201609南开大学概率论与数理统计复习资料

《概率论与数理统计》复习资料一、考试说明考试形式和试卷结构考试形式：当堂开卷试卷内容比例：概率论部分约占72%数理统计部分约占28％题型比例：选择题约占24%，填空题约占24％，解答题约占52%说明:在下列的复习题中，包括试题中题目分数约为70分，包括了所有试题题型，由于考试形式为开卷，所以请同学们认真做一下下面的复习题，这样至少保证通过考试，在确保通过考试的基础上，请同学们认真复习，取得满意的成绩。二、复习题单项选择题1、A、B、C表示事件，下列三个有关事件的关系式中，正确的有（）．（1）A+BC＝(A+B)(A+C)（2）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）A+B=ABA、0个；B、1个；C、2个；D、3个知识点答案等可能概型c2、掷2颗骰子，设点数之和为3的事件的概率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）（A）SKIPIF1<0;(B)SKIPIF1<0;(C)SKIPIF1<0;(D)SKIPIF1<0.知识点答案等可能概型c3、一部文集，按顺序排放在书架的同层上，则各卷自左到右或自右到左卷号恰好为1、2、3、4顺序的概率等于（）SKIPIF1<0知识点答案等可能概型b4、某次国际会议共有1000人参加，其中有400人来自天津，350人来自北京，250人来自国外。已知有100人将在会议发言，则恰好有40个发言者是天津人的概率为（）．A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0知识点答案超几何概型b5、已知SKIPIF1<0两事件满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0知识点答案随机事件概率a6、已知甲乙两人射击的命中率分别为0.8和0.9，现让他们各自独立地对同一目标各射一次，求目标被命中的概率为（）。A、0.72；B、0.84；C、0.93；D、0.98知识点答案条件概率d7、袋中有三张彩票，其中只有一张是可以中奖的。甲、乙、丙三个人一次从袋中取出一张彩票，则（）．A、甲中奖的概率最大B．乙中奖的概率最大C、丙中奖的概率最大D、三个人中奖的概率相同知识点答案条件概率与全概率公式D8、设某批产品中甲、乙、丙三个厂家的产量分别占45%，35%，20%，各厂产品中次品率分别为4%、2%和5%.现从中任取一件，取到的恰好是次品的概率为（）.A．0.035 B．0.038C．0.076 D．0.045知识点答案全概公式a9、设事件A，B相互独立，且P（A）=SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0知识点答案随机事件的独立性d10、设随机变量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0()．A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0知识点答案二项分布b11、设随机变量X~N(1,4)，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）.A、SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0知识点答案正态分布d12、设随机变量X~N(μ，σ2)，若μ不变，当σ增大时概率P{|X-μ|<1}（）．A、增大B．减小C、不变D、增减不定知识点答案正态分布b13、设SKIPIF1<0的概率密度为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的概率密度SKIPIF1<0（）.（A）SKIPIF1<0;(B)SKIPIF1<0;(C)SKIPIF1<0;(D)SKIPIF1<0.知识点答案随机变量函数的分布a14、设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是相互独立的两个随机变量，SKIPIF1<0服从SKIPIF1<0上的均匀分布，即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0服从参数为2的指数分布,即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.1B.2C.3D.4知识点答案期望和方差b15、对两个随机变量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若E[X+Y]=E[X]+E[Y]，则（）．A、D(X+Y)=D(X)+D(Y);B、E[XY]=E[X]E[Y];C、D(XY)=D(X)D(Y);D、上述结论都不一定成立．知识点答案数学期望的性质d16、随机变量SKIPIF1<0,且已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则此二项分布中参数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（）.（A）SKIPIF1<0;(B)SKIPIF1<0;(C)SKIPIF1<0;(D)SKIPIF1<0.知识点答案数学期望a17、设随机变量X服从正态分布N(0,1)，Y=3X+4，则D(Y)=（）.A、3B、4C、9D、16知识点答案期望和方差c18、设随机变量X和Y都服从区间[0，1]上的均匀分布，则E[X+Y]=（）．A、1/6；B、1/2；C、1；D、2知识点答案期望和方差c19、两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,4)和N(0,9)，则D(2X+3Y)=（）．A、72B、84C、97101知识点答案数学期望与方差C20、对两个随机变量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则（）成立。（A）SKIPIF1<0;(B)SKIPIF1<0;(C)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相互独立;(D)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不相互独立.知识点答案期望和方差b21、设随机变量X和Y的方差D(X)，D(Y)都不为零，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X与Y（）．A、不相关的充分必要条件;B、独立的充分条件，但不是必要条件;C、独立的充分必要条件;D、不相关的充分条件，但不是必要条件．知识点答案方差的性质a22、设SKIPIF1<0,则根据切比雪夫不等式SKIPIF1<0（）.（A）SKIPIF1<0;(B)SKIPIF1<0;(C)SKIPIF1<0;(D)SKIPIF1<0.知识点答案切比雪夫不等式a23、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ未知，σ2已知X1，X2，X3是取自总体X的一个样本，则以下不能作为统计量的是（）．A、X1+μB、X1+X2/4C、2X1+3X2+4X3D、(X1+X2+X3)/σ2知识点答案统计量a24、设X1,X2,…,Xn是正态总体N(μ,σ2)的样本,则样本均值SKIPIF1<0的方差D(SKIPIF1<0)=（）．A、σ2B、nσ2C、σ2/nD、σ2/n2知识点答案统计量C25、随机变量X服从(0-1)分布,参数p未知,有容量为n的样本观察值x1,x2,…,xn,则参数p的最大似然估计为（）．A、x1,x2,…,xn中的最大值max{x1,x2,…,xn}B、x1,x2,…,xn中的最小值min{x1,x2,…,xn}C、x1,x2,…,xn的中间值xn/2D、x1,x2,…,xn的平均值(x1+x2+…+xn)/n知识点答案最大似然估计D26、设总体SKIPIF1<0已知而SKIPIF1<0为未知参数，SKIPIF1<0是从总体SKIPIF1<0中抽取的样本，记SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0表示标准正态分布的分布函数，已知Ф（1.96）=0.975，Ф(1.28)=0.90，则SKIPIF1<0的置信度为0.95的置信区间是（）。