新高考数学二轮复习巩固练习03 解三角形（解析版）

微专题03解三角形【秒杀总结】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．【典型例题】例1．（2023秋·山西太原·高三统考期末）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）由余弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（2）由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．例2．（2023·浙江·统考一模）记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求B；(2)求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）由正弦定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以由余弦定理得SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．例3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，D为边AC上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若直线BD平分SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0内切圆半径之比的取值范围.【解析】（1）如图1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，不妨记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）如图2，不妨设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0内切圆的半径分别为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，因为直线BD平分SKIPIF1<0，所以由角平分线性质定理得SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为顶点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离），又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0内切圆半径之比的取值范围为SKIPIF1<0..例4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角SKIPIF1<0中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)求角B的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长的取值范围．【解析】（1）SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）锐角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为锐角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以三角形周长的取值范围是SKIPIF1<0.例5．（2023·全国·高三专题练习）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知SKIPIF1<0．(1)求证：B＝2A；(2)求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，由积化和差公式可得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为三角形ABC为锐角三角形，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）由（1）知：SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.例6．（2023·全国·高三校联考阶段练习）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面内是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0；若不存在，说明理由.【解析】（1）由面积公式可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，建立如图所示的平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的SKIPIF1<0边上的高的范围为SKIPIF1<0，故其面积的取值范围为：SKIPIF1<0（2）因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为直角三角形且SKIPIF1<0如图，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0为锐角，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故SKIPIF1<0存在且SKIPIF1<0.例7．（2023·全国·高三专题练习）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在SKIPIF1<0中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______．(1)求角A的大小；(2)若SKIPIF1<0为锐角三角形，且其面积为SKIPIF1<0，点G为SKIPIF1<0重心，点M为线段SKIPIF1<0的中点，点N在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相交于点P，求SKIPIF1<0的取值范围．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．【解析】（1）若选①SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若选②SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）依题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，故设SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，故设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为锐角三角形，当SKIPIF1<0为锐角，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为锐角，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【过关测试】1．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足SKIPIF1<0(1)求角C；(2)CD是SKIPIF1<0的角平分线，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求c的值.【解析】（1）由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（2）由面积公式得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又CD是SKIPIF1<0的角平分线，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.2．（2023·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的长度；(2)若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆上任意一点，求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，由余弦定理知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.（2）由（1）知：SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆的直径.SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆上任意一点，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点时，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点时，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0在优弧SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0中，由正弦定理知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0在劣弧SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0中，由正弦定理知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.3．（2023·全国·高三专题练习）如图，某城市有一条SKIPIF1<0从正西方通过市中心SKIPIF1<0后转向东偏北60°方向SKIPIF1<0的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路SKIPIF1<0，并在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分别设置两个出口A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在A的东偏北SKIPIF1<0的方向（A，SKIPIF1<0两点之间的高速路可近似看成直线段），由于A，SKIPIF1<0之间相距较远，计划在A，SKIPIF1<0之间设置一个服务区SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的正北方向且SKIPIF1<0，求A，SKIPIF1<0到市中心SKIPIF1<0的距离和最小时SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0到市中心SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0设在SKIPIF1<0的平分线与SKIPIF1<0的交点位置，且满足SKIPIF1<0，则求A到市中心SKIPIF1<0的距离最大时SKIPIF1<0的值.【解析】（1）由题意可知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的正北方向，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，取等号，所以A，SKIPIF1<0到市中心SKIPIF1<0的距离和最小时SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值20，此时在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当A到市中心SKIPIF1<0的距离最大时SKIPIF1<0.4．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的两点，且SKIPIF1<0恰为SKIPIF1<0中点.(1)证明：SKIPIF1<0(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）证明：设SKIPIF1<0，由余弦定理知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外心知SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，同理可知SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，由余弦定理知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取到等号，因此SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.5．（2023·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外的一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0为多少时，平面四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0最大，并求SKIPIF1<0的最大值．【解析】(1)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对的边分别是SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．SKIPIF1<0由正弦定理得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，平面四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0．6．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD中，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求△ABC的面积；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求∠ACB的值．【解析】（1）在△ABC中，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在△ACD中，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．在△ABC中，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．联立上式，并由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即∠ACB的值为SKIPIF1<0．7．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值；(2)设四边形SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解析】（1）由已知SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用余弦定理知SKIPIF1<0，结合基本不等式有SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，即SKIPIF1<0的最大值为1，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0（2）四边形SKIPIF1<0存在外接圆，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为等腰梯形，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同理，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<08．（2023·上海·高三专题练习）SKIPIF1<0中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足SKIPIF1<0．(1)当A为何值时，函数SKIPIF1<0取到最大值，最大值是多少？(2)若SKIPIF1<0等于边AC上的高h，求SKIPIF1<0的值．【解析】（1）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，最大值为2；（2）由（1）知：SKIPIF1<0，由三角形面积公式得：SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由和差化积得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.9．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为锐角．(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的面积．【解析】（1）由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是锐角，∴SKIPIF1<0．由余弦定理可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴BD是四边形SKIPIF1<0外接圆的直径，∴BD是SKIPIF1<0外接圆的直径，利用正弦定理知SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．10．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）如图，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求梯形SKIPIF1<0的面积；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【解析】(1)设SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而x>0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0等高，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，则梯形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0；(2)在梯形SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，两式相除得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．11．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)证明：SKIPIF1<0为定值．【解析】（1）由SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）由已知条件得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,

∴SKIPIF1<0,由余弦定理得SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为定值．12．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）如图，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为斜边的等腰直角三角形，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.【解析】（1）取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为斜边的等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0是等边三角形，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.如图，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及过SKIPIF1<0点垂直于平面SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴的正方向建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0.13．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题．在SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，SKIPIF1<0的面积为S．且满足______．(1)求A的大小；(2)设SKIPIF1<0的面积为6，点D为边BC的中点，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）选①，由SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；选②，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；选③，SKIPIF1<0，由正弦定理和切化弦得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．14．（2023·全国·高三专题练习）如图，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内的一点，SKIPIF1<0记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0记为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中的对边分别记为m，n，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长和SKIPIF1<0面积的最大值.【解析】（1）已知SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中，由余弦定理得知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为，SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0面积有最大值SKIPIF1<0.15．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若BC边上的高是AH，求BH的最大值.【解析】（1）由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0.（2）由题意，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.16．（2023