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文档简介

《概率论与数理统计》复习资料一、考试说明考试形式和试卷结构考试形式:当堂开卷试卷内容比例:概率论部分约占72%数理统计部分约占28%题型比例:选择题约占24%,填空题约占24%,解答题约占52%说明:在下列的复习题中,包括试题中题目分数约为70分,包括了所有试题题型,由于考试形式为开卷,所以请同学们认真做一下下面的复习题,这样至少保证通过考试,在确保通过考试的基础上,请同学们认真复习,取得满意的成绩。二、复习题单项选择题1、A、B、C表示事件,下列三个有关事件的关系式中,正确的有().(1)A+BC=(A+B)(A+C)(2)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0(3)A+B=ABA、0个;B、1个;C、2个;D、3个知识点答案等可能概型c2、掷2颗骰子,设点数之和为3的事件的概率为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0()(A)SKIPIF1<0;(B)SKIPIF1<0;(C)SKIPIF1<0;(D)SKIPIF1<0.知识点答案等可能概型c3、一部文集,按顺序排放在书架的同层上,则各卷自左到右或自右到左卷号恰好为1、2、3、4顺序的概率等于()SKIPIF1<0知识点答案等可能概型b4、某次国际会议共有1000人参加,其中有400人来自天津,350人来自北京,250人来自国外。已知有100人将在会议发言,则恰好有40个发言者是天津人的概率为().A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0知识点答案超几何概型b5、已知SKIPIF1<0两事件满足SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0知识点答案随机事件概率a6、已知甲乙两人射击的命中率分别为0.8和0.9,现让他们各自独立地对同一目标各射一次,求目标被命中的概率为()。A、0.72;B、0.84;C、0.93;D、0.98知识点答案条件概率d7、袋中有三张彩票,其中只有一张是可以中奖的。甲、乙、丙三个人一次从袋中取出一张彩票,则().A、甲中奖的概率最大B.乙中奖的概率最大C、丙中奖的概率最大D、三个人中奖的概率相同知识点答案条件概率与全概率公式D8、设某批产品中甲、乙、丙三个厂家的产量分别占45%,35%,20%,各厂产品中次品率分别为4%、2%和5%.现从中任取一件,取到的恰好是次品的概率为().A.0.035 B.0.038C.0.076 D.0.045知识点答案全概公式a9、设事件A,B相互独立,且P(A)=SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0=()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0知识点答案随机事件的独立性d10、设随机变量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0().A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0知识点答案二项分布b11、设随机变量X~N(1,4),已知SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0().A、SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0知识点答案正态分布d12、设随机变量X~N(μ,σ2),若μ不变,当σ增大时概率P{|X-μ|<1}().A、增大B.减小C、不变D、增减不定知识点答案正态分布b13、设SKIPIF1<0的概率密度为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的概率密度SKIPIF1<0().(A)SKIPIF1<0;(B)SKIPIF1<0;(C)SKIPIF1<0;(D)SKIPIF1<0.知识点答案随机变量函数的分布a14、设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是相互独立的两个随机变量,SKIPIF1<0服从SKIPIF1<0上的均匀分布,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0服从参数为2的指数分布,即SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0()A.1B.2C.3D.4知识点答案期望和方差b15、对两个随机变量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,若E[X+Y]=E[X]+E[Y],则().A、D(X+Y)=D(X)+D(Y);B、E[XY]=E[X]E[Y];C、D(XY)=D(X)D(Y);D、上述结论都不一定成立.知识点答案数学期望的性质d16、随机变量SKIPIF1<0,且已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则此二项分布中参数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0().(A)SKIPIF1<0;(B)SKIPIF1<0;(C)SKIPIF1<0;(D)SKIPIF1<0.知识点答案数学期望a17、设随机变量X服从正态分布N(0,1),Y=3X+4,则D(Y)=().A、3B、4C、9D、16知识点答案期望和方差c18、设随机变量X和Y都服从区间[0,1]上的均匀分布,则E[X+Y]=().A、1/6;B、1/2;C、1;D、2知识点答案期望和方差c19、两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,4)和N(0,9),则D(2X+3Y)=().A、72B、84C、97101知识点答案数学期望与方差C20、对两个随机变量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则()成立。(A)SKIPIF1<0;(B)SKIPIF1<0;(C)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相互独立;(D)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不相互独立.知识点答案期望和方差b21、设随机变量X和Y的方差D(X),D(Y)都不为零,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X与Y().A、不相关的充分必要条件;B、独立的充分条件,但不是必要条件;C、独立的充分必要条件;D、不相关的充分条件,但不是必要条件.知识点答案方差的性质a22、设SKIPIF1<0,则根据切比雪夫不等式SKIPIF1<0().(A)SKIPIF1<0;(B)SKIPIF1<0;(C)SKIPIF1<0;(D)SKIPIF1<0.知识点答案切比雪夫不等式a23、设总体X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ未知,σ2已知X1,X2,X3是取自总体X的一个样本,则以下不能作为统计量的是().A、X1+μB、X1+X2/4C、2X1+3X2+4X3D、(X1+X2+X3)/σ2知识点答案统计量a24、设X1,X2,…,Xn是正态总体N(μ,σ2)的样本,则样本均值SKIPIF1<0的方差D(SKIPIF1<0)=().A、σ2B、nσ2C、σ2/nD、σ2/n2知识点答案统计量C25、随机变量X服从(0-1)分布,参数p未知,有容量为n的样本观察值x1,x2,…,xn,则参数p的最大似然估计为().A、x1,x2,…,xn中的最大值max{x1,x2,…,xn}B、x1,x2,…,xn中的最小值min{x1,x2,…,xn}C、x1,x2,…,xn的中间值xn/2D、x1,x2,…,xn的平均值(x1+x2+…+xn)/n知识点答案最大似然估计D26、设总体SKIPIF1<0已知而SKIPIF1<0为未知参数,SKIPIF1<0是从总体SKIPIF1<0中抽取的样本,记SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0表示标准正态分布的分布函数,已知Ф(1.96)=0.975,Ф(1.28)=0.90,则SKIPIF1<0的置信度为0.95的置信区间是()。