考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷1（共126题）

考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷1（共4套）（共126题）考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x，y)=，则f(x，y))在(0，0)处()．A、对x可偏导，对y不可偏导B、对x不可偏导，对y可偏导C、对x可偏导，对y也可偏导D、对x不可偏导，对y也不可偏导标准答案：B知识点解析：因为不存在，所以f(x，y)在(0，0)处对x不可偏导；因为=0，所以f’y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处对y可偏导，应选(B)．2、设f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在，则()．A、f(x，y在(x0，y0)处连续B、存在C、f(x，y)在(x0，y0)处可微D、存在标准答案：D知识点解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数在(0，0)处可偏导，但不存在，(B)不对；f(x，y)在(x0，y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，应选(D)，事实上由f’x(x0，y0)=f(x0，y0)=f(x0，y0)．3、设f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足=一3，则函数f(x，y)在点(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否有极值标准答案：A知识点解析：因为=一3，根据极限保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，有＜0，而x2+1一xsiny＞x2一x+1=所以当0＜＜δ时，有f(x，y)一f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)，所以f(x，y)在点(0，0)处取极大值，选(A)．4、设f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足=一3，则f(x，y)在(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否取极值标准答案：A知识点解析：因为=一3，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，＜0．因为当0＜＜δ时，|x|+y2＞0，所以当0＜＜δ时，有f(x，y)＜f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)处取极大值，选(A)．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)5、=________．标准答案：知识点解析：6、设=________．标准答案：知识点解析：7、由x=zey+z确定z=z(x，y)，则dz|e，0=________．标准答案：知识点解析：x=e，y=0时，z=1．x=zey+z两边关于x求偏导得，将x=e，y=0，z=1代入得x=zey+z两边关于y求偏导得，将x=e，y=0，z=1代入得，故dz(e，0)=8、设=________．标准答案：知识点解析：9、设z=f(x，y)=x2arctan=________．标准答案：知识点解析：10、设f(x，y)满足=2，f(x，0)=1，f’y(x，0)=x，则f(x，y)=________．标准答案：y2+xy+1．知识点解析：由=2y+φ1(x)，因为f’y(x，0)=x，所以φ1(x)=x，即=2y+x，再由=2y+x得f(x，y)=y2+xy+φ2(x)，因为f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．11、z=f(xy)+yg(x2+y2)，其中f，g二阶连续可导，则=________．标准答案：+y2f"(xy)+2xg’(x2+y2)+4xy2g"(x2+y2)．知识点解析：+2xyg’(x2+y2)，+y2f"(xy)+2xg’(x2+y2)+4xy2g"(x2+y2)．12、设u=f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则=________．标准答案：1．知识点解析：13、设z=，其中f(u)可导，则=________．标准答案：2z．知识点解析：三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)14、设u=xyz，求du．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设z=yf(x2一y2)，其中f可导，证明：标准答案：=2xyf’(x2一y2)，=f(x2一y2)一2y2f’(x2一y2)，则=2yf’(x2一y2)，f(x2一y2)一2yf’(x2一y2)=f’(x2一y2)=知识点解析：暂无解析16、已知u(x，y)=，其中f，g具有二阶连续导数，求xuxx"+yuxy"。标准答案：知识点解析：暂无解析17、设u=f(x+y，x2+y2)，其中f二阶连续可偏导，求标准答案：=f’1+2xf’2f’1+2yf’2=f"11+2xf"12+2f’2+2x(f"21+2xf"22)=f"11+4xf"12+4x2f"22+2f’2，=f"11+2yf"12+2f’2+2y(f"21+2yf"22)=f"11+4yf"12+4yzf"22+2f’2，则=2f"11+4(x+y)f"12+4(x2+y2)f"22+4f’2．知识点解析：暂无解析18、设z=f[xg(y)，x—y]，其中f二阶连续可偏导，g二阶可导，求标准答案：=g(y)f’1+f’2，=g’(y)f’1+g(y)[xg’(y)f"11一f"12]+xg’(y)f"21一f"22=g’(y)f’1+xg’(y)g(y)f"11+[xg’(y)一g(y)]f"12一f"22.