2025高考总复习专项复习-一元函数的导数及其应用专题七（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）2024年高考导数复习专题七知识点一利用导数研究不等式恒成立问题,利用导数证明不等式,含参分类讨论求函数的单调区间典例1、已知：函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.随堂练习：已知函数.（1）讨论的单调性；（2）求证：当时，.典例2、已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若且，求证：．随堂练习：已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若且，求证：.典例3、已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）证明：当时，，.随堂练习：已知函数讨论函数的单调性；设，对任意的恒成立，求整数的最大值；求证：当时，知识点二利用导数研究方程的根,由导数求函数的最值（含参）典例4、已知函数，其中.（1）当时，求的最小值；（2）讨论方程根的个数.随堂练习：已知，．（1）存在满足：，，求的值；（2）当时，讨论的零点个数．典例5、已知函数，．（1）当a＝2时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论关于x的方程的实根个数．典例6、函数，.（1）试讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的集合；（3）当时，判断图象与图象的交点个数，并证明.2024年高考导数复习专题七答案典例1、答案：（1）单调递增；（2）.解:（1）当时，，所以，令，则，当时，，递减；当时，，递增；所以取得最小值，所以在上成立，所以在上递增；（2）因为在上单调递增，所以，恒成立，即，恒成立，令，则，当时，当时，，递减；当时，，递增；所以取得最小值，所以当时，易知，不成立，当a=0时，成立，综上：，所以实数的取值范围.随堂练习：答案：（1）见解析；（2）证明见解析.解：（1）函数，定义域为，所以，当时，，在单调递减；当时，令，则，解得，在单调递增；令，则，解得；在单调递减；综上：当时，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减；（2）要证当时，，只须证：，而，因此，只要证：，设，则，当时，单调递增；当时，单调递减；所以，即；所以当时，．典例2、答案：（1）答案见解析；（2）证明见解析.解:（1）函数的定义域为，．若，则，在上单调递减．若，当时，；当时，；当时，，故在上，单调递减；在上，单调递增．若，当时，；当时，；当时，，故在上，单调递减；在上，单调递增．（2）若且，则．欲证，只需证．设函数，则．当时，，函数在上单调递增，所以．设函数，则．设函数，则．当时，，故存在，使得，从而函数在上单调递增；在上单调递减，所以，且，故存在，使得，即当时，，当时，，从而函数在上单调递增；在上单调递减．因为，，所以当时，，所以，，即，．一题多解：（2）另解一若且，则，欲证，只需证．设函数，则．当时，，函数在上单调递增．所以．设函数，，因为，所以，所以，又，所以，所以，即原不等式成立．随堂练习：答案：(1)答案见解析；(2)证明见解析.解:（1）函数的定义域为①若时，则，在上单调递减；②若时，当时，当时，；当时，故在上，单调递减；在上，单调递增（2）若且，欲证只需证即证设函数，，则当时，；故函数在上单调递增所以设函数，则设函数，则当时，故存在，使得从而函数在上单调递增；在上单调递减当时，当时，故存在，使得即当时，，当时，从而函数在上单调递增；在上单调递减因为故当时，所以即典例3、答案：（1）在上单调递增，在上单调递减．（2）证明见解析.解：（1）由题意知，,当时，对恒成立，所以当时，；当时，,所以函数在上单调递增，在上单调递减．（2）证明：要证明当时，，,即证当时，对任意，恒成立，令，所以，因为，，则，仅在或时取等号，所以函数在上单调递减，所以，即当时，，.随堂练习:答案:（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）证明见解析.解:（1）①若，则，函数在上为增函数；②若，由可得；由可得因此在上为增函数，在上为减函数；（2）若，则，不满足题意；若，则在上为增函数，在上为减函数；设，则，又在上单调递增且，故存在唯一使得当时，，当时，故，解得，又，则综上的最大值为；（3）由（2）可知，时，，记，则记，则由可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增所以故，故函数在上单调递增即典例4、答案：（1）（2）答案见解析解：（1）时，.①时，，，所以，即在时单调递减；②时，.所以，即在时单调递增；当时，取得最小值为所以的最小值是.（2）由题，，则，即.所以.由，得.当时，；当时，；所以，在上递减；在上递增.又因为，所以，当且仅当或.又，故和不可能同时成立.所以方程根的个数是两函数和的零点个数之和，其中当时，函数的零点个数转换为直线与函数图象的交点个数，，令，即，解得.当易知时，,单调递减，当时，，单调递增；在处取得最小值为，所以时，直线与函数图象无交点，函数无零点；时，直线与函数图象有一个交点，函数有1个零点；时，直线与函数图象有2个交点函数，有2个零点.同理：函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数，设，则所以函数在单调递增，在处的函数值为，所以故时，在上必有1个零点.综上所述，时，方程有1个根；时，方程有2个根；时，方程有3个根.随堂练习：答案：（1）或4；（2）答案见解析.解：（1）时，原条件等价于，∴，令，则，∴为增函数，由，则有唯一解，所以，时，，解得：．综上，或4．（2）ⅰ.时，则，，而，，即为增函数，又，当时；当时，故，∴恒成立，故时零点个数为0；ⅱ.时，，由①知：仅当时，此时零点个数为1．ⅲ.时，，则，，∴为增函数，，，∴仅有一解，设为，则在上，在上，所以最小值为，故．又，，故、上各有一零点，即有2个零点．ⅳ.时，上，，∴无零点，则上，，，∴为增函数，，，∴有唯一解，设为，则，又，，故、上，各有一个零点，即有2个零点．ⅴ.时，由（1）知：上有唯一零点：；在上，则，，所以为增函数，，，故使，则上，递减；上，递增；故，而，又，，故在、上各有一个零点，所以共有3个零点．综上：时零点个数为0；时零点个数为1；时零点个数为2；时零点个数为3．典例5、答案：（1）（2）答案不唯一，具体见解析解：（1）当a＝2时，，，则切线的斜率为，又，所以曲线在处的切线方程是，即．（2）即为，化简得，令，则，令，则，令，得．当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减．①当时，，即，所以在R上单调递减．又，所以有唯一零点0；②当时，，，所以存在，，又，令，，所以在上单调递减，，即，所以存在，，xnm－0＋－单调递减单调递增单调递减则，又，所以存在，；同理，，又，所以存在，，由单调性可知，此时有且仅有三个零点0，，．综上，当时，有唯一零点，方程有唯一的实根；当时，有且仅有三个零点，方程有3个实根．典例6、答案：（1）当时，在上是减函数，在上是增函数，当时，在上是减函数；（2）；（3）2，证明见解析.详解:（1）定义域为：，，由得：，当时，，在上是减函数，在上是增函数，当时，，在上是减函数，当时，，在上是减函数，综上所述，当时，在上是减函数，在上是增函数，当时，在上是减函数.（2）由（1）知，当时，，由恒成立得，，设，，，由得：，在上是增函数，在上是减函数，，，要使恒成立，则，当时，在上是减函数，且，当，，不合题意，综上所述，实数的集合；（3）原问题可转化为方程的实根个数问题，当时，的图象与的图象有且仅有2个交点，理由如下：由得，，令，因为，所以是的一根，，