常微分方程试题库试卷库

常微分方程期终考试试卷（1）

一、填空题（30%）

1、方程+N（羽'）办=0有只含%的积分因子的充要条件是（）。

有只含丁的积分因子的充要条件是。

2、称为黎卡提方程，它有积分因子=

3、称为伯努利方程，它有积分因子o

4、若X]Q）,X2«）,为八阶齐线性方程的〃个解，则它们线性无关的充要条件

是O

5、形如的方程称为欧拉方程。

6、若。⑺和收⑺都是％=4。%的基解矩阵，则。⑺和少⑺具有的关系是

7、当方程的特征根为两个共轨虚根是，则当其实部为时，零解是稳定的，对应

的奇点称为=

二、计算题（60%）

]泌_（x+y3）dy=o

2、+x=sint-cos2t

21

A=

—14

3、若-试求方程组x'=Ax的解口2」并求expAt

-4xy—+8j2=0

4、dx

包…/

5、求方程办经过（0,0）的第三次近似解

dx.dy-

—=-x-y+1,—=x—y—5

6.求力dt的奇点，并判断奇点的类型及稳定性.

三、证明题（10%）

1、〃阶齐线性方程一定存在〃个线性无关解。

试卷答案

一填空题

dMSNdMdN

—8dydx

=(p(y)

1、—M

半=〃(％>2+Q乂y+R%

2、axy=y+z

“（％,算小（夕》,

3、

4、用工1⑺,尤2⑺，，⑺]。。

q+%卷+”=。

xn也+汇+

dxn1dxn-l

5、

6、"⑺=。«）。

7、零稳定中心

二计算题

9MdN

i、解:因为,所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子

,后力=/"11dxx+y3,

〃(y)=e'——--------9内=。

丁，两边同乘>得>>

2

xy

—+—=c

y2即2%=y（y+c）另外y=o也是解

2、线性方程%"+尤=0的特征方程之2+]=0故特征根几=±1

力Q）=sm/几='・是特征单根，原方程有特解XM/ACOS/+BSHU）代入原方程

1

A=-2B=of2（t）=-cos2t/I=2,不是特征根，原方程有特解

x=Acos2t+BsinZ,代入原方程B=0

x=cxcosr+c2sinr——tcost+—cos2t

所以原方程的解为23

%-2—1

pW==22-62+9=0_

12—4解得4,2=3此时k=ia=2

3、解：

六(A-34卜/H)

〃2」\_i=0l-_〃2+Sl+%)

A

苦±G(A-花y

由公式expAt=i=0’.得

-I0—111—tt

expAt=e3t[E+t(A-3E)]=e3t+t

01—11—t1+?

―4y由3=px=

4、解：方程可化为dx令dx则有4卯(*)

2y(/-4y2+p(8y2_p3)=4y2P

(*)两边对y求导：

(，3—4y2)(2y，—夕)=02y?—p=0_|y=(^)2

即dy由办得P=⑦即c将y代入

c22P

X=----1---5-

4c2

%上+“

•A/i2If

(*)4c即方程的含参数形式的通解为:Cp为参数

2-_4%3

又由4>2=°得〃=(4/)3代入(*)得：'27”也是方程的解

%=%=°

2

。1=%+小小5

,2

3°X1、)X

。3=%+-----1----)dx——+一+-------1-----

5、解:40020----2204400160

dx

y

dt

-x-y+1=0包—一

解得奇点(3,-2)令X=x-3,Y=y+2则y

6、解:由%_y_5=°、dt

—1—i

1-i

因为=1+1Wo故有唯一零解(0,0)

A+1

=22+22+1+1=22+22+2=0

得几=一1±力故(3,-2)为稳

定焦点。

--、证明题

由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解:

