上海大学附属中学2025届校高三年级四月考试数学试题含解析

上海大学附属中学2025届校高三年级四月考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过点的直线与曲线交于两点，若，则直线的斜率为()A． B．C．或 D．或2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则A． B． C． D．3．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是()A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C．全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个D．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势4．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（）A． B． C． D．5．函数在上为增函数，则的值可以是()A．0 B． C． D．6．定义在R上的函数y=fx满足fx≤2x-1A． B． C． D．7．设全集U=R，集合，则（）A． B． C． D．8．设全集，集合，.则集合等于（）A． B． C． D．9．已知角的终边与单位圆交于点，则等于（）A． B． C． D．10．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若，则λ＋μ的值为（）A． B． C． D．11．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A． B． C． D．12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A．1 B．-1 C．2 D．-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在数列中，已知，则数列的的前项和为__________.14．若存在直线l与函数及的图象都相切，则实数的最小值为___________．15．已知，则满足的的取值范围为_______．16．执行右边的程序框图，输出的的值为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，设的最小值为m.（1）求m的值；（2）是否存在实数a，b，使得，？并说明理由.18．（12分）已知函数，其中.（1）当时，求在的切线方程；（2）求证：的极大值恒大于0.19．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.20．（12分）数列的前项和为，且.数列满足，其前项和为.（1）求数列与的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点，已知.（Ⅰ）证明:平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.22．（10分）如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面.（1）求证:是的中点；（2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

利用切割线定理求得，利用勾股定理求得圆心到弦的距离，从而求得，结合，求得直线的倾斜角为，进而求得的斜率.【详解】曲线为圆的上半部分，圆心为，半径为.设与曲线相切于点，则所以到弦的距离为，，所以，由于，所以直线的倾斜角为，斜率为.故选：A本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.2．B【解析】

由题意知，，由，知，由此能求出．【详解】由题意知，，，解得，，．故选：B．本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．3．D【解析】

根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由绘制出的折线图知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.故选：D.本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.4．A【解析】

根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【详解】由得，即，即，因为，所以，由余弦定理，所以，由的面积公式得故选：A本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．D【解析】

依次将选项中的代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.【详解】当时，在上不单调，故A不正确；当时，在上单调递减，故B不正确；当时，在上不单调，故C不正确；当时，在上单调递增，故D正确.故选：D本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.6．D【解析】

根据y=fx+1为奇函数，得到函数关于1,0中心对称，排除AB，计算f1.5≤【详解】y=fx+1为奇函数，即fx+1=-f-x+1，函数关于f1.5≤2故选：D.本题考查了函数图像的识别，确定函数关于1,0中心对称是解题的关键.7．A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．【详解】，，则，故选：A．本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．8．A【解析】

先算出集合，再与集合B求交集即可.【详解】因为或.所以，又因为.所以.故选：A.本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.9．B【解析】

先由三角函数的定义求出，再由二倍角公式可求.【详解】解：角的终边与单位圆交于点，，故选：B考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.10．B【解析】

建立平面直角坐标系，用坐标表示，利用，列出方程组求解即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，解得则.故选：B本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.11．A【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案.【详解】解：，在复平面内对应的点的坐标是.故选：A.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．12．B【解析】

根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【详解】∵是定义在R上的奇函数，且；∴；∴；∴的周期为4；∵时，；∴由奇函数性质可得；∴；∴时，；∴.故选：B.本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由已知数列递推式可得数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到，再由求解．【详解】解：由，得，，则数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列．，．．故答案为：．本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题．14．【解析】

设直线l与函数及的图象分别相切于，，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为存在直线l与函数及的图象都相切，所以，所以，令，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，所以实数的最小值为．15．【解析】

将f（x）写成分段函数形式，分析得f（x）为奇函数且在R上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.【详解】根据题意，f（x）＝x|x|＝，则f（x）为奇函数且在R上为增函数，则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，解可得x≥，即x的取值范围为[，+∞）；故答案为：[，+∞）．本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析f（x）的奇偶性与单调性．16．【解析】初始条件成立方；运行第一次：成立；运行第二次：不成立；输出的值：结束所以答案应填：考点：1、程序框图；2、定积分.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）不存在；详见解析【解析】

（1）将函数去绝对值化为分段函数的形式，从而可求得函数的最小值，进而可得m.（2）由，利用基本不等式即可求出.【详解】（1）；（2），若，同号，，不成立；或，异号，，不成立；故不存在实数，，使得，.本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用，属于基础题.18．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）求导，代入，求出在处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；（2）分类讨论得出极大值即可判断.【详解】（1），当时，，，则在的切线方程为；（2）证明：令，解得或，①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，∴函数无极值；②当时，令，解得，令，解得或，∴函数在上单调递增，在，上单调递减，∴；③当时，令，解得，令，解得或，∴函数在上单调递增，在，上单调递减，∴，综上，函数的极大值恒大于0.本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.19．(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用即可得的直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此.联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即20．（1），；（2）.【解析】

（1）令可求得的值，令，由得出，两式相减可推导出数列为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式，再利用对数的运算性质可得出数列的通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，运用数列的分组求和和裂项相消求和，化简可得.【详解】（1）当时，，所以；当时，，得，即，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，.；（2）由（1）知数列是首项为，公差为的等差数列，.，.所以.本题考查数列的递推式的运用，注意结合等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：分组求和法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)先证明

，再证明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证；(Ⅱ)根据题意以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.【详解】(Ⅰ)证：由已知得又平面，平面，，而故，平面平面，平面平面(Ⅱ)由(Ⅰ)知，推理知梯形中，，，有，又，故所以相似，故有，即所以，以为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则令，则，是平面的一个法向量设平面的一个法向量为令，则是平面的一个法向量=又二面角为钝二面角，其余弦值为.本题考查线面、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.22．(1)见解析;