知识点解析：暂无解析19、设z=z(x，y)由ryz=x+y+z确定，求标准答案：令F=xyz一x一y一z，知识点解析：暂无解析20、举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续．标准答案：设f(x，y)=显然f(x，y)在点(0，0)处连续，但不存在，所以f(x，y)在点(0，0)处对x不可偏导，由对称性，f(x，y)在点(0，0)处对y也不可偏导．设因为所以f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且f’x(0，0)=f’y(0，0)=0．因为不存在，而f(0，0)=0，故f(x，y)在点(0，0)处不连续．知识点解析：暂无解析21、设f(x，y)=讨论函数f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性．标准答案：因为所以不存在，故函数f(x，y)在点(0，0)处不连续，因为所以函数f(x，y)在点(0，0)处对x，y都可偏导．知识点解析：暂无解析22、讨论f(x，y)=在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．标准答案：因为所以=0=f(0，0)，即函数f(x，y)在点(0，0)处连续，因为所以f’x(0，0)=0，根据对称性得f’y(0，0)=0，即函数f(x，y)在(0，0)处可偏导．△z一f’x(0，0)x一f’y(0，0)y=f(x，y)一f’x(0，0)x一f’y(0，0)y=因为不存在，所以函数f(x，y)在(0，0)不可微．知识点解析：暂无解析23、设f(x，y)=试讨论f(x，y)在点(0，0)处的连续性，可偏导性和可微性．标准答案：由=0=f(0，0)得f(x，y)在点(0，0)处连续．由得f’x(0，0)=0，由f(x，y)在(0，0)可偏导，即f(x，y)在(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析24、设z=f(e’sint，tant)，求标准答案：=et(sint+cost)f’1+f’2sec2t知识点解析：暂无解析25、设z=标准答案：知识点解析：暂无解析26、设z=f(t，et)dt，f有一阶连续的偏导数，求标准答案：知识点解析：暂无解析27、设u=，求du．标准答案：知识点解析：暂无解析28、设函数z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(z2)所确定，其中f是可微函数，计算并化成最简形式．标准答案：x2+y2+z2=xyf(22)两边对x求偏导得2x+=yf(z2)+2xyzf’(z2)解得x2+y2+z2一xyf(z2)两边对y求偏导得2y+=xf(z2)+2xyzf’(z2)解得知识点解析：暂无解析29、设f(t)二阶可导，g(u，υ)二阶连续可偏导，且z=f(2x一y)+g(x，xy)，求标准答案：=2f’(2x一y)+g’1(x，xy)+yg’2(x，xy)，=一2f"(2x一y)+xg"12(x，xy)+g’2(x，xy)+xyg"22(x，xy)．知识点解析：暂无解析30、设z=f(exsiny，x2+y2)，且f(u，υ)二阶连续可偏导，求标准答案：=f’1exsiny+2xf’2，=f’1exosy+exsiny(f"11excosy+2y"12)+2x(f"21ercosy+2yf"22)=f"1excosy+f"11e2xsin2y+2ex(ysiny+xcosy)f"12+4xyf"22．知识点解析：暂无解析31、设z=f(x2+y2，xy，x)，其中f(u，υ，ω)二阶连续可偏导，求标准答案：=2xf’1+yf’2+f’3，=2x(2yf"11+xf"12)+f’2+y(2y"21+xf"22)+2yf"31+xf"32=4xyf"11+2(x2+y2)f"12+f’2+xyf"22+2yf"31+xf"32．知识点解析：暂无解析考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则=()．A、f2’+xf11"+(x+z)f12"+xzf22"B、xf12"+xzf22"C、f2’+x12"+xzf22"D、xzf22"标准答案：C知识点解析：=xf"12+f’2+xzf"22，选(C)．2、函数z=f(x，y)在点(x0，y0)可偏导是函数z=f(x，y)在点(x0，y0)连续的()．A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、非充分非必要条件标准答案：D知识点解析：如f(x，y)=在点(0，0)处可偏导，但不连续；又如f(x，y)=在(0，0)处连续，但对x不可偏导,选(D)．3、设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是()．A、f(x0，y)在y=y0处导数为零B、f(x0，y)在y=y0处导数大于零C、f(x0，y)在y=y0处导数小于零D、f(x0，y)在y=y0处导数不存在标准答案：A知识点解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则有f’x(x0，y0)=0，f’y(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0处导数为零，选(A)．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)4、设z=f(x2+y2+z2，xyz)且f一阶连续可偏导，则=________．标准答案：知识点解析：5、设y=y(x，z)是由方程ex+y+z=x2+y2+z2确定的隐函数，则=________．标准答案：知识点解析：6、设z=f(x，y)是由e2yz+x+y2+z=确定的函数，则=________．标准答案：知识点解析：7、设y=y(x)由x一∫1x+ye一t2dt=0确定，则=________．标准答案：e一1．知识点解析：当x=0时，y=1，x一∫1x+ye一t2dt=0两遍求导得8、设z=z(x，y)由z+e2=xy2确定，则dz=________．标准答案：知识点解析：z+ez=xy2两边求微分得d(z+ez)=d(xy)2，即dz+ezdz=y2dx+2xydy解得9、设z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f连续可偏导，则=________．