A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0知识点答案区间估计b27、设总体SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0均为未知参数,SKIPIF1<0是取自总体SKIPIF1<0的样本,记SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的置信度为SKIPIF1<0的置信区间为()。A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0知识点答案区间估计b28、设总体ξ服从正态分布N(SKIPIF1<0),其中SKIPIF1<0未知而SKIPIF1<0已知,(SKIPIF1<0)为取自总体SKIPIF1<0的样本,记SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0作为SKIPIF1<0的置信区间,其置信度为()。A、0.95B、0.05C、0.975D、0.90知识点答案区间估计d29、在假设检验中,原假设H0,备择假设H1,则称()为犯第二类错误。A、H0为真,接受H1B、H0不真,接受H0C、H0为真,拒绝H1D、H0不真,拒绝H0知识点答案假设检验a30、在假设检验中,显著性水平SKIPIF1<0表示()。A、P{接受H0|H0为假}B、置信度为SKIPIF1<0C、P{拒绝H0|H0为真}D、无具体意义知识点答案假设检验c31、在假设检验中,下列结论正确的是()。A、只犯第一类错误B、只犯第二类错误C、既可能犯第一类也可能犯第二类错误D、不犯第一类也不犯第二类错误知识点答案假设检验c(二)填空题从一个装有10个黑球和4个白球的袋中,抽出5个球、其中2个是黑球、3个是白球的抽取方法共有种.(答案:180)知识点等可能概型2、有5只球,随机地放入5个盒子中,则每个盒子中恰好有1只球的概率为______.(答案:4!/54=24/625)知识点等可能概型3、由50人组成的人群中至少有两个人在同一天过生日的概率为.(答案:0.97)知识点等可能概型4、设P(A)=P(B)=1/2,P(AB)=1/3,则A与B都不发生的概率为SKIPIF1<0(答案:1/3)知识点随机事件的概率5、设A、B是两随机事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,ASKIPIF1<0B,则P(A|B)=.(答案:6/7)知识点条件概率6、若P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(B|A)=1/3,则P(A|B)=.(答案:1/2)知识点独立性7、一项任务同时拍甲、乙二人分别单独去完成。甲能完成任务的概率为0.9,乙能完成任务的概率为0.8,则该项任务将被完成的概率为.(答案:0.98)知识点独立性8、同时掷3枚均匀的硬币,则至多有一枚硬币字面朝上的概率为______.(答案:7/8)知识点伯努利概型9、离散型随机变量X的分布律为P{X=k}=k/a,k=1,2,3,则常数SKIPIF1<0为.(答案:6)知识点离散型随机变量的分布律10、一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为SKIPIF1<0的泊松分布,则某一分钟呼唤次数大于SKIPIF1<0的概率是SKIPIF1<0.(答案:SKIPIF1<0)知识点泊松分布11、设三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19/27,则事件A在一次试验中出现的概率为.(答案:1/3)知识点二项分布12、设随机变量X的概率密度函数如下,则常数SKIPIF1<0为.SKIPIF1<0(答案:1/2)知识点概率密度13、设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0服从均匀分布,已知方程SKIPIF1<0有实根的概率为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.(答案:10)知识点均匀分布14、设随机变量X的概率密度函数SKIPIF1<0,则A=.(答案:2)知识点连续型随机变量的分布15、设随机变量X服从二项分布B(5,p)、Y服从二项分布B(5,p),且它们相互独立,则Z=X+Y服从二项分布B(n,p),其中n=.(答案:10)知识点随机变量函数的分布16、在句子“thegirlputonherlittleredhat”中随机的取一单词,以SKIPIF1<0表示取到的单词所包含的字母个数,则SKIPIF1<0.(答案:27/8)知识点数学期望17、设随机变量X的分布律为SKIPIF1<0,则EX=.(答案:1/2)知识点数学期望18、设X~N(1,4),Y~N(-1,9),且X与Y相互独立,则D(-3X-4Y)=.(答案:180)知识点方差19、设D(X)=1,D(Y)=2,且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立,则D(X-2Y)=.(答案:9)知识点方差的性质20、设X~P(λ),若E[(X-1)(X-2)]=1,则λ=.(答案:1)知识点数学期望21、设随机变量X服从指数分布,X的概率密度为SKIPIF1<0,则X的方差DX=.(答案:100)知识点数学期望与方差22、设E[X]=E[Y]=2,cov(X,Y)=-1/6,则E[XY]=.(答案:23/6)知识点协方差与相关系数23、设E(X)=0,D(X)=1,则根据切比雪夫不等式P{-2<X<2}≥.(答案:3/4)知识点切比雪夫不等式24、设总体SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是来自SKIPIF1<0的样本,则SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0).(答案:n/5)知识点SKIPIF1<0分布25、已知SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.(答案:SKIPIF1<0)知识点SKIPIF1<0分布26、数理统计中的一类基本问题是依据样本所提供的信息,对总体分布的未知参数作出估计,称之为,这是数理统计的基本问题之一。(答案:参数估计)知识点参数估计27、采用的估计方法不同,同一未知参数有不同的估计量,这就要求建立衡量一个估计量优劣的标准,一般来说,其评价标准有三种:,和相合性。(答案:无偏性;有效性)知识点估计量的评选标准28、设总体SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0已知,SKIPIF1<0为来自总体SKIPIF1<0的容量为SKIPIF1<0的样本,SKIPIF1<0,总体均值SKIPIF1<0的置信水平为SKIPIF1<0的置信区间是SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.(答案:SKIPIF1<0)知识点区间估计29、设SKIPIF1<0是取自正态总体SKIPIF1<0的样本,若SKIPIF1<0已知,要检验SKIPIF1<0为已知常数),SKIPIF1<0,应用检验法;检验的统计量是;当H0成立时,该统计量服从分布。(答案:SKIPIF1<0;SKIPIF1<0;标准正态)知识点假设检验30、设E总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为其样本,其中σ2未知。则对假设检验问题H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0,在显著水平α下,应取拒绝域。(答案:SKIPIF1<0)知识点假设检验31、设总体SKIPIF1<0,如果使用SKIPIF1<0检验法,且在给定的显著性水平SKIPIF1<0,其拒绝域为SKIPIF1<0,则相应的假设检验H0:;若拒绝域为SKIPIF1<0,则相应的假设检验H0:。(答案:SKIPIF1<0;SKIPIF1<0)知识点假设检验(三)计算和证明题1、有两台钻机钻孔,第一台钻孔数量是第二台的两倍,第一台钻孔不合格率为SKIPIF1<0,第二台钻孔不合格率为SKIPIF1<0,现发现一钻孔不合格,求是第一台钻孔的概率.(答案:5/9)从结果反推原因的问题,用贝叶斯公式:

