11.2.2三角形的外角课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

11.2.2三角形的外角复习回顾问题1：三角形的内角具有怎样的性质？三角形的内角和是180°；直角三角形的两个锐角互余；问题2：说出下列图中∠1具备的共同特征.①∠1的顶点在三角形的一个顶点上；②∠1的一条边是三角形的一条边；③∠1的另一条边是三角形的某条边的延长线.提出问题问题1：什么是三角形的外角？如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.（1）每一个三角形都________个外角；（2）每一个顶点相对应的外角都有_______个；（3）每个外角与相邻内角的关系是___________.62互为邻补角问题2：下图中，∠l，∠2是不是△ABC的外角？为什么？不是，第1张图，∠1不满足一条边是三角形的一边的延长线，∠2不满足一条边是三角形的一条边；第2张图，∠1的顶点不满足是三角形的顶点，且不满足一条边的延长线，∠2不满足一条边是三角形的一条边.问题3外角有什么性质呢？(提示：研究三角形外角与不相邻内角的关系)（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.问题4想一想：在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了

一个角度，那么回到原来位置时，一共转了多少度？为什么？凭我们的经验可知，绕三角形花坛的外围走，回到原来位置时绕了一圈，即转了360°，所以猜想三角形外角和是360°.如何证明呢？已知：如图，∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角.求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.证明：∵∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角，∴∠BAF=∠2+∠3，∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）.∵∠l+∠2+∠3=180°（三角形内角和定理），∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.分析：要求三角形的外角和，可将其转化为与三角形内角有关的问题，再利用三角形内角和定理，即可解决问题.问题5你还能类比三角形内角和定理的证明，利用做平行线的方法

证明三角形的外角和吗？试试看.典例分析例1如图点D，B，C在同一直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°.求∠DEB的度数.【分析】观察图形发现，∠DEB与∠D在同一三角形中，但不知道第三个角∠DBE的度数，而∠DBE是△ABC的一个外角，它等于∠A+∠C，从而题目可解；另一方面我们也可在△ABC中利用内角和定理求得∠ABC，再利用∠ABC是△DBE的一个外角求得∠DEB.其实两种思路之间没有差别，都是利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，只是相对位置不同而已.解：在△ABC中，∠A+∠C+∠ABC=180°（三角形内角和定理）.∵∠A=60°，∠C=50°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=70°.∵∠ABC是△DBE的外角，∴∠ABC=∠D+∠DEB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.又∵∠D=25°，∴∠DEB=70°-25°=45°.例2如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，∠ABD=∠ADB.求证：∠DBC=【分析】从要证的结论看，主要涉及三个角∠ABC，∠C，∠DBC，而∠ABC=∠DBC+∠ABD，已知∠ABD=∠ADB，又因为∠ADB是△BCD的一个外角，所以∠ADB=∠C+∠DBC，从而就可以建立∠ABC，∠C，∠DBC的等量关系了.证明：在△ABC中，∠ABC=∠DBC+∠ABD.∵∠ADB是△BCD的一个外角，∴∠ADB=∠C+∠DBC.又∵∠ABD=∠ADB，∴∠ABC=∠DBC+∠ABD=∠DBC+∠ADB=∠DBC+∠C+∠DBC.∴∠DBC=.例3已知，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE.

求证：∠1＞∠2.【分析】本题要证明角的不等关系，注意到∠1与∠2不在同一三角形中，且∠1虽是外角，但不是与∠2有关的三角形的外角，这说明一定要利用中间量分别与∠1，∠2建立联系，从而得到∠l与∠2的大小关系.证明：∵∠1是△ABC的一个外角，∴∠1＞∠3（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）.∵∠3是△CDE的一个外角，∴∠3＞∠2（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）.∴∠l＞∠2（不等式的性质）.例4

