2025年高考数学一轮专题复习-数列专题九（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）人教A版数学--数列专题九知识点一裂项相消法求和,利用an与sn关系求通项或项典例1、已知数列的前项和为，满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.随堂练习：设数列的前n项积为，且.（1）求证数列是等差数列；（2）设，求数列的前n项和.典例2、已知数列{}满足（1）求证：数列是等差数列；（2）记，求数列{·}的前2022项和；

随堂练习：已知数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.典例3、已知数列{an}和{bn}，a1＝2，，，（1）证明：是等比数列；（2）若，求数列的前n项和Sn.

随堂练习：已知数列的前n项和为，其中，满足．（1）证明数列为等比数列；（2）求数列的前n项和．知识点二确定数列中的最大（小）项,利用an与sn关系求通项或项典例4、已知数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最小项的值.

随堂练习：已知数列的前项和．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，试问：数列是否有最大项、最小项，若有，分别指出第几项最大、最小；若没有，试说明理由．典例5、是数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列中最小的项.

随堂练习：设数列的前项和为，满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的最小值及相应的n的值.典例6、数列满足，且（）．（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）令，求数列的最大值与最小值．

随堂练习：已知数列的前项和为,且满足,数列的前项和为,且满足,其中N*.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公差不为零的等差数列.①求实数的值.②若≤对任意的N*恒成立,求的取值范围.人教A版数学--数列专题九答案典例1、答案：（1）；（2）.解：（1）因为，所以，两式相减得，即，即，又，，故，因此，数列是每项都是1的常数列，从而.（2）因为，所以，从而，因此.随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）.解：（1）因为数列的前n项积为，且，∴当n=1时，，则，.当n≥2时，，∴，所以是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）知数列，则由得，所以，所以.典例2、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）依题设可得∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴，∴（2）由（1）可得，∴，∴随堂练习：答案：（1）（2）当时，；当时，解：（1）证明：，变形为：，，∴数列是等比数列，首项为6，公比为3.∴，变形为：，，∴，∴（2）由（1）得，∴当时，数列的前项和.当时，数列的前项和.典例3、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）∵，，∴，，又，，解得，，∴是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，则，∴，∴.随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）．解:（1）由可得，因为，所以所以数列是首项为2，公比为2的等比数列（2）根据（1）可得：，所以，所以，所以．典例4、答案：（1）；（2）.解:（1），，则，即，当时，；当时，；经检验适合，（2）由（1）知：，，，当时，，当时，；当时，；又，，当时，有最小值.随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）第1595项最小，无最大项解：（1）因为数列的前项和，当时，，当时，，因为当时也满足，故.故为常数，故是等差数列（2）由（1），故，则，因为，故令可解得或，即，，，因为，，故数列有最小项为第1595项，又随着的增大一直增大无最大值，故数列第1595项最小，无最大项典例5、答案：（1）；（2）.解:（1）对任意的，由得，两式相减得，因此，数列的通项公式为；（2）由（1）得，则.当时，，即，；当时，，即，.所以，数列的最小项为.随堂练习：答案：（1）；（2）最小值，或9.解:（1）∵，则，两式相减得：，即，验：由且知：符合，∴.∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，则.（2），则，∴时，；时，；时，，即：∴当或9时，数列取得最小值.典例6、答案：（1），，；（2）；（3）数列的最大值为，最小值为.解:（1）当时，有，所以，当时，，所以，当时，，所以，（2）当时，①，又②，②式减①式可得：，即，由（1）知当时，上式不成立，所以是以从第二项开始，公比为的等比数列，所以.（3）当时，，当时，，当时，且递减，，当时，且递减，，又，综上所述，数列的最大值为，最小值为.随堂练习：答案：（1）；（2）①；②≤≤.解:（1）由可得，作差得，化简可得，又时所以数列是以首项，为公比的等比数列,所以.(2)设数列是以首项，为公差的等差数列,则,,由可得,对任意恒成立,可得,解之得或者(舍去)所以，（3）因为≤恒成立，①当为偶数时，≤，令，