标准答案：知识点解析：z=f(x+y，y+z，z+x)两边求偏导得10、设z=xy+，其中f可导，则=________．标准答案：z+xy．知识点解析：11、由方程xyz+确定的隐函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的微分为dz=________。标准答案：dx一知识点解析：把(1，0，一1)，代入上式得dz=dx一12、设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则f’x(0，1，一1)=________。标准答案：1．知识点解析：fx’(x，y，z)=，x+y+z+xyz=0两边对x求偏导得，将x=0，y=1，z=一1代入得，解得fx’(0，1，一1)=1．13、设f(x，y)可微，且f’1(一1，3)=一2，f’2(一1，3)=1，令z=f(2x一y，)，则dz|1，3=________。标准答案：一7dx+3dy．知识点解析：则dz|(1，3)=一7dx+3dy．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)14、设z=z(x，y)由z一yz+yez一x一y=0确定，求及dz．标准答案：方程x一yz+yez一x一y=0两边对x求偏导得方程x一yz+yez一x一y=0两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析15、设z=f[x一y+g(x一y一z)]，其中f，g可微，求标准答案：等式z=f(x一y+g(x一y一z))两边对x求偏导得等式z=f(x一y+g(x一y一z))两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析16、设u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析17、设xy=xf(z)+yg(z)，且zf’(z)+yg’(z)≠0，其中z=z(x，y)是x．y的函数．证明：标准答案：xy=xf(z)+yg(z)两边分别对x，y求偏导，得知识点解析：暂无解析18、设z=f(x，y)由方程z一y一z+xez一y一z=0确定，求dz．标准答案：对z一y一x+xez一y一x=0两边求微分，得dz一dy一dx+ez一y一xdx+xez一y一x(dz一dy一dx)=0，解得知识点解析：暂无解析19、设u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程exy一y=0与ez一xz=0确定，求标准答案：方程exy一y=0两边对x求导得方程ez一xz=0两边对x求导得知识点解析：暂无解析20、设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(z+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求标准答案：z=xf(x+y)及F(x，y，z)=0两边对x求导数，得知识点解析：暂无解析21、设y=f(x，t)，其中￡是由G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求标准答案：将y=f(x，t)与G(x，y，t)=0两边对x求导得解得知识点解析：暂无解析22、设且F可微，证明：标准答案：两边对x求偏导得两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析23、设变换可把方程，求常数a．标准答案：将u，υ作为中间变量，则函数关系为z=f(u，υ)，则有将上述式子代入方程根据题意得解得a=3．知识点解析：暂无解析24、设z=[x+φ(x一y)，y]，其中f二阶连续可偏导，φ二阶可导，求标准答案：z=f[x+φ(x一y)，y]两边对y求偏导得=一f’1．φ’+f’2，=一(一f"11φ’+f"12)φ’+f’1φ"一f"21φ’+f"22=f"11(φ’)2一2φ’f"+f’1φ"+f"22．知识点解析：暂无解析25、设f(x+y，x一y)=c2一y2+，求f(u，υ)，并求标准答案：令，从而f(u，υ)=uυ+于是知识点解析：暂无解析26、求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．标准答案：二元函数f(x，y)的定义域为D={(x，y|y＞0}，因为AC一B2＞0且A＞0，所以为f(x，y)的极小点，极小值为知识点解析：暂无解析27、试求z=f(x，y)=x3+y3—3xy在矩形闭域D={(x，y)|0≤x≤2，一1≤y≤2)上的最大值与最小值．标准答案：当(x，y)在区域D内时，在L1:y=一1(0≤x≤2)上，z=z3+3x一1，因为z’=3x2+3＞0，所以最小值为z(0)=一1，最大值为z(2)=13；在L2:y=2(0≤x≤2)上，z=x3—6x+8，由z’=3x2一6=0得x=，z(0)=8，2()=8，z(2)=4；在L3：x=0(一1≤y≤2)上，z=y3，由z’=3y2=0得y=0，z(一1)=一1，z(0)=0，z(2)=8；在L4：x=2(一1≤y≤2)上，z=y3—6y+8，由z’=3y2一6=0得y=，z(一1)=13，z()=8一4，z(2)=4．故z=x3+y3—3xy在D上的最小值为一1，最大值为13．知识点解析：暂无解析28、平面曲线L:绕x轴旋转所得曲面为S，求曲面S的内接长方体的最大体积．标准答案：曲线绕x轴旋转一周所得的曲面为根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(x，y，z)，则体积为V=8xyz．令由由实际问题的特性及点的唯一性，当时，内接长方体体积最大，最大体积为知识点解析：暂无解析29、设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为x件和y件，利润函数为L(x，y)=6x一x2+16y一4y2—2(万元)．已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料2000kg，现有该原料12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大？最大利润是多少？标准答案：根据题意，即求函数L(x，y)=6x一x2+16y—4y2—2在0＜x+y≤6下的最大值．