西优)=1,%2(%0)二°，=。

司优)=0,X2(?Q)=1,,%〃(%0)=0

k1。0）=。,域1（%0）=。，,X；1（/0）=1

100

010

阿西（%0）,%2（%0）,，%〃（%0）]==1W。

以由001

考虑

从而七Q）（z=l,2,"）是线性无关的。

常微分方程期终试卷（2）

一、填空题30%

1、形如的方程，称为变量分离方程，这里./（X）0（V）分别为x.y的连

续函数。

2、形如的方程，称为伯努利方程，这里为小的连续函

数.nW。」是常数。引入变量变废----------，可化为线性方程，

3、如果存在常数LA。，使得不等式对于所有

（九,y）,（无,％）GR都成立，L称为利普希兹常数,函数/（x,y）称为在R上关于

》满足利普希兹条件。

4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里4，出，是常数。

5、设。⑺是x'=A无的基解矩阵，0⑺是x'=A（t）x+/«）的某一解，则它的任一

解/⑺可表为_o

二、计算题40%

@=62—4的通解。

1、求方程公工

2、求方程加工的通解。

3、求方程x"+6x'+5x=e2'的隐式解。

@=x+/通过点（0、0）的第三次近似解。

4、求方程公

三、证明题30%

「21「01]rI

tt22/

1.试验证①（'）』2f1」是方程组x'=〔t2"x,x」X2」，在任何不包含原点的区间

上的基解矩阵。

2.设①（0为方程x'=Ax（A为nxn常数矩阵）的标准基解矩阵（即①（0）=E）,证明：

①（。①T（to）=①（t-t。）其中t。为某一值.

《常微分方程》期终试卷答卷

一、填空题（每空5分）

5=/(x)9(V)孚=P(x)y+Q(x)yni-„

1dx2>dxz=y

//(3)-/(x，为)品4%—%|

o'

X'"+“产7+…+3包+%y=。

4、dx"1dxn-1"Tdxn

5、7«）=O（f）+e（r）

二、计算题（每题10分）

I2=_y2立

1、这是n=2时的伯努利不等式，令2=y，算得办'dx

代入原方程得到办工，这是线性方程，求得它的通解为z=%68

----1---------------二C

带回原来的变量y,得到、=/8或者y8,这就是原方程的解。

此外方程还有解y=0.

2、

dyxexy-y

-=exy-xy=---------

解：dxx

xdy=(xexy-y)dx

xdy+ydx=xexydx

dxy=xexydx

dxy7

----=xdx

exy

-e~xy=-x2+c

积分：2

1

——9+L+。=0

故通解为：2

解：齐线性方程九''+6%'+5%=°的特征方程为矛+62+5=0,

5f

4=-1,=-5f故通解为％。）=G"'+c2e~

彳=2不是特征根，所以方程有形如MO=Ae"

把%。)代回原方程4Ae2'+12Ae2'+5Ae"=e"

A=—

21

X(f)—CyC'+QC%H----

于是原方程通解为21

4、

解。0(%)=。

x冗2

01(%)=J[X+(x)]dx=—

o2

X%2冗5

夕2(x)=J[x+(p^x)]dx=—+—

o22。

%„25„8„11

/、「「2/、、[

(%)—I[x+([)n(x)]dx=---1----1----1-----

3J22201604400

三、证明题(每题15分)

,2、小、roi)

t凹_22

1、证明：令①Q)的第一列为91(t)=(20，这时。1(t)=l2j=(f⑴故必⑴

门、(01)

1_2_2

是一个解。同样如果以。2⑴表示①(f)第二列，我们有%(t)=l°人I/t)(P2(t)

这样%(t)也是一个解。因此①Q)是解矩阵。又因为det①G)=-t2故①0)是基解矩阵。

2、证明：(1)①⑺，①(t-t。)是基解矩阵。

(2)由于①Q)为方程x'=Ax的解矩阵，所以①⑺①t(t。)也是x'=Ax的解矩阵,

而当t=t。时，<D(t。)①T(to)=E,<D(t-to)=<D(0)=E.故由解的存在唯一性定

理，得①G)①T(to)=<D(t-t。)

常微分方程期终试卷(3)

一.解下列方程(10%*8=80%)

2

22)l+y

1.1.2xylnydx+{x+丁/}dy=O

dyy

----2

2.dx=QX-xy

.(上幻

3.y=2x+y—l

5.5.tgydx-ctydy=0

2

6.6.{y-x(x2+y)}dx-xdy=0

7.一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比(比例系数为占)

的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比(比例系数为

心)。试求此质点的速度与时间的关系。

8.已知f(x)J。，'，=1»。0,试求函数£&)的一般表达式。

二.证明题(10%*2=20酚

]

9.试证：在微分方程Mdx+Ndy=O中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN，0,则^xM+泗）

是该方程的一个积分因子。

10.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。

试题答案：

dMdN

8MdNQyQx2%lny1

1.解：方=2xlny+2x,②=2x,则-M=-2qlny=_y,故方

程有积分因子〃(y)=e、'=y,原方程两边同乘以y得

2xylny22+/S+。?_____

ydx+ydy=o是恰当方程.d(Xlny)+yJl+Vdy=0,两边积分得方

3

2

程的解为.

