第01讲 三角函数的概念与诱导公式（八大题型）（讲义）（解析版）

第01讲三角函数的概念与诱导公式目录考点要求考题统计考情分析（1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．（2）理解同角三角函数的基本关系式，．（3）掌握诱导公式，并会简单应用．2023年甲卷第14题，5分2022年浙江卷第13题，5分2021年甲卷第8题，5分高考对此也经常以不同的方式进行考查，将三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式综合起来考查，且考查得较为灵活，需要深人理解概念、熟练运用公式．知识点一：三角函数基本概念1、角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（4）象限角的集合表示方法：2、弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．3、任意角的三角函数（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号＋＋－－＋－－＋＋－＋－记忆口诀INCLUDEPICTURE"\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF"INET：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4、三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线知识点二：同角三角函数基本关系1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：．（2）商数关系：；知识点三：三角函数诱导公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【解题方法总结】1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．2、“”方程思想知一求二．题型一：终边相同的角的集合的表示与区别例1．（2023·辽宁·校联考一模）已知角的终边上一点的坐标为，则的最小正值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，而，所以角的终边上点的坐标可写为：，所以，因此的最小正值为.故选：D例2．（2023·全国·高三专题练习）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，B，，中角度和弧度混用，不正确；对于C，因为与是终边相同的角，故与角的终边相同的角可表示为，C正确；对于D，，不妨取，则表示的角与终边不相同，D错误，故选：C例3．（2023·广东·高三统考学业考试）下列各角中与角的终边相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】与角的终边相同的角为，当时，，B正确；经验证，其他三个选项均不合要求.故选：B变式1．（2023·北京·高三北大附中校考阶段练习）已知角的终边为射线，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为角的终边为射线，所以，角时，，所以，角的集合为，故A选项错误；所以，，故B选项错误；，故C选项正确；，故D选项错误.故选：C【解题方法总结】（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．题型二：等分角的象限问题例4．（2023·全国·高三专题练习）已知是锐角，那么是（

）．A．第一象限角 B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角【答案】C【解析】因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角.其中D选项不包括，故错误.故选：C例5．（2023·全国·高三专题练习）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】A【解析】∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.∴2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角，即其终边不可能在第一、二象限.故选A.例6．（2023·浙江·高三专题练习）若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在()A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【答案】D【解析】当时，，终边位于第一象限当时，，终边位于第二象限当时，，终边位于轴的非正半轴上当时，，终边位于第一象限综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或轴的非正半轴上故选变式2．（1990·上海·高考真题）设角属于第二象限，且，则角属于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】为第二象限角，，；当时，为第一象限角；当时，为第三象限角；为第一或第三象限角；，，为第三象限角.故选：C.变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因为角的终边与的终边重合，所以，，所以，，令，则，此时的终边位于第二象限；令，则，此时的终边位于第三象限；令，则，此时的终边位于第四象限．所以的终边不可能在第一象限，故选：A．变式4．（2023·全国·高三专题练习）若角是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】C【解析】因为是第三象限角，所以，所以，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角.故选：C．【解题方法总结】先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）的象限分布图示．题型三：弧长与扇形面积公式的计算例7．（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的周长为__________.【答案】【解析】设扇形的半径为，利用扇形面积计算公式，可得；所以该扇形的弧长为，所以周长为.故答案为：例8．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________.【答案】【解析】由弧长公式可得，所以扇形面积为，故答案为：例9．（2023·全国·高三专题练习）在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为，圆面剩余部分的面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为____________.【答案】【解析】设扇子圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为，圆的半径为，则，，因为，即，即，所以.故答案为：变式5．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为_____平方米.【答案】100【解析】因为径长为20米，下周长为20米，所以由题意中“以径乘周四而一”可知，该扇形菜田的面积平方米。故答案为：100.变式6．（2023·福建厦门·高三福建省厦门第六中学校考阶段练习）若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是__.【答案】2【解析】设扇形的圆心角弧度数为，半径为，则，，当且仅当，解得时，扇形面积最大.此时.故答案为：2.变式7．（2023·江西鹰潭·高三鹰潭一中校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角______弧度．【答案】.【解析】由题意，扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，且扇形周长为20，可得，即，则扇形的面积，当时，扇形面积取得最大值，此时.故答案为：.