L(x，y)的唯一驻点为(3，2)，令F(x，y，λ)=6x一x2+16y—4y2一2+λ(x+y一6)，由根据题意，x，y只能取正整数，故(x，y)的可能取值为L(4，2)=22，L(3，3)=19，L(3，2)=23，故当x=3，y=2时利润最大，最大利润为23万元．知识点解析：暂无解析考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设则f(x，y)在点O(0，0)处()A、极限不存在B、极限存在，但不连续C、连续，但不可微D、可微标准答案：C知识点解析：｜f(x，y)－0｜=所以f(x，y)=0，f(x，y)在点O处连续，排除(A)，(B)．下面考查(C)．所以fˊx(0，0)=0，fˊy(0，0)=0．若在点O(0，0)处可微，则应有△f=f(0+△x，0+△y)－f(0，0)==fˊx(0，0)△x+fˊy(0，0)△y+o(ρ)(其中ρ=)=o(ρ)．但是上式并不成立，事实上，所以f(x，y)在点O(0，0)处不可微，故应选(C)．2、二元函数，其中m，n为正整数，函数在(0，0)处不连续，但偏导数存在，则m，n需满足()A、m≥2，n＜2B、m≥2，n≥2C、m＜2，n≥2D、m＜2，n＜2标准答案：B知识点解析：当(x，y)沿y=kx(k≠0)趋向点(0，0)时，当m≥2，n≥2时，k取不同值，上式结果不唯一，所以函数在(0，0)处极限不存在，故函数不连续．又因为fˊx(0，0)==0，同理可得fˊy(0，0)=0，故偏导数存在．当n＜2时，有n=1，因而，函数f(x，y)在(0，0)处连续．同理，当m＜2时，函数f(x，y)在(0，0)处连续．综上，应选(B)．3、函数z=f(x，y)=在(0，0)点()A、连续，但偏导数不存在B、偏导数存在，但不可微C、可微D、偏导数存在且连续标准答案：B知识点解析：从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手．由于=0，所以fˊx(0，0)=0，同理fˊy(0，0)=0．令α=△z－fˊx(0，0)△x－fˊy(0，0)△y=当(△x，△y)沿y=x趋于(0，0)点时≠0，即α不是ρ的高阶无穷小，因此f(x，y)在(0，0)点不可微，故选(B)．4、函数x3+y3－3x2－3y2的极小值点是()A、(0，0)B、(2，2)C、(0，2)D、(2，0)标准答案：B知识点解析：由=3x2－6x=0和=3y2－6y=0，可得到4个驻点(0，0)，(2，2)，(0，2)和(2，0)．在(0，2)点和(2，0)点，均有AC－B2＜0，因而这两个点不是极值点．在(0，0)点，AC－B2=36＞0，且A=－6＜0，所以(0，0)点是极大值点．在(2，2)点，AC－B2=36＞0，且A=12＞0，所以(2，2)点是极小值点，故选(B)．5、函数，则极限()A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在标准答案：C知识点解析：当xy≠0时，0≤≤｜x｜+｜y｜，当(x，y)→(0，0)时，由夹逼准则，可得极限值为0．6、设函数z=1－，则点(0，0)是函数z的()A、极小值点且是最小值点B、极大值点且是最大值点C、极小值点但非最小值点D、极大值点但非最大值点标准答案：B知识点解析：由极值点的判别条件可知．7、设f(x，y)=arcsin，则fˊx(2，1)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：fˊx(2，1)=8、zˊx(x0，y0)=0和zˊy(x0，y0)=0是函数z=z(x，y)在点(x0，y0)处取得极值的()A、必要条件但非充分条件B、充分条件但非必要条件C、充要条件D、既非必要也非充分条件标准答案：D知识点解析：若z=z(x，y)=，则(0，0)为其极小值点，但zˊx(0，0)，zˊy(0，0)均不存在．9、函数不连续的点集为()A、y轴上的所有点B、x=0，y≥0的点集C、空集D、x=0，y≤0的点集标准答案：C知识点解析：当x≠0时，f(x，y)为二元连续函数，而当．所以，(0，y0)为f(x，y)的连续点，故此函数的不连续点的集合为φ．10、函数在点(0，0)处()A、连续，偏导数存在B、连续，偏导数不存在C、不连续，偏导数存在D、不连续，偏导数不存在标准答案：C知识点解析：取y=kx，可得f(x，y)在(0，0)处不连续．由偏导数定义，可得f(x，y)在(0，0)处的偏导数存在．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)11、函数f(x，y)=ln(x2+y2－1)的连续区域是_________．标准答案：x2+y2＞1知识点解析：一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的．12、设=_________．标准答案：0知识点解析：本题属于基本计算，考研中多次考过这种表达式．13、若函数2=2x2+2y2+3xy+ax+by+C在点(－2，3)处取得极小值－3，则常数a、b、c之积abc=_________．标准答案：30知识点解析：由极值的必要条件知在点(－2，3)处，zˊx=0，zˊy=0，从而可分别求出a、b、c之值．14、设u=x4+y4-4x2y2，则=_________．标准答案：12x2－8y2知识点解析：因=4x3－8xy2，故=12x2－8y2．15、设=________．标准答案：－sinθ知识点解析：由x=rcosθ，y=rsinθ，得u=cosθ，=－sinθ．16、设则fˊx(0，1)=_________．标准答案：1知识点解析：fˊx(0，1)==1．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)17、设f(x)可导，F(x，y)=，－∞＜x＜+∞，y＞0．标准答案：本题形式上的研究对象是多元函数，事实上，问题的主体知识是一元函数的极限、导数问题，需要考生在计算的全过程中把握住“谁是变量”．知识点解析：暂无解析18、试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件．