-i

2.解：1）y=0是方程的特解。2）当yWO时，令z二）得

2

dz_6_c!x

dx=%z+x.这是线性方程，解得它的通解为z=F8

12

1CX

-6"-------

代回原来的变量y得方程解为V=%8.y=o.

dv2-----

3.解：令x=u+3,y=v-2,可将原方程变为"&=\U+VJ,

-M—2|]+zdz

u—

再令z=",得到z+U=、'十即〃二

(\

J—I--------Tdzfdu

z14,-J

分离变量并两端积分得IZ〃+lnC

即In忖+2arctgz=MM+lnC,

_v

..-2arctg—

In।'=_2arctgz+lnC代回原变量得v=C，

,y+2

-2arctg-----

所以，原方程的解为y+2=CCX-3.

1/x一2

4.解：将方程改写为y」+%（*）令U二X,得至|JXy=X4+U,则(*)变为X

du____

dx二）"U,变量分离并两边积分得arcsinu=ln1^1+lnC,故方程的解为

2

x

arcsin=lnCxo

5.解:变量分离ctgxdy二tgydx,两边积分得In（siny）=-+c或sinycosx=C（*）

n

另外，由tgy=0或ctgx=0得y=k»（k=0、1…）,x=t%+2（t=0、1…）也是方程的解。

tgy=0或ctgx=0的解是（*）当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=Co

2222

6.解：ydx-xdy-x(+>)dx=0,两边同除以％+>得

ydx-xdy

X1X1

22——2-—2

%+y-xdx=0,即d(arctg丁)-2dx=0,故原方程的解为arctg丁—2X=c。

dv

7.解：因为F=ma=m力\又F=一/2=左/一左2丫,

dvdv——

即m4=kf—k2"(V(0)=0),即力二七1'Z2V(v(O)=O),

kF卜k

-----2与8m

解得v二％2em+左2（t七）.

/（X）」（/«）"，两彷索身制

8.解：令f(x)=y,

11-」4

—y3，

即丁二y,即>=dx,两边求积得>=2x+c,

ii

±-——±―——

从而y=J'2x+C,故f(x)=，2x+C.

9.证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为

=nM,xNx+yN丫=心,故有

dMdN

dyxM+yNdxxM+yN=

M+yN)-y+N+yNJN，xM+yN)-N(xM,+凡+yN)

(xM+yN)2(xM+yN)~

M(XN,+yN)-N(xM+yNJ

2

={xM+yN)

M(nN)—N(nM)

=—一(xM+yN)?加

故命题成立。

10.解：1）先找到一个特解丫=》。

2）令y=y+z,化为n=2的伯努利方程。

证明：因为y=y为方程的解，

dy2

所以公=P（X）y+Q（X）y+R（X）（i）

令则有

dydz2

dx+dx=p（x）（>+z）+Q（x）（y+z）+R（x）⑵

dz2

⑵一⑴得dx二P（x）（2yZ+Z）+Q（x）z

dz

-v2

即dx=[2P（x））+Q（x）]z+P（x）Z

此为n=2的伯努利方程。

常微分方程期终试卷（4）

一、填空题

1、（）称为变量分离方程，它有积分因子（）。

2、当（）时，方程加（无，、），%+?/（%丁）心=°称为恰当方程，或称全

微分方程。

3、函数/（苍丁）称为在矩形域R上关于>满足利普希兹条件，如果（）。

4、对毕卡逼近序列，队⑴―秋-1（刈"（）。

5、解线性方程的常用方法有（）。

6、若X,«）«=l，2,…，⑶为齐线性方程的〃个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可

表为（）。

7、方程组x'=4（’）x（）0

8、若“«）和〃«）都是％'=40％的基解矩阵，则。⑺和〃⑺具有关系：（）。

9、当方程组的特征根为两个共轨虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对

应的奇点称为（）=

10、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时，零解是渐近

稳定的，对应的奇点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对应的

奇点称为（）o

1]、若"⑺是x'=A«）x的基解矩阵，则x'=A«）x=/⑺满足=〃的解

（）。

二、计算题

求下列方程的通解。

—=4e~ysinx-1

1、dx

dy2

—=1+y

3、求方程公'通过（°，°）的第三次近似解。

求解下列常系数线性方程。

4、%"+%'+%=0。

5、X附7=3。

试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点,进一步判断奇点的类型及稳定性:

dx—X—y+!,包^=x—y—5

6、dtdt

三、证明题。

1、1、设。«）为方程%'=Ax（A为〃常数矩阵）的标准基解矩阵（即。（0）=石），

证明帕）。—%o）其中%为某一值。

答案：八

一、填空题

1

3=/（x）g（x）u-------

1、形如小的方程g(y)