【解题方法总结】应用弧度制解决问题的方法（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．题型四：三角函数定义题例10．（2023·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知是角终边上的一点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函数的定义可知，故选：B例11．（2023·全国·高三对口高考）如果点P在角的终边上，且，则点P的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函数定义知：，，所以，，即P的坐标是.故选：B例12．（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】设射线与轴非负半轴所成夹角为，则，，射线与轴非负半轴所成夹角为，则，所以，又，，所以.故选：D变式8．（2023·全国·高三专题练习）设，角的终边与圆的交点为，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】画图，角的终边与圆的交点为，设，则，，代入得，解得，∵，∴，∴，又∵在单位圆中，，，∴，，∴，故选：D变式9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，动点P，Q从点出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为________.【答案】【解析】由题意求得，P，Q两点每一秒钟相遇一次，则P，Q两点在第2019次相遇时，经过了2019秒，求得点P转过的周数，可得点P的坐标．因为点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，即，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2019次时，共用了2019秒，所以此时点P所转过的弧度为，由终边相同的角的概念可知，与的终边相同，所以此时点P位于y轴上，故点P的坐标为.故答案为：.【解题方法总结】（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．（2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值例13．（2023·全国·高三对口高考）若，则（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【解析】由，即为第四象限角，所以且.故选：C例14．（2023·全国·高三专题练习）已知点是角终边上一点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，则点在第四象限，由，故.故选：C.例15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知是第二象限角，则点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为是第二象限角，所以，，进而硧定，.所以点在第四象限.故选：D变式10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知是第二象限角，则点（，）所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由题意知：，，进而得到，，所以点（，）位于第三象限.故选：C变式11．（2023·河南许昌·高三校考期末）在平面直角坐标系中，点位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】因为，，所以点位于第二象限.故选：B变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知点是第二象限的点，则的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】∵点是第二象限的点，∴，，由可得，的终边位于第二象限或第三象限或轴的非正半轴；由可得，的终边位于第一象限或第三象限，综上所述，的终边位于第三象限.故选：C.【解题方法总结】正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的例16．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知是三角形的一个内角，且满足，则（

）A．2 B．1 C．3 D．【答案】A【解析】将两边同时平方可得，即；所以若，解得，这与是三角形的一个内角矛盾，所以，解得，此时求得.故选：A.例17．（2023·山西阳泉·统考二模）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，即，所以.因为，所以，所以.因为，所以.故选：B.例18．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，两边平方得，故，所以与导号，又因为，所以，，所以.故选：C.变式13．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，由题意可得，解得，因此，.故选：B.变式14．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知是关于的方程的两根，则__________.【答案】【解析】由题意：，所以，所以，即，解得.故答案为：.变式15．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知，则________．【答案】【解析】两边平方得：，解得：.故答案为：变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______．【答案】【解析】已知①，则，，，，则，，②，联立①②，得，，故答案为：.变式17．（2023·全国·高三专题练习）若，则________．【答案】【解析】因为，则，又因为，则，且，解得或（舍去），所以.故答案为：.变式18．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知，则的值是__________．【答案】5【解析】因为，所以，故答案为：5.变式19．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知，则__________.【答案】【解析】因为，所以、.故答案为：变式20．（2023·全国·高三对口高考）若，求的值为__________.【答案】/【解析】由可得，因为不适合，故，所以，故，故答案为：【解题方法总结】（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．（2）若无象限条件，一般“弦化切”．题型七：诱导求值与变形例19．（2023·山西阳泉·统考三模）已知，且，则_______．【答案】/【解析】因为，所以，故，所以.。故答案为：例20．（2023·四川绵阳·统考三模）已知，，则______.【答案】/【解析】由得，由可得，故.故答案为：例21．（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，所以在第一、二象限，所以.故选：D.变式21．（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用诱导公式可得，故选：B.变式22．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，的值为，故选：变式23．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知，则（

）A． B． C．- D．【答案】A【解析】.故选：A.【解题方法总结】（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）等可利用诱导公式把的三角函数化题型八：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2