(1)二元函数的极限存在；(2)二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有界；(3)(4)F(x)=f(x0，y0)在点x0处可微，G(y)=f(x0，y)在点y0处可微；(5)(6)标准答案：结论(1)～(4)中每一个分别都是z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的必要条件，而非充分条件．而结论(5)是其既非充分也非必要条件，结论(6)是其充分非必要条件．因z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微，故z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处连续，即f(x，y)=f(x0，y0)，则极限f(x，y)必存在，于是z=(x，y)在点P0(x0，y0)某邻域内有界．结论(3)表示一元函数F(x)=f(x，x0)在x0处连续，G(y)=f(x0，y)在y0处连续，它是二元函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处连续的必要条件，而非充分条件．而z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件．只要在z=f(x，y)在P0(x0，y0)的全微分定义△z=A△x+B△y+o(ρ)，ρ=中取特殊情况，分别令△y=0与△x=0即证得结论(4)．结论(5)的[fˊx(x，y0)－fˊx(x0，y0)]=0表示偏导函数fˊx(x，y)在y=y0时的一元函数fˊx(x，y0)在x0处连续，它仅是二元偏导函数fˊx(x，y)在P0(x0，y0)处连续的一个必要条件，对[fˊy(x0，y)－fˊy(x0，y0)]=0有类似的结果．而z=f(x，y)在P0(x0，y0)处可微又是fˊx(x，y)，fˊy(x，y)在P0(x0，y0)处连续的另一个必要条件，所以结论(5)既不是充分条件也不是必要条件．结论(6)的等价形式是△z=f(x，y)－f(x0，y0)=o(ρ)，ρ=，它是相应全微分定义中A=0，B=0的情形，则结论(6)是其可微的充分非必要条件．知识点解析：暂无解析19、设f(x，y)在点(0，0)处连续，且其中a，b，c为常数．(1)讨论f(x，y)在点(0，0)处是否可微，若可微则求出df(x，y)｜(0,0)；(2)讨论f(x，y)在点(0，0)处是否取极值，说明理由．标准答案：(1)当(x，y)→(0，0)时，ln(1+x2+y2)～x2+y2，[f(x，y)－a－bx－cy]=0=>f(x，y)=a．由f(x，y)在点(0，0)处的连续性即得f(0，0)=f(x，y)=a．再由极限与无穷小的关系可知，=1+o(1)(其中o(1)为当(x，y)→(0，0)时的无穷小量)，则f(x，y)－f(0，0)－bx－cy=x2+y2+(x2+y2)o(1)=o(ρ)(ρ=→0)，即f(x，y)－f(0，0)=bx+cy+o(ρ)(ρ→0)．由可微性概念=>f(x，y)在点(0，0)处可微且df(x，y)｜(0，0)=bdx+cdy．(2)由df(x，y)｜(0，0)=bdx+cdy可知，=c．于是当b，c不同时为零时，f(x，y)在点(0，0)处不取极值．当b=c=0时，由于又由极限保号性可知，δ＞0，当0＜x2+y2＜δ2时，＞0，即f(x，y)＞f(0，0)，因此f(x，y)在点(0，0)处取极小值．知识点解析：暂无解析20、设函数f(x，y)可微，又f(0，0)=0，fˊx(0，0)=a，fˊy(0，0)=b，且φ(t)=f(t，t2)]，求φˊ(0)．标准答案：在φ(t)=f[t，f(t，t2)]中令u=t，v=f(t，t2)，得φ(t)=f(u，v)，φˊ(t)=fˊ1(u，v)+fˊ2(u，v)=fˊ1(u，v).1+fˊ2(u，v).[fˊ1(t，t2).1+fˊ2(t，t2).2t]=fˊ1[t，f(t，t2)]+fˊ2[t，f(t，t2)].[fˊ1(t，t2)+fˊ2(t，t2).2t]，所以φˊ(0)=fˊ1(0，0)+fˊ2(0，0).[fˊ1(0，0)+fˊ2(0，0).2.0]=a+b(a+0)=a(1+b)。知识点解析：暂无解析21、设z=f(xy)+yφ(x+y)，其中f及φ二阶可导，求．标准答案：令u=xy，v=x+y，则z=f(u)+yφ(v)．由于f及φ二阶可微，而u=xy，v=x+y均为初等函数，故满足这里先求较为简便一些．由复合函数的求导法则，得知识点解析：暂无解析22、已知z=，其中a＞0，a≠1，求dz．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设z=，其中f，g均可微，计算．标准答案：设z=f(u，v)+g(ω)，u=xy，v=，ω=，则知识点解析：暂无解析24、设u=，其中函数f，g具有二阶连续偏导数，求标准答案：知识点解析：暂无解析25、设z=f(2x－y)+g(x，xy)，其中函数f(t)二阶可导，g(u，v)具有二阶连续偏导数，求标准答案：=2fˊ+gˊu+ygˊv，=－2fˊˊ+xgˊˊuv+xygˊˊvu+gˊv．知识点解析：暂无解析26、设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫xyP(t)dt确定u是x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φˊ(u)连续，且φˊ(u)≠1．求．标准答案：由z=f(u)，可得在方程u=φ(u)+∫xyP(t)dt两边分别对x，y求偏导数，得由此得．于是知识点解析：暂无解析27、设标准答案：知识点解析：暂无解析28、设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程exy－y=0和ez－xz=0所确定，求标准答案：方程exy－y=0两边关于x求导，有方程ez－xz=0两边关于x求导，有[．于是知识点解析：暂无解析29、设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=满足等式．(1)验证fˊˊ(u)+=0；(2)若f(1)=0，fˊ(1)=1，求函数f(u)的表达式．标准答案：(1)求二元复合函数z=f()的二阶偏导数中必然包含fˊ(u)及fˊˊ(u)，将的表达式代入等式=0中，就能找出fˊ(u)与fˊˊ(u)的关系式．(2)解可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解．