第02讲 单调性问题（练习）（解析版）

第02讲单调性问题（模拟精练+真题演练）1．（2023·全国·模拟预测）已知幂函数，若，则下列说法正确的是（

）A．函数为奇函数 B．函数为偶函数C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减【答案】B【解析】依题意，则，设单调递减,单调递增,知该方程有唯一解，故，易知该函数为偶函数.故选：B．2．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，由，即，解得，所以函数的单调递增区间为，故选：D3．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为二次函数的图象的对称轴为，且开口向上所以的最小值为1，所以.故选：B.4．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知是偶函数，在(－∞，0)上满足恒成立，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】时，即，∴在上单调递减，又为偶函数，∴在上单调递增．∴，∴.故选：A．5．（2023·全国·模拟预测）已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，，，令，则，因为当时，单调递增，所以，即，令，则，因为当时，，所以在上单调递增，又因为且，所以，故选：A6．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，，即，也即，由可得，所以，即，构造函数，在恒成立，所以函数在定义域上单调递减，所以，即，又因为，所以，所以，解得，故选:B.7．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，对，且，恒有，即，在上单调递增，故恒成立，即，设，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故，即，即.故选：A8．（2023·四川南充·统考三模）已知函数使（为常数）成立，则常数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，在定义域上单调递增，又使（为常数）成立，显然，所以不妨设，则，即，令，，则，即函数在上存在单调递增区间，又，则在上有解，则在上有解，令，，则，所以在上单调递增，所以，所以，即常数的取值范围为.故选：C9．（多选题）（2023·山东潍坊·统考模拟预测）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】对于A,,故为奇函数，，故为定义域内的单调递增函数，故A正确，对于B，，故为非奇非偶函数，故B错误，对于C，在定义域内不是单调增函数，故C错误，对于D，，，所以定义域内既是奇函数又是增函数，故D正确，故选：AD10．（多选题）（2023·安徽淮北·统考一模）已知函数，则（

）A．在单调递增B．有两个零点C．曲线在点处切线的斜率为D．是奇函数【答案】AC【解析】对A：，定义域为，则，由都在单调递增，故也在单调递增，又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，故只有一个零点，B错误；对C：，根据导数几何意义可知，C正确；对D：定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.故选：AC.11．（多选题）（2023·河北·统考模拟预测）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】设，，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为，所以，A正确；由得，即，又因为单调递增，所以，B正确；由得，即，所以，C错误；因为，所以，D正确．故选：ABD.12．（多选题）（2023·浙江金华·统考模拟预测）当且时，不等式恒成立，则自然数可能为（

）A．0 B．2 C．8 D．12【答案】BC【解析】由于且，所以，所以，构造函数，当，且时，故当当，因此在单调递减，在单调递增，故当时，取最小值，当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取最大值，当时，不妨取，则而，不满足，故A错误，当时，，，显然，故满足题意，B正确，要使恒成立，则需要，即恒成立即可由于，因此当时，，C正确，当时，，不满足题意，错误，故选：BC13．（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为______.【答案】【解析】由题得的定义域为，由可得，令，，得，所以的单调递减区间为.故答案为：14．（2023·四川雅安·统考模拟预测）给出两个条件：①，；②当时，（其中为的导函数）．请写出同时满足以上两个条件的一个函数______．（写出一个满足条件的函数即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由，知，函数可以为指数函数，因当时，，则函数在上单调递减，所以函数可以为.故答案为：15．（2023·四川·石室中学校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为______________．【答案】【解析】令，定义域为R，且，所以为奇函数，变形为，即，其，当且仅当，即时，等号成立，所以在R上单调递增，所以，解得：，所以解集为.故答案为：16．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】由可知，其定义域为，则，易知当时，；当时，；即函数在单调递减，在上单调递增；若函数在区间上不单调，则需满足，解得；所以实数的取值范围为.故答案为：17．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知函数.若函数为增函数，求的取值范围；【解析】∵，则，若是增函数，则，且，可得，故原题意等价于对恒成立，构建，则，令，解得；令，解得；则在上递增，在递减，故，∴的取值范围为.18．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数若单调递增，求a的值；【解析】由可得，，由于函数单调递增，则恒成立，设，则，当时，，可知时，，不满足题意；当时，，函数单调递增，又因为，即，不满足题意；当时，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，由可得，，令，则，可知时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，则，由于恒成立，所以，当且仅当时取等号，故函数单调递增时，实数的值为.19．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）实数，，．(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)讨论的单调性并写出过程．【解析】（1）由题意得，令，的定义域为，由得：．设，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，即实数的取值范围为．（2）令，的定义域为．①当时，时，，在上是增函数；时，，在上是减函数；时，，在上是增函数；②当时，，时，在上是减函数；时，在上是增函数；③当时，单调递增；④当时，时，，在上是增函数，时，，在上是减函数，时，，是增函数．20．（2023·河南·模拟预测）已知函数，．求的单调区间；【解析】由已知可得，定义域为，.令，则.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以在上恒成立，所以，在上单调递增．所以，的单调递增区间为，无递减区间．21．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考二模）已知函数，其中是自然对数的底数.当时，讨论函数的单调性；【解析】当时，，则，当时，令解得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，，所以在上单调递减，当时，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.22．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若函数在上不单调，求实数a的取值范围．【解析】（1）当时，函数，定义域为，易知，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减．（2）由题意知，则，令，，则．①当时，，则在上单调递增，所以当时，，所以在上单调递增，不符合题意．②当时，，则在上单调递减，所以当时，，所以在上单调递减，不符合题意．③当时，由，得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减．易知，当且仅当x＝1时取等号，则当时，，即．所以当x＞0时，．取，则，且．又，所以存在，使得，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，故函数在区间上不单调，符合题意．综上，实数a的取值范围为．1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；【解析】当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；【解析】（1）因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：（2）因为，

所以，令，则，∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．求的单调区间；【解析】，当，；当，，故的减区间为，的增区间为.4．（2021·全国·统考高考真题）已知函数．讨论的单调性；【解析】由函数的解析式可得：，当时，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，在上单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．【解析】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.6．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且，函数求函数的单调区间；【解析】，①若，则，所以在上单调递增；②若，当时，单调递减，当时，单调递增.综上可得，时，在上单调递增；时，函数的单调减区间