：考查开放、探究精神1．（2022·上海·高二专题练习）如图，在边长为1的正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得正三角形SKIPIF1<0，以此类推可得正三角形SKIPIF1<0正三角形SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为正三角形SKIPIF1<0的边长为1，所以SKIPIF1<0，在边长为1的正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，同理可求：SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似，相似比为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．同理可求：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成一个首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．2．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45，SKIPIF1<0中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．【答案】153【详解】解：因为：1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的；所以：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0第9个六边形数为：SKIPIF1<0．故答案为：153．3．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）将正整数SKIPIF1<0分解为两个正整数SKIPIF1<0的积，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如SKIPIF1<0即为6的最优分解，当SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最优分解时，定义SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前100项和为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】当SKIPIF1<0时，由于SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由于SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的前100项和为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<04．（2022·全国·高三专题练习）中国古代数学史有许多光辉灿烂的篇章，“杨辉三角”就是其中十分精彩的一页．如图所示，在“杨辉三角”中，斜线SKIPIF1<0上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】285【详解】SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上面各式相加可得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案为：285．5．（2022·上海·华师大二附中高一期末）如图，在边长为1的正三角形ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得正三角形SKIPIF1<0，以此类推可得正三角形SKIPIF1<0