在方程fˊˊ(u)+=0中，令fˊ(u)=g(u)，则fˊˊ(u)=gˊ(u)，方程变为gˊ(u)+=0，这是可分离变量微分方程，解得g(u)=，即fˊ(u)=，由初值条件ˊ(1)=1得C1=1，所以，f1(u)=，两边积分得f(u)=lnu+C2．由初值条件f(1)=0得C2=0，所以f(u)=lnu．知识点解析：暂无解析30、设，求常数a，使标准答案：所以a=1．知识点解析：暂无解析31、已知函数u=u(x，y)满足方程．试选择参数a，b，利用变换u(x，y)=v(x，y)eax+by均将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数项．标准答案：等式u(x，y)=v(x，y)eax+by两边同时求偏导数，由题意可知，应令2a+k=0，－2b+k=0，解得，原方程变为知识点解析：暂无解析32、求二元函数z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．标准答案：由方程组得x=0(0≤y≤b)及点(4，0)，(2，1)。而点(4，0)及线段x=0(0≤y≤b)在D的边界上，只有点(2，1)在D内部，可能是极值点．fˊˊxx=8y－6xy－2y2，fˊˊxy=8x－3x2－4xy，fˊˊyy=－2x2．在点(2，1)处，A==－6，B==－4，C==－8，B2－AC=－32＜0，且A＜0，因此点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，极大值f(2，1)=4．在D的边界x=0(0≤y≤6)及y=0(0≤x≤6)上，f(x，y)=0．在边界x+y=6上，y=6－x代入f(x，y)中得，z=2x3－12x2(0≤x≤6)．由zˊ=6x2－24x=0得x=0，x=4．在边界x+y=6上对应x=0，4，6处z的值分别为：z｜x=0=2x3－12x2｜x=0=0，z｜x=4=2x3－12x2｜x=4=－64，z｜x=6=2x3－12x2｜x=6=0因此知z=f(x，y)在边界上的最大值为0，最小值为f(4，2)=－64．将边界上最大值和最小值与驻点(2，1)处的值比较得，z=f(x，y)在闭区域D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=－64．知识点解析：暂无解析33、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x1万元及报纸广告费用x2万元之间的关系有如下经验公式：R=15+14x1+32x2－8x1x2－2x12－10x22．(1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；(2)若提供的广告费用为1．5万元，求相应的最优广告策略．标准答案：(1)利润函数为z=f(x1，x2)=15+14x1+32x2－8x1x2－2x12－10x22－(x1+x2)=15+13x1+31x2－8x1x2－2x12－10x22．由函数z=f(x1，x2)在(0．75，1．25)的二阶导数为由于B2－AC=64－80=－16＜0，A=－4＜0，所以函数z=f(x1，x2)在(0．75，1．25)处达到极大值，也即最大值．所以投入电台广告费0．75万元，报纸广告费1．25万元时，利润最大．(2)若广告费用为1．5万元，则需求利润函数z=f(x1，x2)在x1+x2=1．5时的条件极值．构造拉格朗日函数F(x1，x2，λ)=15+13x1+31x2－8x1x2－2x12－10x22+λ(x1+x2－1．5)，由方程组得x1=0，x2=1．5．即将广告费1．5万元全部用于报纸广告，可使利润最大．知识点解析：暂无解析考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、极限()A、等于0B、不存在C、等于D、存在，但不等于也不等于0标准答案：B知识点解析：当取y=kx时，与k有关，故极限不存在．2、设u=arcsin()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：将x视为常数，属基本计算．3、极限()A、等于0B、不存在C、等于D、存在且不等于0及标准答案：B知识点解析：取y=x，则=0；取y=x2，则，故原极限不存在．4、设u=f(r)，而r=，f(r)具有二阶连续导数，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：属基本计算，考研计算中常考这个表达式．5、考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：本题考查图1．4-1中因果关系的认知：6、设函数u=u(x，y)满足及u(x，2x)=x，uˊ1(x，2x)=x2，u有二阶连续偏导数，则uˊˊ11(x，2x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：等式u(x，2x)=x两边对x求导得uˊ1+2uˊ2=1，两边再对x求导得uˊˊ11+2uˊˊ12+2uˊˊ21+4uˊˊ22=0，①等式uˊ1(x，2x)=x2两边对x求导得uˊˊ11+2uˊˊ12=2x，②将②式及uˊˊ12=uˊˊ21，uˊˊ11=uˊˊ22代入①式中得uˊˊ11(x，2x)=x．7、利用变量代换u=x，v=，可将方程化成新方程()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由复合函数微分法，于是8、若函数u=，其中f是可微函数，且=G(x，y)u，则函数G(x，y)=()A、x+yB、x－yC、x2－y2D、(x+y)2标准答案：B知识点解析：设t=，则u=xyf(t)，9、已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy，则()A、a=2，b=－2B、a=3，b=2C、a=2，b=2D、a=－2，b=2标准答案：C知识点解析：由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy可知，=axy3+cos(x+2y)，=3x2y2+bcos(x+2y)，以上两式分别对y，x求偏导得=3axy2－2sin(x+2y)，=6xy2－bsin(x+2y)，由于连续，所以，即3axy2－2sin(x+2y)=6xy2－bsin(x+2y)，故得a=2，b=2．