第01讲 直线的方程（九大题型）（讲义）（原卷版）

第01讲直线的方程目录考点要求考题统计考情分析（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.（2）根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．2008年江苏卷第9题，5分2006年上海卷第11题，4分高考对直线方程的考查比较稳定,考查内容、频率、题型难度均变化不大,备考时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法等,特别要重视直线方程的求法.知识点一：直线的倾斜角和斜率1、直线的倾斜角若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为（2）倾斜角的取值范围2、直线的斜率设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）越大，直线越陡峭（5）倾斜角与斜率的关系当时，直线平行于轴或与轴重合；当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；3、过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点，，则（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°4、三点共线．两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．知识点二：直线的方程1、直线的截距若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线2、直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于轴的直线斜截式不含垂直于轴的直线两点式不含直线和直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用3、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）4、线段中点坐标公式若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．5、两直线的夹角公式若直线与直线的夹角为，则.题型一：倾斜角与斜率的计算例1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知是直线的倾斜角，则的值为（

）A． B． C． D．例2．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．例3．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．变式1．（2023·全国·高二专题练习）如图，若直线的斜率分别为，则（

）

A． B．C． D．变式2．（2023·全国·高二专题练习）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．变式3．（2023·全国·高二课堂例题）过两点，的直线的倾斜角是135°，则y等于（

）A．1 B．5 C． D．变式4．（2023·高二课时练习）直线l经过，两点，那么直线l的斜率的取值范围为（

）．A． B． C． D．变式5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【解题方法总结】正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识．题型二：三点共线问题例4．（2023·全国·高二专题练习）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（

）A．2 B．4 C．8 D．12例5．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）若三点，，共线，则实数的值是（

）A．6 B． C． D．2例6．（2023·重庆渝中·高二重庆复旦中学校考阶段练习）若三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，则的值为（）A．1 B． C． D．变式6．（2023·全国·高三专题练习）若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝（

）A．1±或0 B．或0C． D．或0【解题方法总结】斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．题型三：过定点的直线与线段相交问题例7．（2023·吉林·高三校考期末）已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．例8．（2023·高三课时练习）已知点和，直线与线段相交，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．例9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或或变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．变式10．（2023·全国·高三对口高考）已知点，若直线与的延长线（有方向）相交，则的取值范围为．变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知,，点是线段AB上的动点，则的取值范围是.变式12．（2023·全国·高三专题练习）在线段上运动，已知，则的取值范围是.【解题方法总结】一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．题型四：直线的方程例10．（2023·全国·高三专题练习）过点且方向向量为的直线的方程为（

）A． B．C． D．例11．（2023·全国·高三专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或例12．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）对方程表示的图形，下列叙述中正确的是（

）A．斜率为2的一条直线B．斜率为的一条直线C．斜率为2的一条直线，且除去点（,6）D．斜率为的一条直线，且除去点（,6）变式13．（2023·全国·高三专题练习）经过点且倾斜角为的直线的方程是（

）A． B．C． D．变式14．（2023·全国·高三专题练习）方程表示的直线可能是（

）A． B．C． D．变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（

）A． B． C． D．变式16．（2023·全国·高三专题练习）若直线l的方程中，，，则此直线必不经过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（）A． B．C． D．【解题方法总结】要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式．题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题例13．（2023·全国·高三专题练习）若一条直线经过点，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为．例14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为.例15．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的方程为：．(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．变式18．（2023·全国·高三专题练习）直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点.(1)当面积最小时，求直线l的方程；(2)求的最小值及此时直线l的方程.变式19．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点.（1）当取得最小值时，求直线的方程；（2）求面积的最小值.变式20．（2023·北京怀柔·高二北京市怀柔区第一中学校考期中）已知直线经过点，为坐标原点．(1)若直线过点，求直线的方程，并求直线与两坐标轴围成的三角形面积；(2)如果直线在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程．变式21．（2023·高二单元测试）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B.（1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；（2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程.变式22．（2023·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）过点的动直线交轴的正半轴于点，交轴正半轴于点.（Ⅰ）求(为坐标原点)的面积最小值，并求取得最小值时直线的方程.（Ⅱ）设是的面积取得最小值时的内切圆上的动点，求的取值范围.变式23．（2023·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知直线：．（1）求经过的定点坐标；（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；②当取最小值时，求直线的方程．变式24．（2023·河南郑州·高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习）已知直线经过定点P．(1)证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当取最小值时，求直线l的方程．变式25．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知直线过定点，且交轴负半轴于点､交轴正半轴于点．点为坐标原点．（1）若的面积为4，求直线的方程；（2）求的最小值，并求此时直线的方程；（3）求的最小值，并求此时直线的方程．【解题方法总结】（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．题型六：两直线的夹角问题例16．（2023·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）直线与直线所成夹角的余弦值等于例17．（2023·高三课时练习）直线与直线相交，则这两条直线的夹角大小为.例18．（2023·上海宝山·高三统考阶段练习）已知直线，则与的夹角大小是.变式26．（2023·重庆·高考真题）曲线与在交点处切线的夹角是．（用弧度数作答）变式27．（2023·全国·模拟预测）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为．变式28．（2023·全国·高三专题练习）两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是．【解题方法总结】若直线与直线的夹角为，则.题型七：直线过定点问题例19．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则．例20．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则直线过定点.例21．（2023·陕西咸阳·统考二模）直线恒过定点A，则A点的坐标为．变式29．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）直的方程为，则该直线过定点．变式30．（2023·上海宝山·高二统考期末）若实数、、成等差数列，则直线必经过一个定点，则该定点坐标为.【解题方法总结】合并参数题型八：轨迹方程例22．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为、、，点在直线上运动，动点满足，求点的轨迹方程．例23．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.(1)求所在直线的一般式方程；(2)当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.例24．（2023·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）如图，已知点是直线上任意一点，点是直线上任意一点，连接，在线段上取点使得.(1)求动点的轨迹方程；(2)已知点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.变式31．（2023·全国·高三专题练习）已知，，动点M与A，B两点连线的斜率分别为、，若，求动点M的轨迹方程变式32．（2023·高二课时练习）在中，，求的平分线所在直线的方程.变式33．（2023·江苏·高二假期作业）已知动点C到两个定点的距离相等，求点C的轨迹方程．变式34．（2023·全国·高三专题练习）已知是坐标原点，.若点满足，其中，且，求点的轨迹方程.【解题方法总结】（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）题型九：中点公式例25．（2023·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知点A，B分别是直线和直线上的点，点P为的中点，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C