A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0知识点答案区间估计b27、设总体SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0均为未知参数，SKIPIF1<0是取自总体SKIPIF1<0的样本，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的置信度为SKIPIF1<0的置信区间为（）。A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0知识点答案区间估计b28、设总体ξ服从正态分布N（SKIPIF1<0），其中SKIPIF1<0未知而SKIPIF1<0已知，（SKIPIF1<0）为取自总体SKIPIF1<0的样本，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0作为SKIPIF1<0的置信区间，其置信度为（）。A、0.95B、0.05C、0.975D、0.90知识点答案区间估计d29、在假设检验中，原假设H0，备择假设H1，则称（）为犯第二类错误。A、H0为真，接受H1B、H0不真，接受H0C、H0为真，拒绝H1D、H0不真，拒绝H0知识点答案假设检验a30、在假设检验中，显著性水平SKIPIF1<0表示（）。A、P{接受H0|H0为假}B、置信度为SKIPIF1<0C、P{拒绝H0|H0为真}D、无具体意义知识点答案假设检验c31、在假设检验中，下列结论正确的是（）。A、只犯第一类错误B、只犯第二类错误C、既可能犯第一类也可能犯第二类错误D、不犯第一类也不犯第二类错误知识点答案假设检验c（二）填空题从一个装有10个黑球和4个白球的袋中，抽出5个球、其中2个是黑球、3个是白球的抽取方法共有种．（答案：180）知识点等可能概型2、有5只球，随机地放入5个盒子中，则每个盒子中恰好有1只球的概率为______．（答案：4!/54=24/625）知识点等可能概型3、由50人组成的人群中至少有两个人在同一天过生日的概率为．（答案：0.97）知识点等可能概型4、设P(A)=P(B)=1/2,P(AB)=1/3,则A与B都不发生的概率为SKIPIF1<0（答案：1/3）知识点随机事件的概率5、设A、B是两随机事件，且P(A)=0．6，P(B)=0．7，ASKIPIF1<0B，则P(A|B)=．（答案：6/7）知识点条件概率6、若P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(B|A)=1/3,则P(A|B)=．（答案：1/2）知识点独立性7、一项任务同时拍甲、乙二人分别单独去完成。甲能完成任务的概率为0.9，乙能完成任务的概率为0.8，则该项任务将被完成的概率为．（答案：0.98）知识点独立性8、同时掷3枚均匀的硬币，则至多有一枚硬币字面朝上的概率为______．（答案：7/8）知识点伯努利概型9、离散型随机变量X的分布律为P{X=k}=k/a，k=1，2，3，则常数SKIPIF1<0为．（答案：6）知识点离散型随机变量的分布律10、一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为SKIPIF1<0的泊松分布，则某一分钟呼唤次数大于SKIPIF1<0的概率是SKIPIF1<0．（答案：SKIPIF1<0）知识点泊松分布11、设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在一次试验中出现的概率为.（答案：1/3）知识点二项分布12、设随机变量X的概率密度函数如下，则常数SKIPIF1<0为．SKIPIF1<0（答案：1/2）知识点概率密度13、设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0服从均匀分布，已知方程SKIPIF1<0有实根的概率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（答案：10）知识点均匀分布14、设随机变量X的概率密度函数SKIPIF1<0,则A=．（答案：2）知识点连续型随机变量的分布15、设随机变量X服从二项分布B(5,p)、Y服从二项分布B(5,p)，且它们相互独立，则Z=X+Y服从二项分布B(n,p)，其中n=．（答案：10）知识点随机变量函数的分布16、在句子“thegirlputonherlittleredhat”中随机的取一单词，以SKIPIF1<0表示取到的单词所包含的字母个数，则SKIPIF1<0．（答案：27/8）知识点数学期望17、设随机变量X的分布律为SKIPIF1<0，则EX=．（答案：1／2）知识点数学期望18、设X~N(1,4),Y~N(-1,9)，且X与Y相互独立,则D(-3X-4Y)=．（答案：180）知识点方差19、设D(X)=1，D(Y)=2，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立，则D(X-2Y)=．（答案：9）知识点方差的性质20、设X~P(λ)，若E[(X-1)(X-2)]=1，则λ=.（答案：1）知识点数学期望21、设随机变量X服从指数分布，X的概率密度为SKIPIF1<0,则X的方差DX＝．（答案：100）知识点数学期望与方差22、设E[X]=E[Y]=2,cov(X,Y)=-1/6,则E[XY]=．（答案：23/6）知识点协方差与相关系数23、设E(X)=0，D(X)=1，则根据切比雪夫不等式P{-2<X<2}≥．（答案：3/4）知识点切比雪夫不等式24、设总体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是来自SKIPIF1<0的样本，则SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）．（答案：n/5）知识点SKIPIF1<0分布25、已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（答案：SKIPIF1<0）知识点SKIPIF1<0分布26、数理统计中的一类基本问题是依据样本所提供的信息，对总体分布的未知参数作出估计，称之为，这是数理统计的基本问题之一。（答案：参数估计）知识点参数估计27、采用的估计方法不同，同一未知参数有不同的估计量，这就要求建立衡量一个估计量优劣的标准，一般来说,其评价标准有三种：，和相合性。（答案：无偏性；有效性）知识点估计量的评选标准28、设总体SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0已知，SKIPIF1<0为来自总体SKIPIF1<0的容量为SKIPIF1<0的样本，SKIPIF1<0，总体均值SKIPIF1<0的置信水平为SKIPIF1<0的置信区间是SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.（答案：SKIPIF1<0）知识点区间估计29、设SKIPIF1<0是取自正态总体SKIPIF1<0的样本，若SKIPIF1<0已知，要检验SKIPIF1<0为已知常数），SKIPIF1<0，应用检验法；检验的统计量是；当H0成立时，该统计量服从分布。（答案：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；标准正态）知识点假设检验30、设E总体X~N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn为其样本，其中σ2未知。则对假设检验问题H0:μ=μ0，H1:μ≠μ0，在显著水平α下，应取拒绝域。（答案：SKIPIF1<0）知识点假设检验31、设总体SKIPIF1<0，如果使用SKIPIF1<0检验法，且在给定的显著性水平SKIPIF1<0，其拒绝域为SKIPIF1<0，则相应的假设检验H0：；若拒绝域为SKIPIF1<0，则相应的假设检验H0：。（答案：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0）知识点假设检验（三）计算和证明题1、有两台钻机钻孔，第一台钻孔数量是第二台的两倍，第一台钻孔不合格率为SKIPIF1<0，第二台钻孔不合格率为SKIPIF1<0，现发现一钻孔不合格，求是第一台钻孔的概率.（答案：5/9）从结果反推原因的问题,用贝叶斯公式：

