6.1.4求导法则及其应用（第2课时简单复合函数的求导法则）课件高二下学期数学人教B版选择性

6.1.4

求导法则及其应用

第2课时简单复合函数的求导法则第六章人教B版

数学选择性必修第三册课标定位素养阐释1.理解并能应用复合函数的求导法则求导.2.通过复合函数的求导法则的应用,提高逻辑推理与数学运算的核心素养.自主预习新知导学一、复合函数的概念

2.一般地,已知函数y=f(u)与u=g(x),给定x的任意一个值,就能确定u的值.如果此时还能确定y的值,则y可以看成x的

函数

,此时称f(g(x))有意义,且称y=h(x)=f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数,其中u称为

中间变量

.3.下列函数是复合函数的是(

)答案:C二、复合函数的求导法则

2.复合函数h(x)=f(g(x))的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为h'(x)=[f(g(x))]'=f'(u)g'(x)=f'(g(x))g'(x).这一结论也可以表示为

yx'=yu'ux'.3.函数y=cos2x的导数是(

)A.y'=2cos2x

B.y'=-2cos2xC.y'=-2sin2x

D.y'=2sin2x答案:C【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)函数f(x)=sin(-x)的导数是f'(x)=cosx.(×)(2)函数y=ln(2x)不是复合函数.(×)合作探究释疑解惑探究一求复合函数的导数【例1】

求下列复合函数的导数.(1)y=ln(2x-5);(2)y=(3x-1)2;求复合函数的导数的步骤:反思感悟【变式训练1】

求下列函数的导数.(1)y=(2x+3)2;(2)y=e-0.05x+1;(3)y=sin(πx+φ).解:(1)令u=2x+3,函数y=(2x+3)2可以看成函数y=u2,u=2x+3的复合函数,故yx'=yu'·ux'=(u2)'·(2x+3)'=2u·2=4(2x+3)=8x+12.(2)令u=-0.05x+1,函数y=e-0.05x+1可以看成函数y=eu,u=-0.05x+1的复合函数,故yx'=yu'·ux'=(eu)'·(-0.05x+1)'=-0.05eu=-0.05e-0.05x+1.(3)令u=πx+φ,函数y=sin(πx+φ)可以看成函数y=sin

u,u=πx+φ的复合函数,故yx'=yu'·ux'=(sin

u)'·(πx+φ)'=cos

u·π=πcos(πx+φ).探究二复合函数导数的综合应用解:∵y'=e2x+1·(2x+1)'=2e2x+1,∴切线斜率k=2.根据函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则可以求任何一个初等函数的导数,从而解决初等函数的求导问题,进而可以解决与导数有关的问题.反思感悟【变式训练2】

已知曲线y=esinx在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.解:由已知得y'=esin

xcos

x,则切线斜率k=1,故切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0.设直线l的方程为x-y+c=0.【易错辨析】

对复合函数求导不完全而致误【典例】

求函数y=x·e1-2x的导数.错解:y'=x'·e1-2x+x(e1-2x)'=e1-2x+xe1-2x=(1+x)e1-2x.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:y=e1-2x是复合函数,错解中对其求导时出错.正解:y'=x'·e1-2x+x·(e1-2x)'=e1-2x+x·e1-2x·(1-2x)'=(1-2x)e1-2x.对复合函数求导时,要按照复合函数的求导法则进行,要牢记复合函数的求导法则.防范措施【变式训练】

求下列函数的导数.(1)y=ln(2x-7);(2)y=x2sin2x.(2)令y1=sin

2x.设y1=sin

u,u=2x,则y'1=(sin

u)'·(2x)'=2cos

u=2cos

2x.故y'=(x2)'sin

2x+x2(sin

2x)'=2xsin

2x+2x2cos

2x.随堂练习1.y=loga(2x2-1)(a>0,且a≠1)的导数是(

)答案:A答案:2(ex+1)3.若f(x)=(2x+a)2,且f'(2)=20,则a=

.

解析:因为f'(x)=8x+4a,所以f'(2)=16+4a=