令事件A=该孔是第一台钻机钻的;B=该孔不合格

P(B)=(2/3)*(1/20)+(1/3)*0.08=1/30+2/75

P(AB)=(2/3)*(1/20)=1/30

P(A|B)=P(AB)/P(B)=(1/30)/(1/30+2/75)=5/9知识点贝叶斯公式2、某种型号的电器的寿命SKIPIF1<0(以小时记)具有以下的概率密度:SKIPIF1<0现有一大批此种器件,设各器件损坏与否相互独立,任取SKIPIF1<0只,问其中至少有SKIPIF1<0只寿命大于SKIPIF1<0小时的概率是多少?(答案:SKIPIF1<0)先求出他的函数分布F(x)=-1000*x^-1P(X>2000)=1-(F(2000)-F(1000))=1-(-1/2-(-1))=1/2然后记取出器件寿命大于2000小时的个数为y用二项分布求出P(y=1),P(y=0)的概率再1-P(y=1)-P(y=0)就可以算出P(y>=2)的概率了最后结果是P=0.90625=SKIPIF1<0知识点二项分布3、根据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为120小时的指数分布,现随机地取100个,设他们的寿命是相互独立的,求这100个元件的寿命的总和大于12960个小时的概率.标准正态分布数值表:x0.70.750.80.850.90.95Φ(x)0.75800.77340.78810.80230.81590.8289(答案:0.2119)单个元件均值E(X)=120,概率密度f(x)=1/120e^(-x/120)