8M8N

dydx

3、存在常数L〉0,对于所有（为，%），（%,%）eR都有使得不等式

|/（七，％）-/（色>2）|的乃一巴|眇立

*k

4、k\

5、常数变异法、待定系数法、幕级数解法、拉普拉斯变换法

x（0=

6、-i,其中qq,・・・,g是任意常数

7、九个线性无关的解匹⑺，々⑺，…居⑺称之为x'=A⑺”的一个基本解组

8、椁）=@3c（a<.<»c为非奇异常数矩阵

9、等于零稳定中心

10、两根同号且均为负实数稳定结点两根异号或两根同号且均为正实数不稳

定鞍点或不稳定结点

]]=。⑺°T«0）7+。⑺『/（s）/（s）ds

二、计算题

dey

------二—ey+4sinx—1

i、解：方程可化为dx

dz彳.

——=-z+4smx

令2=",得dx

由一阶线性方程的求解公式，得

z=/(j4sinxe~)dx+c=e~x[2(sinx-cosx)]ex+c=2(sinx—cos%)+ce

所以原方程为：eP=2(sinx-cosx)+ce-

S

有

解

从

则

设

-而

:

，

•±1

冠

fr坦

XIg。

-r・=

'n

方

为

故

程

♦S%l的解

(x+c)+l=y,另外y=±l也是方程的解

解：。。

3、0(%)=

rx12

/(x)=J。xd关5x

(Or.(x)—f(xH—x4)dx=-XH-----%5

2Jo4220

(P-,(%)=[¥|-%+(—%12*+—%5)2dx=['fx+—X4H■——x10+—X7

3Jo[220\J。I440020J

1x11J_8

=-x2+—x5++x

2204400160

_1,V3.q

1

42+2+1=。，解得I222

4、解：对应的特征方程为:

」V3V3

2

x=e(qcos-^-Z+c2sinZ)

所以方程的通解为:

2=1以二T±®

5、解:齐线性方程％"'-%=°的特征方程为牙―1=0,解得2,32

t4V3.".Vs.

ee/cos—ic乙sin—i

故齐线性方程的基本解组为：’22，因为4=1是特征根,

所以原方程有形如x«）=tAet,代入原方程得，3Ae!+Ater-Ater=er,所以

i-x/3.--.V3.1t

A=-t-5cos—i+sin—iH—tc

2

3,所以原方程的通解为了=cxe+c2e223

-x-y+\=0x=3X=x-3

解得所以奇点为（）经变换，

6、解:%-y-5=0B=—23,-2［y=y+3

-=-X-Y

dt

◎=x-y*0,

1-1

方程组化为、dt因为又

2+11

=(2+1)2+1=0

2+1所以4=—i+，,4=—1―，，故奇点为稳定

焦点,所对应的零解为渐近稳定的。

三、证明题

1、证明：0«）为方程x'=Ax的基解矩阵°TQ。）为一非奇异常数矩阵，所以

。⑺°|伉）也是方程才=—的基解矩阵，且0Q—玲）也是方程x'='的基解矩阵，

且都满足初始条件西）。'。0）=E,帕oTo）=。（°）=E

所以。⑺，%）=0«To）

常微分方程期终考试试卷（5）

一.填空题（30分）

~~—P（x）y+Q（x）-fp（x）（&

1.公称为一阶线性方程，它有积分因子eJ,其通解为

2.函数/（龙，川称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果。

3.若9（x）为毕卡逼近序列｛%（%）｝的极限，则有忸（X）—弘（刈<。

虫=/+）2

4.方程公'定义在矩形域火：—2Wx<2,—2<y<2上，则经过点（°,。）的解

的存在区间是o

t—t2?