10、设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的()A、最大值点和最小值点必定都在D的内部B、最大值点和最小值点必定都在D的边界上C、最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D、最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上标准答案：B知识点解析：令，由于B2－AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以，D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．11、设函数z=(1+ey)cosx－yey，则函数z=f(x，y)()A、无极值点B、有有限个极值点C、有无穷多个极大值点D、有无穷多个极小值点标准答案：C知识点解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度，事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆．由得驻点为(kπ，coskπ－1)，k=0，±1，±2，…，又zˊˊxx－(1+ey)cosx，zˊˊxy=－eysinx，zˊˊyy=ey(cosx－2－y)．①当k=0，±2，±4，…时，驻点为(kπ，0)，从而A=zˊˊxx(kπ，0)=－2，B=zˊˊxy(kπ，0)=0，C=zˊˊyy(kπ，0)=－1，于是B2－AC=－2＜0，而A=－2＜0，即驻点(kπ，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值；②当k=±1，±3，…时，驻点为(kπ，－2)，此时A=zˊˊxx(kπ，－2)=1+e－2，B=zˊˊxy(kπ，－2)=0，C=zˊˊyy(kπ，－2)=－e－2，于是B2－AC=(1+e－2)e－2＞0，即驻点(kπ，－2)为非极值点；综上所述，选(C)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)12、设f可微，则由方程f(cx－az，cy－bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azˊx+bzˊx=_________．标准答案：c知识点解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题．方程两边求全微分，得fˊ1(cdx－adz)+fˊ2(cdy－bdz)=0，即dz=，故azˊx+bzˊy==c．13、设函数z=z(x，y)由方程sinx+2y－z=ez所确定，则=________．标准答案：知识点解析：方程两端对x求偏导数cosx+0－移项并解出即得．14、函数f(x，y，z)=－2x2在条件x2－y2－2z2=2下的极大值是_________．标准答案：－4知识点解析：由拉格朗日乘数法即得．15、函数的定义域为_________．标准答案：≤｜z｜，且z≠0知识点解析：由－1≤≤1即得．16、设z=esinxy，则dz=_________．标准答案：esinxycosxy(ydx+xdy)知识点解析：zˊx=esinxycosxy.y，zˊy=esinxycosxy.x，则dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)17、求f(x，y)=z+xy－x2－y2在闭区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤2)｝上的最大值和最小值．标准答案：这是闭区域上求最值的问题．由于函数f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D上连续，所以一定存在最大值和最小值．首先求f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D内部的极值：解方程组得区域D内部唯一的驻点为．由g(x，y)=(fˊˊxy)2－fˊˊxxfˊˊyy=－3得f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D内部的极大值再求f(x，y)在闭区域D边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件．在x轴上约束条件为y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函数为F(x，y，λ)=x+xy－x2－y2+λy，解方程组得可能的极值点，其函数值为在下面边界的端点(0，0)，(1，0)处f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以，下面边界的最大值为，最小值为0．同理可求出：在上面边界上的最大值为－2，最小值为－4；在左面边界上的最大值为0，最小值为－4；在右面边界上的最大值为，最小值为－2．比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D上的最大值为，最小值为－4．知识点解析：暂无解析18、设f(x，y)=kx2+2kxy+y2在点(0，0)处取得极小值，求k的取值范围．标准答案：由f(x，y)=kx2+2kxy+y2，可得fˊx(x，y)=2kx+2ky，fˊˊxx(x，y)=2k，fˊy(x，y)=2kx+2y，fˊˊyy(x，y)=2，fˊˊxy(x，y)=2k，于是，①若△=B2－AC=4k2－4k＜0且A=2k＞0，故0＜k＜1；②若△=B2－AC=4k2－4k=0，则k=0或k=1，当k=0时，f(x，y)=y2，由于f(x，0)≡0，于是点(0，0)非极小值点．当k=1时，f(x，y)=(x+y)2，由于f(x，－x)≡0，于是点(0，0)也非极小值点．综上所述，k的取值范围为(0，1)．知识点解析：暂无解析19、设f(x，y)具有二阶连续偏导数．证明：由方程f(x，y)=0所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是f(a，b)=0，fˊx(a，b)=0，fˊy(a，b)≠0．