如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C.你能发现AD与BC的关系吗？【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有平行或相交.由于图中有角的等量关系（角平分线和∠B=∠C），因而画个特殊的图形，如等边三角形，可知AD∥BC，从而猜测结论为AD∥BC，下面只需对一般情况加以证明即可.从平行线的判定定理入手证明，以“内错角相等，两直线平行”为例∴∠DAC=∠C.∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.发现：AD∥BC证明∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C，∴∠B=∠C=∠EAC.∵AD平分∠EAC，∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）例5如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线.（1）指出AF是哪几个三角形的高.（2）∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数.（3）如果∠C＞∠B，判断∠DAF与∠B，∠C的数量关系，并进行证明.【分析】第2问的方法较多，关键在于把∠DAF放到合适的图形中去，从图形中可以看出：∠DAF既是△ADF的内角，又是∠DAC与∠FAC的差，还是∠BAF与∠BAD的差.对于第3问我们可以从特殊入手来研究问题，在第2问中我们可求出∠DAF为20°，恰好为∠C=76°与∠B=36°的差的一半，从而得出猜想，然后再对一般情况进行证明.解：（1）△ABD,△ABF,△ABC,△ADF,△ADC,△AFC例5如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线.（2）∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数.【分析】第2问的方法较多，关键在于把∠DAF放到合适的图形中去，从图形中可以看出：∠DAF既是△ADF的内角，又是∠DAC与∠FAC的差，还是∠BAF与∠BAD的差.又∵AF⊥BC，∴∠AFD=90°.∴∠DAF=180°-∠ADF-∠AFD=180°-70°-90°=20°.解：（2）∵∠B=36°，∠C=76°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-76°=68°.又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×68°=34°.又∵∠ADF是△ABD的外角，∴∠ADF=∠B+∠BAD=36°+34°=70°.例5如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线.（3）如果∠C＞∠B，判断∠DAF与∠B，∠C的数量关系，并进行证明.【分析】第3问我们可以从特殊入手来研究问题，在第2问中我们可求出∠DAF为20°，恰好为∠C=76°与∠B=36°的差的一半，从而得出猜想，然后再对一般情况进行证明.∠DAF=（∠C-∠B）

证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠BAC

∵∠BAC=180°-∠B-∠C

∴∠BAD=(180°-∠B-∠C）

∵∠ADF=∠B+∠BAD∴∠ADF=∠B+(180°-∠B-∠C）∴∠ADF=

90°+(∠B-∠C）∵AF⊥BC∴∠ADF+∠DAF=90°

∴∠DAF=（∠C-∠B）

练习巩固1.（目标1，2）求出下列三角形中未知角α的值.2.（目,1，2）如图，用“＞”连接∠1，∠2，∠3，∠4为

.3.（目标2）（1）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°.求∠EAB的度数.（2）将一副常规的三角尺按如图所示的方式放置.求∠AOB的度数.85°；43°；95°∠3＞∠1＞∠2＞∠4（1）57°（2）105°4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，设∠B=x，∠C=y，∠DAE=z

.探究x，y，z

之间的数量关系.5.（目标3）如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC上任一点，若∠ADE=∠AED，探究∠CDE与∠BAD之间的数量关系.∠BAD=2∠CDE归纳总结1.三角形外角的概念及主要特征.2.三角形外角的性质及其在几何图形中的应用及转化思想.3.复杂图形中对基本图形的识别与应用.方法提升1.我们是通过什么方法提出本节课的新问题的？2.提出新问题后，我们是用什么方法研究它的性质的？3.本节课还用到了哪些数学思想方法？达标检测

∠1＞∠2＞∠37060°50°2.（目标2）已知三角形三个外角的度数比为2:3:4，则它的三个内角的度数为_________.3.（目标3）已知，如图，在△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是（）A.∠BAC＜∠ADC

B.∠BAC=∠ADCC.∠BAC＞∠ADC

D.不能确定4.（目标3）一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，这个三角形是（）

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定20°，

60°，100°BA5.（目标3）如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系是（）

A.∠1+∠2=∠3+∠4

B.∠1+∠2=∠4-∠3

C.∠1+∠4=∠2+∠3

D.∠1+∠4=∠2-∠36.（目标2）如图，在△ABC中，∠ABC的外角是100°，D是BC延长线上的一点，∠D=∠DEC=30°.则∠A的度数为____________.7.（目标2）如图，∠1=100°，∠2=135°.则∠3等于__________°.D40°55°8.下列判断：①任意三角形的内角和都是180°；②直角三角形中两锐角之和为90°；③三角形的三个内角中不可以有三个锐角；④一个外角是锐角的三角形一定是钝角三角形；⑤两个外角分别为150°和120°的三角形一定是钝角三角形；⑥三角形的一个外角大于任何一个内角.其中正确的有____________________________（填序号）①②④能力提升1.（目标3）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，E是AD上一点.求证：∠BED＞∠C.2.（目标2）如图，∠A=28°，∠BFC=92°，∠B=∠C.求∠BDC的度数.证明：∵∠BAC=90°∴∠C+∠ABC=90°∵AD⊥BC∴∠BAD+∠ABC=90°∴∠C=

∠BAD∵∠BED=∠BAD+∠ABE∴

∠BED＞∠C60°3.（目标2）如图，回答下列问题：（1）判断∠A，∠DOE和∠1的大小关系；（2）如果BE，CD是△ABC的角平分线，∠BOC=110°.求∠A的度数.(1)∠A＜∠1＜∠DOE(2)40°