5.函数组e，e，e的伏朗斯基行列式为。

6.若%，«）«=12…，〃）为齐线性方程的一个基本解组，X。）为非齐线性方程的一个特解,

则非齐线性方程的所有解可表为o

7.若①⑺是1=4⑺%的基解矩阵，则向量函数。⑺=是％=A«）x+/«）的满

足初始条件斑）=°的解；向量函数9«）=

是九=A（t）x+/（0的满足初始条件）=〃的解。

8.若矩阵A具有〃个线性无关的特征向量匕#2,…，V”，它们对应的特征值分别为

4,4,…4,那么矩阵①«）=是常系数线性方程组％=A%的一个基解矩阵。

9.满足的点a*，y*）,称为驻定方程组。

计算题（60分）

10.求方程4/y2dx+2（心—1）办=0的通解。

dyy

—+x=0

11.求方程dx的通解。

^=x2-y2

<dx

12.求初值问题〔>（T）=°的解的存在区间，并求第二次近似解,

给出在解的存在区间的误差估计。

13.求方程％,+9无=/sin3f的通解。

14.试求方程组1=4+/⑺的解9（）

--11「12]「e「

夕（0）=[,A=43厅3=1

虫=2x-7y+19,@=x-2y+5

15.试求线性方程组力dt-的奇点，并判断奇点的类型及稳定

性。

三.证明题（10分）

16.如果。⑺是％=Ax满足初始条件0色）=〃的解，那么

常微分方程期终考试试卷答案

一.填空题（30分）

1y=Q（x）e^PMdxdx+c）

2.7（%»）在H上连续，存在L〉O,使P（x,y）—/（苍月）区4%一%|,对于任意

(羽%),(%,%)GH

ME1

hn+i

3.5+1)!

11

——<X<—

4.44

el2/

et2t

el2t

5.

n

x«)=Zc/«)+M。

6.i=l

f①(OOT(s)/(s)ds①⑺①Tg)77+①⑺1①T(s)f(s)ds

7.

8.

9.X(x,y)=O,y(x,y)=O

二.计算题(60分)

dM8N.

-----=X%2y,=ox2y

10.解：②dx

dMdN

dydx-j-t/y_1

-M2y积分因子M(y)=e2y2

2_1

23

两边同乘以〃G)后方程变为恰当方程：4%2y3d%+2y(xy-l)tZy=0

du,42743I

———M—^xy3u=—xy2+0(y)

及两边积分得：3

fl11

一二2x3y2+0(y)=N=2x3y2-2y2

8■

2

得:9(y)=Ty2

j.

因此方程的通解为：y2(/y-3)=c

dy_■_

ii.解：令公>p则?+〃_%=0

得：^=p+ep

y=Jpdx=jp(l+ep)dp

那么

=~^—+pep-ep+c

2

x=p+ep

y=g+(p-l)e，+c

因此方程的通解为:

M=max|/(x,y)|=4

12.解：1

h=min(a,—)=-

|%一/|41=小_%|<1=%M4

|x-x0|=|x+l|<A=

解的存在区间为

5.3

----<X<—

即44

今0o(x)=%=0

(p、(x)=0+Jx~dx———b—

x3%7X4X11

02(X)=0+Ldx=----

36318942

更=\-2y\<2=L

又

1

|夕2（%）-。（刈三则二h"+l

误差估计为：24

13解・/2+9=0=>4=3，；4=-3i

X=3,•是方程的特征值，设x«)=(A/+3)e3”

得：%"=(2A-9Bf+l2Ait+6Bi-9At2)e3it

则2A+12Ait+6Bi=t

得：1236

11

%(%)=C]cos3，+。2sin3，一五12cos3z+—Zsm3t

因此方程的通解为:

A—1-2

det(AE-A)==(2+1)(2—5)=0

14.解：-42-3

4=—1,/12=5

「a1「1

(4E—A)%=。得-a」取

[尸]「「

2

(%E—AM=。得*[2闺取-LJ

①(。=

则基解矩阵

e

①⑺①T1(0)〃=「~'

35；1,2

——e+—e——

①⑺(①T(s)/(s)ds=2045

3sr1八1

1025.

。⑺=①⑺①t(0)7/+①⑺，①tG)/(s)ds

因此方程的通解为:

12

--

4一5

2011

3-+-

一e25

10

2x-7y+19=0Jx=1

x-2y+5=0[y=3

15.解:

(1,3)是奇点

尤

令X—T+1万9,y_—yv—55

-^2X-Jy,—=x-2Y

dtdt

2-72八八272-27

=n3#0,=3+允=0

]—20F一T2+20

2,那么由2-2

因此（1,3）是稳定中心

三.证明题(10分)

口…/⑺=①⑺①飞切+①⑺叱⑶/⑸公

16.证明：由定理8可知