且当r(a，b)＞0时，b=φ(a)是极大值；当r(a，b)＜0时，b=φ(a)是极小值，其中标准答案：本题是一道新颖的计算性证明题，考查抽象函数的极值判别和高阶偏导数计算，计算量大，难度不小．y=φ(x)在x=a处取得极值的必要条件是φˊ(a)=0．而φˊ(x)=(fˊy(x，y)≠0)．设b=φ(a)，则f(a，b)=0，=0．于是fˊx(a，b)=0，fˊy(a，b)≠0．又当＞0时，φˊˊ(a)＜0，故b=φ(a)是极大值；当＜0时，φˊˊ(a)＞0，故b=φ(a)是极小值．知识点解析：暂无解析20、求函数z=x2+y2+2x+y在区域D：x2+y2≤1上的最大值与最小值．标准答案：由于x2+y2≤1是有界闭区域，z=x2+y2+2x+y在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值．①解方程组由于(－1)2+＞1，即(－1，)不在区域D内，舍去．②函数在区域内部无偏导数不存在的点．③再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求z=x2+y2+2x+y满足约束条件x2+y2=1的条件极值点．此时，z=1+2x+y．用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数L(x，y，λ)=1+2x+y+λ(x2+y2－1)，解方程组所有三类最值怀疑点仅有两个，由于，所以最小值m=1－，最大值M=1+．知识点解析：暂无解析21、求内接于椭球面的长方体的最大体积．标准答案：设该内接长方体体积为v，p(x，y，z)(x＞0，y＞0，z＞0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以v=8xyz，x＞0，y＞0，z＞0且满足条件=1．因此，需要求出v=8xyz在约束条件=1下的极值．设L(x，y，z，λ)=8xyz+λ(－1)，求出L的所有偏导数，并令它们都等于0，有①，②，③分别乘以x，y，z，有得，于是或λ=0(λ=0时，8xyz=0，不合题意，舍去)．把代入④，有－1=0，解得由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体，体积为v=知识点解析：暂无解析22、在第一象限的椭圆+y2=1上求一点，使过该点的法线与原点的距离最大．标准答案：设g(x，y)=+y2－1，则有椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为原点到该法线的距离为d=记f(x，y)=，x＞0，y＞0，约束条件为g(x，y)=+y2－1，构造拉格朗日函数h(x，y，λ)=f(x，y)+λg(x，y)．根据条件极值的求解方法，先求令=0，得联立方程组：代入③式得到：根据实际问题，距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为知识点解析：暂无解析23、厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和p2，销售量分别为q1和q2，需求函数分别为q1=24－0．2p1和q2=10－0．05p2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)．试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少?标准答案：总收入函数为R=p1q1+p2q2=24p1－0．2p12+10p2－0．05p22．总利润函数为L=R－C=32p1－0．2p12－0．05p22－1395+12p2．由极值的必要条件，得方程组解此方程组得p1=80，p2=120．由问题的实际含义可知，当p1=80，p2=120时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为=605．知识点解析：暂无解析24、在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0,y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式(a＞0，b＞0,c＞0)．标准答案：作拉格朗日函数L(x，y，z，λ)=lnx+lny+31nz+λ(x2+y2+z2－5R2)，并令由前3式得x2=y2=，代入第4式得可疑点(R，R，R)，因xyz3在有界闭集x2+y2+z2=5R2(x≥0，y≥0，x≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=lnxyz3在x2+y2+z2=5R2也有最大值，而(R，R，R)唯一，故最大值为f(R，R，R)=ln(3R5)，又lnx+1ny+31nx≤ln(3R5)，xyz3≤3R5，故x2y2z6≤27R10．令x2=a，y2=b，z2=c，又知x2+y2+z2=5R2，则abc3≤27()5(a＞0，b＞0，c＞0)．知识点解析：暂无解析25、设讨论它们在点(0，0)处的①偏导数的存在性：②函数的连续性；③方向导数的存在性；④函数的可微性．标准答案：(1)①按定义易知fˊx(0，0)=0，fˊy(0，0)=0．②｜f(x,y)－0｜=→0(当x，y)→(0，0))，所以f(x，y)在点(0，0)处连续．③l0==(cosα，sinα)，cos2αsin2α=cos2αsin2α(存在)．④△f=f(0+△x，0+△y)－f(0，0)=，按可微定义，若可微，则即应有但上式并不成立(例如取△y=k△x，上式左边为)，故不可微．(2)以下直接证明④成立，由此可推知①，②，③均成立．事实上，按可微的定义知，g(x，y)在点(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析26、设A，B，C为常数，B2－AC＞0，A≠0．u(x，y)具有二阶连续偏导数．试证明：必存在非奇异线性变换ξ=λ1x+y，η=λ2x+y(λ1，λ2为常数)，将方程标准答案：代入所给方程，将该方程化为(Aλ12+2Bλ1+C)+2[λ1λ2)A+(λ1+λ2)B+C]+(Aλ22+2Bλ2+C)=0．由于B2－AC＞0，A≠0，所以代数方程Aλ2+2Bλ+C=0有两个不相等的实根λ1与λ2．取此λ1与λ2，此时λ1λ2A+(λ1+λ2)B+C=(AC－B2)≠0，代入变换后的方程，成为=0．变换的系数行列式λ1－λ2≠0．知识点解析：暂无解析27、设f(x，