方差D(X)=120*120=14400

100个元件寿命S=X1+X2+...+X120

E(S)=120*100=12000

D(S)=14400*100=1440000

所以【(S-12000)/1200】服从标准正太分布…………中心极限定理。

P(S>12960)=P【(S-12000)/1200>(12960-12000)/1200)】=P【(S-12000)/1200>0.8】=1-0.8的正太分布=1-0.7881=0.2119知识点正态分布4、SKIPIF1<0的概率密度为SKIPIF1<0,求随机变量SKIPIF1<0的概率密度。知识点随机变量函数的分布答案:SKIPIF1<05、一枚均匀的硬币抛掷3次,设X为3次抛掷中正面出现的次数,Y为反面出现的次数,求并列出(X,Y)的联合分布律。(答案:(X,Y)=(0,3)表示三次抛硬币三次全部是反面P(X=0,Y=3)=(1/2)^3=1/8

(X,Y)=(1,1)表示三次抛硬币一次正两次反面P(X=1,Y=1)=C(1,3)(1/2)^3=3/8

(X,Y)=(2,1)表示三次抛硬币两次正一次反面P(X=2,Y=1)=C(2,3)(1/2)^3=3/8

(X,Y)=(3,3)表示三次抛硬币三次全部是正面P(X=3,Y=3)=(1/2)^3=1/8X\Y012300001/81003/80203/80031/8000)知识点联合分布6、有两个相互独立工作的电子装置,它们的寿命Xk(k=1,2)(小时)服从同一指数分布e(250),其概率密度为SKIPIF1<0,若将这两个电子装置串联组成整机,求整机寿命Y的均值。因两个电子装置为串联,(答案:125)知识点多维随机变量7、设随机变量SKIPIF1<0的概率密度为SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为常数.(1)求常数SKIPIF1<0;(2)求边缘概率密度SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,并说明SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是否相互独立.(答案:(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0;SKIPIF1<0;SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不相互独立)知识点多维随机变量8、设随机变量X和Y具有联合概率密度SKIPIF1<0,求边缘概率密度SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.知识点多维随机变量9、设(X,Y)的联合分布律为Y\X103-10.20.1010.100.320.10.10.1求:(1)E[X];(2)E[Y];(3)E[XY]知识点多维随机变量解:P{X=1}=0.4,P{X=0}=0.2,P{X=3}=0.4,E[X]=1*0.4+0*0.2+3*0.4=1.6P{Y=1}=0.4,P{Y=-1}=0.3,P{Y=2}=0.3,E[Y]=1*0.4+-1*0.3+2*0.3=0.7E[XY]=1.610、甲、乙两船均为7点到8点到达某码头,且两船到达时间是随机的,每只船卸货需要20分钟,码头同一时间只能允许一只船卸货,求两只船使用码头发生冲突的概率。解:X、Y均服从(0,60)上的均匀分布,P{|X-Y|≤20}=1-40×40/60/60=5/9知识点独立的随机变量11、设X,Y相互独立,它们分布律分别为X X113p p0.30.30.7Y Y224p p0.60.60.4试求随机变量Z=X+Y的分布律。X Z1357)p p0.30.180.540.28答案:知识点多维随机变量函数的分布12、设连续型随机变量SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0。知识点数学期望答案:113、随机变量的分布律如下:X0123P求SKIPIF1<0.知识点数学期望答案:15/814、假定每个人生日在各个月份的概率相同,求三个人中生日在第一季度的人数的期望。(答案:SKIPIF1<0)设三个随机变量ξi,(i=1,2,3),如果3个人中的第i个人在第一季度出生,则ξi=1,否则ξi=0,则ξi服从0-1分布,且有P(ξi=1)=1/4,因此Eξi=1/4,(i=1,2,3)设ξ为3个人在第一季度出生的人数,则ξ=ξ1+ξ2+ξ3,因此Eξ=E(ξ1+ξ2+ξ3)=3Eξi=3/4=0.75知识点数学期望15、掷20个骰子,求这20个骰子出现的点数之和的数学期望.知识点数学期望答案:70=((1+2+3+4+5+6)*1/6)*20=(21*1/6)*20=7016、设发行体育彩票1000万张,其中一等奖1张,奖金500万元,二等奖9张,奖金1万元,三等奖90张,奖金100元,四等奖900张,奖金10元,问一张奖券获得奖金的期望值为多少?(答案:0.5108)(1*500+9*1+90*0.01+900*0.001)/1000=0.5108知识点数学期望17、设连续型随机变量X的概率密度为SKIPIF1<0,k,a>0,且已知EX=3/4,求k,a的值.(答案:a=2,k=3)知识点数学期望18、随机变量X的概率密度为SKIPIF1<0,求D(X)。(答案:2/3)知识点方差19、设连续型随机变量SKIPIF1<0的概率密度为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0。知识点相关系数解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<

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