令事件A=该孔是第一台钻机钻的；B=该孔不合格

P(B)=(2/3)*(1/20)+(1/3)*0.08=1/30+2/75

P(AB)=(2/3)*(1/20)=1/30

P(A|B)=P(AB)/P(B)=(1/30)/(1/30+2/75)=5/9知识点贝叶斯公式2、某种型号的电器的寿命SKIPIF1<0（以小时记）具有以下的概率密度：SKIPIF1<0现有一大批此种器件，设各器件损坏与否相互独立，任取SKIPIF1<0只，问其中至少有SKIPIF1<0只寿命大于SKIPIF1<0小时的概率是多少？（答案：SKIPIF1<0）先求出他的函数分布F(x)=-1000*x^-1P(X>2000)=1-(F(2000)-F(1000))=1-(-1/2-(-1))=1/2然后记取出器件寿命大于2000小时的个数为y用二项分布求出P(y=1),P(y=0)的概率再1-P(y=1)-P(y=0)就可以算出P(y>=2)的概率了最后结果是P=0.90625=SKIPIF1<0知识点二项分布3、根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为120小时的指数分布，现随机地取100个，设他们的寿命是相互独立的，求这100个元件的寿命的总和大于12960个小时的概率.标准正态分布数值表：x0.70.750.80.850.90.95Φ(x)0.75800.77340.78810.80230.81590.8289（答案：0.2119）单个元件均值E（X）=120，概率密度f(x)=1/120e^(-x/120)

方差D（X）=120*120=14400

100个元件寿命S=X1+X2+...+X120

E（S）=120*100=12000

D（S）=14400*100=1440000

所以【（S-12000）/1200】服从标准正太分布…………中心极限定理。

P（S>12960）=P【（S-12000）/1200>（12960-12000）/1200)】=P【（S-12000）/1200>0.8】=1-0.8的正太分布=1-0.7881=0.2119知识点正态分布4、SKIPIF1<0的概率密度为SKIPIF1<0，求随机变量SKIPIF1<0的概率密度。知识点随机变量函数的分布答案：SKIPIF1<05、一枚均匀的硬币抛掷3次，设X为3次抛掷中正面出现的次数，Y为反面出现的次数，求并列出(X,Y)的联合分布律。（答案：(X,Y)=(0,3)表示三次抛硬币三次全部是反面P(X=0,Y=3)=(1/2)^3=1/8

(X,Y)=(1,1)表示三次抛硬币一次正两次反面P(X=1,Y=1)=C(1,3)(1/2)^3=3/8

(X,Y)=(2,1)表示三次抛硬币两次正一次反面P(X=2,Y=1)=C(2,3)(1/2)^3=3/8

(X,Y)=(3,3)表示三次抛硬币三次全部是正面P(X=3,Y=3)=(1/2)^3=1/8X\Y012300001/81003/80203/80031/8000）知识点联合分布6、有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk(k=1,2)（小时）服从同一指数分布e(250)，其概率密度为SKIPIF1<0，若将这两个电子装置串联组成整机，求整机寿命Y的均值。因两个电子装置为串联，（答案：125）知识点多维随机变量7、设随机变量SKIPIF1<0的概率密度为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为常数．（1）求常数SKIPIF1<0；（2）求边缘概率密度SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，并说明SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是否相互独立．（答案：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不相互独立）知识点多维随机变量8、设随机变量X和Y具有联合概率密度SKIPIF1<0,求边缘概率密度SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.知识点多维随机变量9、设(X，Y)的联合分布律为Y\X103-10．20．1010．100．320．10．10．1求：（1）E[X]；（2）E[Y]；（3）E[XY]知识点多维随机变量解：P{X=1}=0.4，P{X=0}=0.2，P{X=3}=0.4，E[X]=1*0.4+0*0.2+3*0.4=1.6P{Y=1}=0.4，P{Y=-1}=0.3，P{Y=2}=0.3，E[Y]=1*0.4+-1*0.3+2*0.3=0.7E[XY]=1.610、甲、乙两船均为7点到8点到达某码头，且两船到达时间是随机的，每只船卸货需要20分钟，码头同一时间只能允许一只船卸货，求两只船使用码头发生冲突的概率。解：X、Y均服从（0，60）上的均匀分布，P｛｜X－Y｜≤20｝＝1-40×40/60/60=5/9知识点独立的随机变量11、设X,Y相互独立，它们分布律分别为X X113p p0.30.30.7Y Y224p p0.60.60.4试求随机变量Z=X+Y的分布律。X Z1357)p p0.30.180.540.28答案：知识点多维随机变量函数的分布12、设连续型随机变量SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。知识点数学期望答案：113、随机变量的分布律如下：X0123P求SKIPIF1<0．知识点数学期望答案：15/814、假定每个人生日在各个月份的概率相同，求三个人中生日在第一季度的人数的期望。（答案：SKIPIF1<0）设三个随机变量ξi,(i=1,2,3),如果3个人中的第i个人在第一季度出生,则ξi=1,否则ξi=0,则ξi服从0-1分布,且有P(ξi=1)=1/4,因此Eξi=1/4,(i=1,2,3)设ξ为3个人在第一季度出生的人数,则ξ=ξ1+ξ2+ξ3,因此Eξ=E(ξ1+ξ2+ξ3)=3Eξi=3/4=0.75知识点数学期望15、掷20个骰子，求这20个骰子出现的点数之和的数学期望.知识点数学期望答案：70=((1+2+3+4+5+6)*1/6)*20=(21*1/6)*20=7016、设发行体育彩票1000万张，其中一等奖1张，奖金500万元，二等奖9张，奖金1万元，三等奖90张，奖金100元，四等奖900张，奖金10元，问一张奖券获得奖金的期望值为多少？（答案：0.5108）（1*500+9*1+90*0.01+900*0.001）/1000=0.5108知识点数学期望17、设连续型随机变量X的概率密度为SKIPIF1<0,k,a>0,且已知EX＝3/4，求k,a的值.（答案：a=2,k=3）知识点数学期望18、随机变量X的概率密度为SKIPIF1<0，求D(X)。（答案：2/3）知识点方差19、设连续型随机变量SKIPIF1<0的概率密度为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。知识点相关系数解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<